平行な直線はどこで交わるのか（射影空間と斉次座標）

平行な 2 直線に交点はありません。この例外をなくすために、直線の向きそのものを新しい点として足したものが射影空間です。

体 $k$ 上で $n+1$ 個の座標を並べ、原点を除き、定数倍を同じものと見なします。

$${\mathbb{P}}^n=(k^{n+1}\setminus \{0\})/\sim ,(a_0,\dots ,a_n)\sim (c{a}_0,\dots ,c{a}_n)(c\in k^{\times })$$

1 つの点にあたるのは、原点を通る 1 本の直線です^[3]。その直線の上のどのベクトルを代表に選んでも、指している点は変わりません。

次の図は $n=1$ の場合です。原点を通る直線が回るにつれて、縦線 $x_0=1$ との交点が動きます。

直線が縦になった瞬間だけ交点が消えます。消えた先が無限遠点で、射影直線はアフィン直線にこの 1 点を足したものになります。

斉次座標という書き方

代表を 1 つ選んで $(a_0:a_1:\cdots :a_n)$ と書き、これを斉次座標といいます。コロンで区切るのは、比だけが意味を持つという合図です^[4]。

$$(a_0:\cdots :a_n)=(c{a}_0:\cdots :c{a}_n)(c\ne 0)$$

$(2:4)$ と $(1:2)$ と $(-3:-6)$ は、どれも同じ点を指します。座標が点を決めるのに、点は座標を決めません。

すべての成分が $0$ の組だけは外します。原点はどの向きも表さないので、直線に対応しないためです。

値は決まらないのに、零点は決まる

斉次座標には代表のとり方の自由が残っているので、多項式の値がそのままでは決まりません。$f=x_0+1$ に $(1:0)$ と $(2:0)$ を入れると、値は $2$ と $3$ に割れます。

ところが $f$ が $d$ 次の斉次多項式なら事情が変わります。各項の次数がそろっているので、代表を $c$ 倍したぶんがそっくり外へ出ます。

$$F(c{a}_0,\dots ,c{a}_n)=c^{d}F(a_0,\dots ,a_n)$$

$c\ne 0$ なので、$F$ の値が $0$ かどうかは代表によりません^[4]。値そのものは決まらないのに、零点だけは決まる。射影空間で斉次多項式しか扱わないのは、この一点のためです。

斉次化と非斉次化

アフィンの式と射影の式は、機械的に行き来できます。$d$ 次の $f(x_1,\dots ,x_n)$ に対し、足りない次数を $x_0$ で埋めたものが斉次化です^[1]。

$$f^{\ast }(x_0,\dots ,x_n)=x_0^{d}f\left(\frac{x_1}{x_0},\dots ,\frac{x_n}{x_0}\right)$$

逆向きは $x_0=1$ を代入するだけで、こちらを非斉次化といいます。$F_{\ast }(x_1,\dots ,x_n)=F(1,x_1,\dots ,x_n)$ と書きます。

放物線 $y=x^2$ で試します。斉次化すると $x_1{x}_2=x_0^2$ のように次数が $2$ でそろい、$x_0=1$ を入れれば元に戻る。

2 つの操作は完全な逆ではありません。$F$ が $x_0$ で割り切れるときは、非斉次化で落ちた成分が斉次化では戻らないためです。

アフィン標準被覆

射影空間は、$n+1$ 枚のアフィン空間で覆えます。$i$ 番目の座標が $0$ でない点を集めたものを $U_i$ と置きます。

$$U_i=\{(a_0:\cdots :a_n)\mid a_i\ne 0\}$$

$a_i$ で全体を割れば $i$ 番目が $1$ になり、残りの $n$ 個の比が自由に決まります。つまり $U_i$ はアフィン空間 ${\mathbb{A}}^n$ と 1 対 1 に対応します。

$$(a_0:\cdots :a_n)⟼\left(\frac{a_0}{a_i},\dots ,\widehat{\frac{a_i}{a_i}},\dots ,\frac{a_n}{a_i}\right)$$

この対応は単なる集合の全単射ではなく、ザリスキ位相まで込めた同相になります^[1]。どの点も少なくとも 1 つの座標は $0$ でないので、$n+1$ 枚で全体が覆えます。

重なりの部分も大事です。$U_0\cap U_1$ では $x_0$ と $x_1$ のどちらでも割れるので、2 通りの座標が入ります。その 2 つを結ぶ変換が、貼り合わせの規則になります。

例：射影直線を 2 枚で覆う

$n=1$ で書き下します。$U_0$ の座標は $t=x_1/x_0$、$U_1$ の座標は $s=x_0/x_1$ です。

重なり $U_0\cap U_1$ は両方の座標が $0$ でないところで、そこでは $s=1/t$ が成り立ちます。

$U_0$ で見えない点は $(0:1)$ の 1 点、$U_1$ で見えない点は $(1:0)$ の 1 点です。2 枚を貼ればとりこぼしがありません。

球面を北と南の 2 枚の地図で覆う話と、形はまったく同じです。

無限遠にあるのは方向

$U_0$ をアフィン空間と見なすと、残りは $x_0=0$ の部分です。ここは $(0:a_1:\cdots :a_n)$ の形の点だけからできています。

$${\mathbb{P}}^n={\mathbb{A}}^n\bigsqcup H_{\infty },H_{\infty }=\{x_0=0\}\cong {\mathbb{P}}^{n-1}$$

無限遠にあたるのは 1 点ではなく、$1$ つ低い次元の射影空間まるごとです^[1][6]。${\mathbb{P}}^1$ では 1 点、${\mathbb{P}}^2$ では 1 本の直線がそこに乗ります。

この分解を繰り返すと、次のように胞体へ分かれます。

$${\mathbb{P}}^n={\mathbb{A}}^n\bigsqcup {\mathbb{A}}^{n-1}\bigsqcup \cdots \bigsqcup {\mathbb{A}}^1\bigsqcup {\mathbb{A}}^0$$

${\mathbb{A}}^0$ は 1 点です。有限体 ${\mathbb{F}}_q$ の上で点を数えると $q^n+q^{n-1}+\cdots +1$ となり、この分解がそのまま個数の式になります。

例：平行な 2 直線はどこで交わるか

アフィン平面の 2 直線 $1+a{x}_1+b{x}_2=0$ を射影平面の中で閉じます。斉次化すると $x_0+a{x}_1+b{x}_2=0$ です。

無限遠直線 $x_0=0$ との交わりを見ると、$a{x}_1+b{x}_2=0$ から点が 1 つ決まります。

$$(0:-b:a)$$

この点は $a,b$ の比だけで決まり、定数項にはよりません^[1]。定数項を変えても平行なままなので、平行な直線どうしは同じ無限遠点を共有します。

つまり無限遠点は傾きの名札です。平行という関係は、無限遠で同じ点に会うことと言いかえられます。

位相としての姿

実数体や複素数体の上では、射影空間はよく知られた図形になります。

${\mathbb{CP}}^1$ が球面になるのは、$\mathbb{C}$ に無限遠点を 1 つ足した形だからです^[7]。複素解析でリーマン球面と呼ぶものと同じ図形になります。

複素射影空間はコンパクトです。この一点が、射影多様体を扱う理由の中心にあります。有界性を仮定しなくても、連続像が閉じるような舞台が手に入るためです。

座標を使わない言い方

ここまでは座標を固定して話しました。ベクトル空間 $V$ を用意すれば、座標なしでも同じものを作れます。

$\mathbb{P}(V)$ を $V$ の $1$ 次元部分空間全体と定めます。$V=k^{n+1}$ とすれば元の定義に戻り、基底のとり方を変えれば座標が変わるだけです^[3][5]。

環論の言葉でも書けます。多項式環に次数を入れ、$\mathrm{Proj}$ という操作を通すと射影空間が出ます^[2]。

$${\mathbb{P}}_R^n=\mathrm{Proj}R[T_0,\dots ,T_n]$$

この見方では標準被覆が $D_{+}(T_i)\cong {\mathbb{A}}_R^n$ として現れ、体の上に限らず任意の環の上で射影空間を作れます。

射影変換

$k^{n+1}$ の正則な線形変換は、直線を直線へ送るので ${\mathbb{P}}^n$ の変換を引き起こします。定数倍の行列は同じ変換を与えるため、群としては商をとります。

$${\mathrm{PGL}}_{n+1}(k)={\mathrm{GL}}_{n+1}(k)/k^{\times }$$

これが射影変換の全体です。アフィン変換と違い、無限遠直線を有限のところへ送れます。

射影直線では、相異なる 3 点を好きな 3 点へ送る変換がちょうど 1 つ存在します。4 点目に現れる不変量が複比です。

「無限遠」が特別な場所ではないことは、この群の存在からも見てとれます。どの超平面も、変換で無限遠直線へ移せるためです。

よくある誤り

参考文献