エタール射と滑らかな射〜逆写像定理が使えない世界の局所同型

微分幾何の局所同相、複素解析の分岐のない被覆、整数論の不分岐拡大。この 3 つに対応する概念が、代数幾何ではエタール射です^[1]。

なめらかな多様体のあいだの写像 $\phi :V\to W$ について、接空間の写像が同型になる点をエタールな点といいます^[1]。

$$(d\phi {)}_P:T_P(V)\stackrel{\sim }{\to }{T}_{\phi (P)}(W)$$

すべての点でこれが成り立てば、$\phi$ はエタールです。逆写像定理が使えそうな状況、と言いかえられます。

ところが代数幾何では、その定理が成り立ちません。ここが話の中心になります。

ヤコビ行列で判定する

${\mathbb{A}}^n$ から ${\mathbb{A}}^n$ への写像なら、判定は行列式ひとつで済みます^[1]。

$$\phi =(P_1,\dots ,P_n),\det \left(\frac{\partial P_i}{\partial X_j}(a)\right)\ne 0$$

接空間の写像がヤコビ行列そのものなので、階数が $n$ であることと同型であることが一致します。

一般の状況も同じ形に落ちます。$B=A[Y_1,\dots ,Y_n]/(P_1,\dots ,P_n)$ と書けているとき、ヤコビ行列式が消えないことがエタール性の条件です^[1]。

例：1 変数の被覆

もっとも見やすい例を挙げます。$V$ 上で $f(X)=\sum c_i{X}^i$ をとり、$W=\mathrm{Spm}(A[X]/(f))$ と置きます^[1]。

点 $a\in V$ の上にある $W$ の点は、$f_a(X)=\sum c_i(a)X^i$ の根 $b$ です。このとき $W\to V$ が $(a,b)$ でエタールになるのは、$b$ が単根のときに限ります。

重根のところで壊れる。重なった根は、動かすと分かれてしまうためです。

局所的には、エタール射はすべてこの形をしています^[1]。標準エタールと呼ばれ、$P^{\prime }$ が可逆になるように局所化した $R[X]/(P)$ として書けます^[3][5]。

$Y^2=X$ から ${\mathbb{A}}^1$ への射がその実例です。$0$ 以外では 2 対 1、原点だけで 2 枚がぶつかります^[1]。

複素数の上でリーマン面として見ると、2 枚の面が 1 点でつながった形になる。動きながら 1 周すると、別の面へ移ってしまいます^[1]。

逆写像定理が成り立たない

微分幾何なら、エタールな点のまわりで写像は局所同相になります。ザリスキ位相では、これが破れます^[1][2]。

$\phi :{\mathbb{A}}^1\to {\mathbb{A}}^1$、$a\mapsto a^2$ を標数 $2$ でない体で考えます。ヤコビ行列は $(2X)$ なので、$a\ne 0$ ではエタールです。

それでも、同型を与える空でない開集合の組は存在しません。もし存在すれば関数体の同型が出ますが、$X\mapsto X^2$ は関数体の同型ではないためです^[1]。

原因はザリスキ位相の粗さです。開集合が大きすぎて、平方根を定めるだけの小ささを持てない^[2]。

この不便さへの答えが、エタール位相です。開集合による被覆のかわりにエタール射による被覆を許すと、局所同相に近い議論が戻ってきます^[2]。

不分岐・平坦・エタール

3 つの語の関係を整理します^[3][5]。

エタールは、なめらかな射のうち相対次元が $0$ のものとしても書けます^[2]。有限型の射なら、なめらかかつ準有限であることと同値です^[4]。

不分岐だけでは足りません。1 点をとり出す閉埋め込みは不分岐ですが、平坦でないのでエタールになりません。

なめらかな射

なめらかさは、次の 3 条件で定義されます^[4]。

なめらかな多様体の平坦な族、という言い方がそのまま定義になっています。相対次元が $0$ ならエタールです。

微分の言葉でも書けます。平坦であって ${\Omega }_{X/S}$ が相対次元と同じ階数の局所自由層になることが、なめらかであることと同値です^[4]。

ヤコビ判定法もあります。$B=A[t_1,\dots ,t_n]/(P_1,\dots ,P_m)$ と書けているとき、$m$ 次の小行列式が生成するイデアルが $B$ 全体になればなめらかです^[4]。

エタール射の例と性質

開埋め込みはエタールです。分離的な有限体拡大もエタールで、$d$ が可逆なときの $d$ 乗根をとる被覆もそうなります^[2]。

エタール射は合成で閉じ、基底変換で保たれ、しかも開写像になります^[3]。平坦性から開性が出るためです。

支配的な射については、関数体が有限分離拡大なら、空でない開集合の上でエタールになります^[1]。生成点のあたりでは行儀がよい、という主張です。

局所座標系との関係

なめらかな点 $P$ のまわりでは、局所パラメータの組をとると、そのままエタール射が作れます^[1]。

$$(f_1,\dots ,f_d):U⟶{\mathbb{A}}^d$$

$d$ は次元で、$f_i$ は極大イデアルを生成する関数です。座標を選ぶという操作が、アフィン空間へのエタール射を作る操作として書けている。

局所同型にはなりませんが、完備化まで進むと同型になります。なめらかな点の完備局所環は形式的べき級数環と同型で、テイラー展開に対応する言い方が手に入ります^[1]。

未解決の問題

${\mathbb{A}}^n$ から ${\mathbb{A}}^n$ へのエタール射がいつでも同型になるか。これはヤコビ予想と呼ばれ、いまも解けていません^[1]。

ヤコビ行列式がどこでも消えないなら、それは零でない定数になります。そこから逆写像の存在まで進めるかどうかが問われている。

複素数体で $n=2$ の場合すら決着していません。証明が何度も発表されては誤りが見つかっており、見た目より難しい問題として知られています^[1]。

よくある誤り

参考文献