極限を使わずに微分をつくる、ケーラー微分の加群

代数幾何には極限がありません。それでも微分は使いたい。そこで微分の性質だけを書き出し、それを満たす最小の道具を作ります^[1]。

必要な性質は 3 つです。和を保つこと、係数を消すこと、積でライプニッツ則を満たすこと。

$$d(f+g)=df+dg,d(\phi (a))=0(a\in A),d(fg)=fdg+gdf$$

これを満たす $d:B\to M$ を $A$ 上の微分といいます。行き先として最も一般的な加群がケーラー微分の加群で、${\Omega }_{B/A}$ と書きます。

生成元と関係式で作る

素直な作り方は、記号を並べて関係式で割るものです^[1][3]。

$B$ の元 $b$ ごとに記号 $db$ を用意し、$B$ 上の自由加群を作ります。そこを次の 3 種類の関係式で割る。

関係式は、上に並べた微分の性質をそのまま書き写しただけです。作りたい性質を関係式にして割る、というのは環論でよく使う手口になります。

普遍性

この作り方から、次の対応がただちに出ます^[1][5]。

$${\mathrm{Hom}}_B({\Omega }_{B/A},M)\cong {\mathrm{Der}}_A(B,M)$$

$M$ への微分を作る仕事が、${\Omega }_{B/A}$ からの準同型を作る仕事に置きかわりました。微分をひとつ作るたびに定義を確かめる手間が消えます。

普遍性で決まるので、${\Omega }_{B/A}$ は同型を除いてただ 1 つです。作り方が別でも、同じものが出てくる。

対角線から作る

もう 1 つの作り方は、幾何的な見通しがよいものです^[3][4]。掛け算の写像の核を使います。

$$B{\otimes }_{A}B⟶B,I=\ker$$

$${\Omega }_{B/A}=I/I^2,db=b\otimes 1-1\otimes b$$

$B{\otimes }_{A}B$ は積のスキームにあたり、$I$ は対角線を定めるイデアルです。$I$ を $I^2$ で割ると、対角線の 1 次の近傍だけが残ります^[3]。

2 点が限りなく近づく状況を、$I^2$ を捨てることで書いている。極限のかわりに「2 次以上を無視する」という操作を置いた形です。

割り算をしないで接線を作る

微分係数を極限で定めるとき、$2$ 点を近づけて割り算をします。$I/I^2$ の作り方は、この割り算を避けて同じ情報を拾います。

$I$ は 2 点が一致する場所を測る量、$I^2$ はその 2 乗ぶんのずれです。差の 1 次の項だけを残すと、接線の情報が出てきます。

スキームに移すときも、この見方がそのまま効きます。${\Omega }_{X/S}$ は対角射の余法束にあたり、そこから準連接であることが従います^[2]。

例：多項式環

いちばん基本の計算です。$B=A[t_1,\dots ,t_n]$ なら、${\Omega }_{B/A}$ は階数 $n$ の自由加群になります^[3][4]。

$${\Omega }_{A[t_1,\dots ,t_n]/A}=\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}Bd{t}_i$$

一般の多項式については、偏微分係数を並べた形で書けます。

$$df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial t_i}d{t}_i$$

微積分で習う式と同じものが、極限を 1 度も使わずに出ました。関係式だけで組み立てたので、係数がどんな環でも同じ式が成り立ちます。

商をとると関係式が現れる

$B=A[t_1,\dots ,t_n]/J$ のように関係式で割った環では、その関係式の微分が効いてきます^[1][3]。

$$J/J^2⟶{\Omega }_{A[t]/A}\otimes B⟶{\Omega }_{B/A}⟶0$$

左端の写像は $f\mapsto df$ です。図形を定める式を微分したものが、そのまま微分の側の関係式になります。

円 $x^2+y^2=1$ で確かめます。$\Omega$ は $dx$ と $dy$ で生成され、関係式が 1 本入ります。

$x$ か $y$ の少なくとも一方は可逆なので、局所的には階数 $1$ の自由加群です。曲線の次元と一致しました。

特異点があると事情が変わります。$y^2=x^3$ の原点では関係式が退化し、局所自由でなくなる。$\Omega$ の壊れ方が、そのまま特異性の目印になります。

合成についての完全列

環の列 $A\to B\to C$ があると、次の完全列が出ます^[1][3]。

$$C{\otimes }_B{\Omega }_{B/A}⟶{\Omega }_{C/A}⟶{\Omega }_{C/B}⟶0$$

途中の環で測った微分と、全体で測った微分の差が右端に出ます。連鎖律を加群の言葉で書いたものです。

左端が単射になるとは限りません。単射になる条件を調べることが、なめらかさの判定に直結します。

例：標数 p では微分が消える

標数 $p$ の体の上で $t^p$ を微分します。ライプニッツ則から $d(t^p)=p{t}^{p-1}dt$ となり、係数の $p$ が $0$ なので式全体が消えます。

$K={\mathbb{F}}_p(u)$ に $t^p=u$ を満たす $t$ を添加した拡大では、${\Omega }_{L/K}$ が $dt$ で生成される 1 次元の空間として残ります。代数拡大なのに微分が消えない。

分離拡大なら ${\Omega }_{L/K}=0$ になります。$\Omega$ が消えるかどうかで、分離的かどうかを判定できる。

標数 $0$ で有限生成な拡大 $L/K$ については、${\Omega }_{L/K}$ の次元が超越次数と一致します^[4]。

なめらかさとのつながり

${\Omega }_{X/Y}=0$ であることと、不分岐であることが対応します^[3]。微分の自由度がまったく残らない状況です。

有限型の射については、平坦であって ${\Omega }_{X/Y}$ が正しい階数の局所自由層になることが、なめらかであることと同値になります^[3]。

閉点で $\Omega$ のファイバーをとると、余接空間が出ます。なめらかな点では次元が図形の次元に等しく、特異点では大きくなる。

なめらかなら $\Omega$ は局所自由層、つまり束です。余接束と呼ばれるものがこれにあたります。曲線の場合、その最高次外冪が標準束になり、種数の計算に効いてきます。

層としての性質

スキームの射 $f:X\to S$ に対しても、同じ普遍性で ${\Omega }_{X/S}$ が定まります^[2]。

$f$ が局所有限型なら ${\Omega }_{X/S}$ は有限型、局所有限表示なら有限表示になります^[2]。基底変換とも素直に交換します。

局所化とも交換するので、アフィンでの計算がそのまま貼り合わさります^[5]。環のレベルで計算しておけば、スキームの上の話へ持ち上がる。

計算の道具としても扱いやすい。生成元と関係式が具体的なので、定義式さえ書ければ $\Omega$ は手で求まります。

よくある誤り

参考文献