「閉じていない点」がスキームにはある（生成点と整スキーム）
の点を数えると、 の元に対応する閉点のほかに、もう 1 つ余ります。零イデアル です。
この点は閉じていません。閉包をとると直線ぜんぶに広がります[2]。
多様体の言葉では点はどれも閉じていたので、この余りは戸惑いのもとになります。ところが余った点こそ、その図形の全体を 1 点で代表するものになっている。
閉包が全体になる点
位相空間 の点 が生成点であるとは、 の閉包が 全体になることをいいます[3]。
同じことを開集合で言いかえられます。空でないどの開集合も を含む、という条件です[4]。どこへ寄っても逃げられない点、と読めます。
ハウスドルフ空間では、点が 2 つ以上あれば生成点は存在しません[3]。ザリスキ位相が分離公理を満たさないからこそ、こういう点が現れます。
整域 に対して の生成点は です。剰余体は の商体になります[3]。
既約閉集合と点が 1 対 1
スキームでは、生成点は余り物ではありません。既約な閉集合ちょうど 1 つに、点ちょうど 1 つが対応します[2]。
どの点 についても、閉包 は既約閉集合です。逆に既約閉集合 には、 となる がただ 1 つあります[3]。
この性質を持つ空間をソーバーな空間といいます。 はいつでもソーバーです。
つまり閉じていない点は、部分図形の名札になっています。曲線 1 本に点 1 つ、平面ぜんぶに点 1 つ。図形の階層が、そのまま点の階層として空間に入っている。
閉包を目で見る
次の図は、点を 1 つ選んでその閉包を塗るものです。選ぶ点によって、塗られる範囲が 1 点から曲線、平面全体へと変わります。
例：整数環と多項式環
の点は、素数に対応する閉点と、 の 1 点です[4]。 の剰余体は で、素数 の点では になります。
有限集合が閉集合になる位相を に入れると、 と同じ形が現れます。 が生成点にあたる[4]。
なら 3 段です。極大イデアルが平面の点、既約多項式 が曲線、 が平面全体を代表します。
| 閉点。剰余体は | |
| 、 は既約 | 曲線の生成点。剰余体は曲線の関数体 |
| 平面の生成点。剰余体は |
被約・既約・整
3 つの語をそろえておきます。被約とは、構造層に零でないべき零元がないことです。既約とは、空間が 2 つの真の閉集合の和にならないこと。
整スキームは、空でなく、どの空でないアフィン開集合 をとっても が整域になるものです[1]。
この 3 つは次のように結びつきます[1]。
被約である
かつ既約である
整である
証明は素直です。整域なら零因子がないので被約、素イデアル を持つので既約。逆向きは、既約かつ被約なアフィン開集合の座標環が整域になることを見ればよい。
注意すべき例もあります。連結なアフィンスキームで、すべての局所環が整域なのに全体としては整でないものが作れます[1]。局所的な条件だけでは足りません。
整スキームの関数体
整スキーム の生成点 における茎 は体になります。これを関数体と呼びます[5]。
アフィン開集合 で見れば、 での局所化、つまり の商体です。どの開集合をとっても同じ体が出ます。
有理関数の全体を、1 点の茎として拾えている。関数体を「どこかの開集合の上の関数の同値類」として定義しなくてよくなります。
生成点で議論する
既約スキームでは、開集合についての主張と生成点についての主張が対応します[3]。生成点はどの空でない開集合にも入っているためです。
「ある性質が生成点で成り立つ」は「ある空でない開集合の上で成り立つ」に翻訳できる場面が多く、一般の点で成り立つという言い方が、生成点 1 つの言明に落ちます。
歴史的にも、生成点は一般の位置にある点という直観から来ています[2]。ヴェイユは点の族として扱い、ザリスキが一意なものとして扱う立場をとり、スキーム論ではそちらが標準になりました。
族の退化を見るときにも、この対比が効きます。生成点でのファイバーと、特殊な閉点でのファイバーを比べる。生成ファイバーと特殊ファイバーという言い方は、ここから来ています。
よくある誤り
参考文献
