点の組にならないファイバー積｜スキームの引き戻しと基底変換

2 つの写像 $X\to S$ と $Y\to S$ から、行き先が一致する組を集める。集合ならこれで話が終わります。

$$X{\times }_{S}Y=\{(x,y)\mid f(x)=g(y)\}$$

スキームでも同じ図式を書けます。ところが、できあがるスキームの点は組ではありません。多いことも少ないこともあり、そのずれ自体が意味を持ちます。

普遍性で定める

構成を先に決めず、満たすべき性質だけを書きます^[3]。

$X{\times }_{S}Y$ とは、$X$ と $Y$ への射を持ち、$S$ への 2 通りの合成が一致し、しかも同じ条件を満たすどんな $T$ からの射も、ただ 1 つの射でここを経由するもののことです^[1][5]。

普遍性で決めたので、存在すれば同型を除いて 1 つに定まります。あとは本当に存在するかどうかだけが問題として残る。

アフィンならテンソル積

アフィンスキームの場合は答えがすぐ出ます。環の側でテンソル積をとるだけで済みます^[1][4]。

$$\mathrm{Spec}A{\times }_{\mathrm{Spec}R}\mathrm{Spec}B=\mathrm{Spec}(A{\otimes }_{R}B)$$

環準同型の圏でテンソル積が押し出しになっているので、矢印を逆向きにすると引き戻しに変わります。

一般のスキームは、アフィンな開集合で覆って貼り合わせます^[2]。$S$ をアフィンで覆い、その上に乗る $X$ と $Y$ のアフィンを持ってきて、それぞれの積を貼る手順です。

貼り合わせの検証は手間ですが、筋は単純です。ファイバー積はいつでも存在します。

点は組にならない

ここからが集合と違うところです。$\mathbb{C}$ を $\mathbb{R}$ 上で 2 回テンソルしてみます。

$$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$

左辺の $\mathrm{Spec}$ は 2 点です。集合として引き戻せば $1\times 1=1$ 点しかないはずなのに、スキームでは 2 点になります^[3]。

理由は共役です。$\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}$ への $\mathbb{R}$ 上の同型が恒等写像と複素共役の 2 つあり、その 2 通りが点として分かれます。

一般には次のように書けます^[2]。$X{\times }_{S}Y$ の点は、同じ $s$ へ落ちる $x$ と $y$ の組に、剰余体のテンソル積の素イデアルを 1 つ添えたものです。

$$(x,y,s,\mathfrak{p}),\mathfrak{p}\subset \kappa (x){\otimes }_{\kappa (s)}\kappa (y)$$

組 1 つに対して点が 0 個のことも、複数のこともある。体の拡大がどう絡み合うかが、そのまま点の個数に出ます。

ファイバーもこの形で書ける

写像の逆像を、スキームとして扱う道具もファイバー積です^[3]。

$$X_y=X{\times }_Y\mathrm{Spec}\kappa (y)$$

$\kappa (y)$ は $y$ での剰余体です。この定義なら、逆像が単なる点集合ではなく、剰余体の上のスキームとして手に入ります。

重複度も落ちません。$\mathrm{Spec}k[x,t]/(x^2-t)$ から $\mathrm{Spec}k[t]$ への射で $t=0$ のファイバーをとると、$k[x]/(x^2)$ が出ます。点は 1 つでも、長さは 2 のまま残る。

族としての見方

次の図は、$S$ の点を動かしながら 2 つの族のファイバーを見るものです。ファイバー積のファイバーは、ファイバーどうしの積になります。

真ん中で 2 本の枝がぶつかると、$X$ のファイバーが 1 点につぶれます。積のほうも $6$ 点から $3$ 点へ落ちる。

つぶれた点では、スキームとしての長さが $2$ のまま残っています。見た目の個数が減っても、数え方を変えれば保たれている。

基底変換

$S$ を別の底にとりかえる操作を、基底変換といいます。$S^{\prime }\to S$ を与えて、$X$ を $X{\times }_S{S}^{\prime }$ に置きかえる^[3]。

係数体を広げる操作がその典型です。$\mathbb{R}$ 上の曲線を $\mathrm{Spec}\mathbb{C}\to \mathrm{Spec}\mathbb{R}$ で引き戻すと、複素数上の曲線が得られます。

基底変換で保たれる性質は多く、平坦・固有・滑らかはいずれも保たれます^[3]。この安定性があるので、族を動かしながら性質を追える。

保たれないものもあります。既約性や整性は、体を広げると壊れることがある。$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ は体ですが、$\mathbb{C}$ へ上げると 2 つに割れます。

積との関係

$S$ を 1 点にすると、ふつうの積に戻ります^[4]。スキームの世界では $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ が終対象なので、絶対的な積は $\mathbb{Z}$ 上のファイバー積です。

体 $k$ 上で考えるときは $S=\mathrm{Spec}k$ です。

$${\mathbb{A}}_k^1{\times }_{\mathrm{Spec}k}{\mathbb{A}}_k^1={\mathbb{A}}_k^2$$

この等式も、点集合としては成り立ちません。${\mathbb{A}}_k^2$ には曲線に対応する点があり、それは ${\mathbb{A}}_k^1$ の点の組では表せない^[3]。

位相にいたっては、積位相ですらありません。ザリスキ位相の積は、対角線を閉集合にするだけの細かさを持たないためです。

よくある誤り

参考文献