逃げ場をふさぐという条件……固有射と射影射

アフィン直線には端がありません。点が遠くへ逃げても、行き着く先が用意されていない。

射影直線には無限遠点があるので、逃げた点にも行き先があります。この違いを射の言葉で書いたものが固有性です^[3]。

位相ではコンパクト性が同じ役割をします。ところがザリスキ位相では、アフィン直線もコンパクトになってしまう。コンパクト性をそのまま使えないので、閉写像であることのほうを条件にします^[1]。

閉写像だけでは足りない

まず素朴に「閉集合の像が閉集合になる」を課してみます。これでは弱すぎます。

${\mathbb{A}}^2\to {\mathbb{A}}^1$ の第 1 座標への射影を見ます。双曲線 $xy=1$ は閉集合ですが、その像は原点を除いた直線です。

原点だけが像から抜けます。閉集合を送ったのに、像は閉集合になりません。

${\mathbb{A}}^1\to \mathrm{Spec}k$ 自体は閉写像です。ところが ${\mathbb{A}}^1$ を掛けて ${\mathbb{A}}^2\to {\mathbb{A}}^1$ にした途端に壊れる。1 回の閉写像性では足りないという証拠です。

普遍的に閉

そこで、どんな基底変換をしても閉写像であることを課します^[1]。

$f:X\to Y$ が普遍的に閉であるとは、任意の $T\to Y$ に対して $X{\times }_{Y}T\to T$ が閉写像になることをいいます。

この条件は合成で保たれ、基底変換でも保たれます。しかも行き先について局所的なので、$Y$ をアフィンで覆って確かめれば十分です^[1]。

固有射の定義

固有射は 3 つの条件の組み合わせです^[1][2]。

分離的は極限が 2 つに割れないこと、有限型は環が有限生成であること、普遍的に閉が逃げ場をふさぐことにあたります。

3 つのどれを外しても具合が悪くなります。アフィン直線は分離的で有限型ですが普遍的に閉ではなく、無限次元の環を持つスキームは有限型から外れる。

射影空間は普遍的に閉

固有射がたくさんあることを保証するのが次の主張です^[1]。

$${\mathbb{P}}_S^n⟶S\text{は普遍的に閉}$$

証明の骨格は次のとおりです。行き先について局所的なので $S=\mathrm{Spec}A$ としてよく、閉集合 $V_{+}(I)$ の像の外側が開集合であることを示します。

$y$ が像に入らないことは、$(B/I{)}_m{\otimes }_A\kappa (y)=0$ が十分大きい $m$ で成り立つことと同値になる。ここで中山の補題を使うと、$y$ のまわりの小さい開集合でも同じことが成り立つと分かります^[1]。

${\mathbb{P}}_S^n\to S$ は分離的でもあり、有限型でもあります。よって固有です。

射影射

$X\to S$ が射影的であるとは、ある $n$ について閉埋め込み $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}_S^n$ があり、$S$ への射と両立することをいいます。

閉埋め込みは固有で、固有射の合成も固有です^[2]。したがって射影射はすべて固有になります。

逆は成り立ちません。固有だが射影的でない多様体が存在します。3 次元のなめらかで完備な非射影的多様体が知られており、次元 3 が最小です^[4]。

曲線と曲面では話が単純になります。既約で分離的な曲線は準射影的、なめらかで完備な曲面は射影的です^[4]。

付値による判定

固有性は、離散付値環を使って判定できます^[3]。

$R$ を離散付値環、$K$ をその商体とします。$\mathrm{Spec}K\to X$ が与えられ、$\mathrm{Spec}R\to Y$ と両立しているとき、$\mathrm{Spec}R\to X$ への延長がちょうど 1 つ存在する。これが固有性の判定条件です。

分離性の判定と形がそろっています。分離的が「たかだか 1 つ」、固有が「ちょうど 1 つ」です。

曲線を描いて 1 点だけ抜けたとき、その穴を埋められるか。埋め方が 2 通りあるなら分離的でなく、埋められないなら固有でない。

固有だと何が言えるか

像が閉集合になります^[2]。$X$ が $S$ 上で固有、$Y$ が $S$ 上で分離的なら、$X\to Y$ の像は $Y$ の閉集合です。

コンパクト集合の連続像がコンパクト、という主張と同じ形をしています。位相での便利さが、そのまま移ってきている。

大域関数も強く制限されます。固有で連結な多様体の上では、正則関数のなす空間が有限次元になります^[3]。代数閉体の上の整な場合には、定数関数しか残りません。

${\mathbb{P}}^n$ の上に非定数の正則関数がないという事実は、この特別な場合にあたります。アフィン多様体との差がここに出ます。

複素数の上では

複素数体の上で有限型なスキームについては、位相の言葉に翻訳できます^[3]。

$$X\text{ が }\mathbb{C}\text{ 上で固有}⟺X(\mathbb{C})\text{ が古典位相でコンパクト}$$

コンパクト性の代わりという言い方が、ここで文字どおりの意味になります。射影多様体の複素点がコンパクトになるのも、この対応から出ます。

よくある誤り

参考文献