Proj - 次数つき環を射影スキームに変える操作

$\mathrm{Spec}$ は環 1 つからアフィンスキームを作ります。ところが射影空間は、どんな環の $\mathrm{Spec}$ としても出てきません。

$k[x_0,x_1]$ の $\mathrm{Spec}$ はアフィン平面です。射影直線がほしいのに、次元が 1 つ多い図形が出てしまう。

足りないのは次数の情報です。環に次数を入れ、比だけを見る仕組みを組み込んだ操作が $\mathrm{Proj}$ になります^[1]。

次数つき環と無関係イデアル

次数つき環とは、加法群として次数ごとの直和に分かれ、掛け算が次数を足す環のことです^[7]。

$$S=\underset{d\ge 0}{⨁}{S}_d,S_d\cdot S_e\subseteq S_{d+e}$$

負の次数は許しません。$S_0$ は部分環になり、正の次数の部分をすべて集めたものを無関係イデアル $S_{+}$ と呼びます^[1]。

$$S_{+}=\underset{d>0}{⨁}{S}_d$$

$S=k[x_0,\dots ,x_n]$ で各変数の次数を $1$ とすれば、$S_0=k$ で $S_{+}=(x_0,\dots ,x_n)$ です。定数項のない多項式の全体にあたります。

Proj の点は斉次素イデアル

$\mathrm{Proj}S$ の点は、$S_{+}$ を含まない斉次素イデアルです^[1][2]。

$$\mathrm{Proj}S=\{\mathfrak{p}\subset S\mid \mathfrak{p}\text{ は斉次素イデアル},S_{+}⊈\mathfrak{p}\}$$

$\mathrm{Spec}S$ の部分集合なので、位相はそこから引き継ぐだけで済みます。この空間を斉次スペクトルとも呼びます^[1]。

外すのは $S_{+}$ を含む点です。$k[x_0,x_1]$ でいえば $(x_0,x_1)$ が該当し、これはアフィン平面の原点にあたります。

原点は射影直線の点になりません。錐の頂点を落とす操作が、そのままイデアルの条件として書かれている形です。

標準開集合と次数 0 の局所化

正の次数の斉次元 $f$ に対し、$f$ を含まない点を集めた $D_{+}(f)$ が基本の開集合です^[1]。

$$D_{+}(f)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Proj}S\mid f\notin \mathfrak{p}\}$$

これらは位相の基底になり、$D_{+}(f)\cap D_{+}(g)=D_{+}(fg)$ という都合のよい関係も満たします^[3]。

$D_{+}(f)$ の上の環は、$S_f$ をそのまま使いません。使うのは次数 $0$ の部分だけです^[1]。

$$S_{(f)}=\left\{\frac{r}{f^n}|r\text{ は斉次},\mathrm{deg}r=n\mathrm{deg}f\right\}$$

分子と分母の次数をそろえると、代表を $\lambda$ 倍したときの $\lambda$ が約分で消えます。斉次座標の比だけが意味を持つという事情が、環の言葉に翻訳されたものです。

貼り合わせてスキームになる

ここまで来ると、あとはアフィンスキームの貼り合わせです。$D_{+}(f)$ は $\mathrm{Spec}{S}_{(f)}$ と同型で、大域切断もちょうど $S_{(f)}$ になります^[3]。

$$\Gamma (D_{+}(f),{\mathcal{O}}_{\mathrm{Proj}S})=S_{(f)},D_{+}(f)\cong \mathrm{Spec}{S}_{(f)}$$

$S_{+}$ を含まない点は、正の次数のどれかの $f$ を含まないので、標準開集合のどれかに入ります。つまり $D_{+}(f)$ たちが全体を覆う。

覆えたので、$\mathrm{Proj}S$ はスキームです^[2]。しかもこの構成から分離的であることまで従います。

$\mathrm{Proj}S\to \mathrm{Spec}{S}_0$ という射も自然に付いてきます^[1]。係数環の上の族として射影スキームを見る、という視点がここで手に入ります。

例：射影直線を組み立てる

$S=k[x_0,x_1]$ で書き下します。$D_{+}(x_0)$ の環は、分母を $x_0$ のべきにして次数を $0$ にそろえたものです。

$$S_{(x_0)}=k\left[\frac{x_1}{x_0}\right],S_{(x_1)}=k\left[\frac{x_0}{x_1}\right]$$

どちらも 1 変数の多項式環なので、$D_{+}(x_0)$ と $D_{+}(x_1)$ はアフィン直線です。重なりの上では 2 つの座標が逆数の関係で結ばれます^[8]。

次の図は、その貼り合わせを目で追うものです。上の直線で点が右へ逃げるとき、下の直線では $0$ に近づきます。

同じ 2 枚を $t\mapsto t$ で貼ると、原点が 2 つある直線という分離的でないスキームになります^[1]。貼り方の違いだけで、できあがる図形の質が変わる。

閉集合と、空になる条件

斉次イデアル $I$ に対する閉集合は $V_{+}(I)$ と書きます。$\mathrm{Proj}S$ の閉集合はすべてこの形です^[1]。

$$V_{+}(I)=\varnothing ⟺S_{+}\subseteq \sqrt{I}$$

射影版の零点定理と同じ条件が、ここでは環の言葉だけで出ています。体も代数閉性も使いません。

例：準コンパクトとは限らない

$\mathrm{Spec}$ はいつでも準コンパクトですが、$\mathrm{Proj}$ はそうとは限りません^[4]。

準コンパクトになるのは、有限個の斉次元 $f_1,\dots ,f_n\in S_{+}$ で $S_{+}\subseteq \sqrt{(f_1,\dots ,f_n)}$ が成り立つときに限ります。変数が無限個ある次数つき環を考えると、この条件が壊れます。

$S_{+}$ が有限生成なら心配は要りません。$k[x_0,\dots ,x_n]$ のように普段扱う環は、この条件を満たしています。

重み付き射影空間

変数の次数を $1$ にそろえる決まりはありません。$\mathrm{deg}{x}_i=a_i$ と重みを変えても $\mathrm{Proj}$ は作れます^[6]。

重みを変えると、なめらかでない点が現れることがあります。$\mathrm{Proj}$ が受けつける入力は広く、出力も射影空間の中には収まりません。

基底変換

$\mathrm{Proj}$ は係数のとりかえと素直に交換します。$A$ 代数として次数つき環 $B$ をとり、$A$ 代数 $C$ で係数を変えると、次の同型が成り立ちます^[1]。

$$\mathrm{Proj}(B{\otimes }_{A}C)\cong \mathrm{Proj}B{\times }_{\mathrm{Spec}A}\mathrm{Spec}C$$

射影空間そのものも、この形で定義できます^[5]。${\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n=\mathrm{Proj}\mathbb{Z}[x_0,\dots ,x_n]$ と置き、任意のスキーム $S$ の上へは積で運びます。

体を固定せずに射影空間が定義できる。整数環の上で考えたければそのまま考えられる、というのがこの構成の強みです。

よくある誤り

参考文献