2 つの曲線は何点で交わるか？ベズーの定理と交点数の測り方

2 次曲線と 3 次曲線は何点で交わるか。答えは $6$ 点ですが、そのまま数えると合いません。

アフィン平面で実数の点だけを見ていると、$6$ より少なくなります。交点が無限遠へ逃げ、複素数の範囲に隠れ、重なって 1 点に見える。3 つの逃げ道があるためです^[3]。

射影平面に移し、代数閉体をとり、重複度を数える。この 3 つをそろえたとき、はじめて等号になります^[2]。

$$\sum _{P\in {\mathbb{P}}^2}I(P,F\cap G)=\mathrm{deg}F\cdot \mathrm{deg}G$$

等号を壊す 3 つの逃げ道

まず無限遠です。放物線 $y=x^2$ と直線 $y=c$ はアフィンで 2 点、放物線と直線 $x=c$ は 1 点しか交わりません。足りない 1 点は無限遠にあります。

次に実数です。円 $x^2+y^2=1$ と直線 $y=2$ は、実の交点を持ちません。複素数まで広げると 2 点が現れます。

最後に接触です。円と接線は 1 点で触れているように見えて、交点数としては 2 と数えます。

3 つとも、交点が消えたわけではありません。数え方の枠を広げれば残っている。ベズーの定理は、その枠を明示したものです。

交点数をどう定めるか

$P$ での交点数は、局所環を使って定めます^[1][5]。

$$I(P,F\cap G)={\dim }_k{\mathcal{O}}_P({\mathbb{A}}^2)/(F,G)$$

${\mathcal{O}}_P$ は $P$ での局所環、つまり $P$ で分母が消えない有理関数の全体です。そこを $F$ と $G$ の生成するイデアルで割り、残った空間の次元を数えます。

$F$ と $G$ が $P$ を通らなければ、イデアルは全体になり次元は $0$ です。共通成分を持つときは無限大になります。

割ってから次元を数えるという操作が、なぜ交点の個数を表すのか。答えは次の性質にあります。

交点数を決める 7 つの性質

交点数は、次を満たす量としてただ 1 つに決まります^[1]。

7 番目が計算の要です。$G$ に $F$ の倍元を足しても交点数が変わらないので、割り算のように次数を下げていける^[1]。

局所環の商の次元が、この 7 つをすべて満たす。だから交点数の定義として使えます。

例：接する曲線の交点数

放物線 $F=y-x^2$ と直線 $G=y$ を原点で見ます。7 番目の性質で $G$ の倍元を引くと、$F$ を $-x^2$ にとりかえられます。

$$I(P,F\cap G)=I(P,(-x^2)\cap y)=2$$

$x^2$ と $y$ の生成するイデアルで局所環を割ると、$1$ と $x$ が残るので次元は $2$ です。接するとは、交点数が $2$ 以上になることでした。

カスプ $F=y^2-x^3$ と直線 $y=0$ ならどうなるか。同じ手順で $x^3$ と $y$ になり、残るのは $1,x,x^2$ の 3 つです。

5 番目の性質とも合っています。カスプでは $m_P(F)=2$、直線は $1$ なので $I\ge 2$ ですが、接線を共有しているぶん $1$ だけ大きくなります。

ベズーの定理

代数閉体の上で、共通成分を持たない射影平面曲線 $F$、$G$ について次が成り立ちます^[2][4]。

$$\sum _{P}I(P,F\cap G)=\mathrm{deg}F\cdot \mathrm{deg}G$$

交点は必ず存在します。和が正になるので、少なくとも 1 点は共有する。相異なる点の個数は多くても $\mathrm{deg}F\cdot \mathrm{deg}G$ 個です^[4]。

証明の 1 つは終結式を使います。$F$ と $G$ を $Z$ の多項式と見て終結式 $R(X,Y)$ をとると、これは $mn$ 次の斉次式になり、その根が交点に対応します^[2]。

歴史は古く、マクローリンが 1720 年ごろに述べ、ベズーが 18 世紀に証明を与えました^[3][6]。重複度をどう定めるかが長く問題として残り、任意の代数閉体で通る形にまとまったのは 20 世紀です。

例：2 つの円錐曲線

円 $x^2+y^2=z^2$ と別の円錐曲線は、重複度こみで $2\times 2=4$ 点で交わります。

同心円 2 つを実平面で見ると、交点は 1 つも見えません。射影平面の無限遠を見ると、どの円も $(1:\pm i:0)$ という 2 点を通っています。

同心円はこの 2 点でそれぞれ重複度 2 で接している。実の平面から見えないところで、$4$ という数はきちんと保たれています。

例：3 次曲線と直線

3 次曲線と直線は $3\times 1=3$ 点で交わります。この事実が、楕円曲線の群構造を支えています。

2 点を通る直線を引き、残る 1 点を見つける。この操作が加法の定義になり、結合法則までもがベズーの定理の系として証明できます。

接線を引いた場合も同じです。接点を 2 回数えるので、やはり合計は 3 になります。

高次元へ

${\mathbb{P}}^n$ の中で $n$ 個の超曲面をとり、共通部分が有限なら、点の個数は重複度こみで次数の積になります^[3]。

$$\mathrm{deg}{F}_1\cdot \mathrm{deg}{F}_2\cdots \mathrm{deg}{F}_n$$

共通部分が有限でないときは、この主張は成り立ちません。無限個の点を持つ成分が出た時点で、数える対象が変わってしまうためです。

一般の状況では、交点数は交叉理論の枠組みで定義されます。局所環の長さとして定める方法が、そのまま高次元へ持ち上がる形です^[3]。

よくある誤り

参考文献