鍵穴の経路で多価関数を積分する、ガンマ関数の相反公式まで

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\frac{\pi }{\sin \pi a}(0<a<1)$$

指数 $a$ が整数でないので、$x^{a-1}$ は複素平面へ延ばすと一価になりません。$z$ を原点のまわりに $1$ 周させると、値が $e^{2\pi i(a-1)}$ 倍になって戻ってくる。

一価でない関数は、そのままでは積分できません。切れ目を入れて分枝を $1$ つ選び、その切れ目に沿って進む経路を作ります。それが鍵穴の経路です^[2]。

多価性は邪魔者に見えて、この計算では主役になります。上下で値がずれるからこそ、$2$ 本の直線部分が打ち消し合わずに残る。

切れ目を正の実軸に置く

偏角の範囲を $0<\arg z<2\pi$ と決めます。切れ目は正の実軸で、そこを境に値が飛ぶ。

$$z^{a-1}=e^{(a-1)\log z},\log z=\ln |z|+i\arg z$$

切れ目のすぐ上では $\arg z=0$ なので、$z^{a-1}=x^{a-1}$ です。すぐ下では $\arg z=2\pi$ になり、$z^{a-1}=x^{a-1}{e}^{2\pi i(a-1)}$。

同じ実数を代入しているのに、上と下で答えが違います。この差が計算の手がかり。

色が薄いところが $\arg =0$、濃いところが $\arg$ の大きいところです。正の実軸をまたぐ瞬間に $0$ と $2\pi$ が接して、値が不連続になる。

鍵穴を回す

経路は $4$ 本です。切れ目のすぐ上を $\epsilon$ から $R$ まで進み、半径 $R$ の円をほぼ $1$ 周し、切れ目のすぐ下を $R$ から $\epsilon$ まで戻り、半径 $\epsilon$ の小円で逆向きに回る。

切れ目をまたがないので、経路の上で $z^{a-1}$ は一価のまま。囲まれた領域の中には $z=-1$ の極が $1$ つだけ入ります。

直線 2 本が残る

上下の直線は、幾何的には同じ線分を往復しています。ふつうなら打ち消し合って $0$ になるところ。

ここでは値が違うので消えません。上側が $I$、下側は向きが逆で係数が付いた $-e^{2\pi i(a-1)}I$。

$$\left(1-e^{2\pi ia}\right)I=2\pi i{\mathrm{Res}}_{z=-1}\frac{z^{a-1}}{1+z}$$

$e^{2\pi i(a-1)}=e^{2\pi ia}$ です。$e^{-2\pi i}=1$ なので、指数の $-1$ は効きません。

左が $z$ の回転、右が $z^{a-1}$ の回転です。$z$ が $1$ 周するあいだに、右は $a-1$ 周ぶんしか回らない。

円が消える条件

大小 $2$ つの円が消えることを確かめます。ここで $0<a<1$ という条件が両側から効きます。

大きい円では $|z^{a-1}/(1+z)|\approx R^{a-2}$、長さが $2\pi R$ なので、積は $R^{a-1}$ です。$a<1$ なら $0$ へ落ちる。

小さい円では $|z^{a-1}/(1+z)|\approx {\epsilon }^{a-1}$、長さが $2\pi \epsilon$ で、積は ${\epsilon }^a$。$a>0$ なら $0$ へ落ちます^[2]。

上限と下限が別々の理由から来ています。$a$ を $1$ に近づけると外が危うくなり、$0$ に近づけると内が危うくなる。

留数を計算して整理する

極 $z=-1$ は、選んだ分枝では $\arg =\pi$ の点です。

$${\mathrm{Res}}_{z=-1}\frac{z^{a-1}}{1+z}=(-1{)}^{a-1}=e^{i\pi (a-1)}=-e^{i\pi a}$$

代入します。

$$\left(1-e^{2\pi ia}\right)I=-2\pi i{e}^{i\pi a}$$

左辺の係数を $e^{i\pi a}$ でくくると、正弦の形が出ます。

$$1-e^{2\pi ia}=-e^{i\pi a}\left(e^{i\pi a}-e^{-i\pi a}\right)=-2i{e}^{i\pi a}\sin \pi a$$

両辺を割って $I=\pi /\sin \pi a$。$e^{i\pi a}$ がきれいに消え、実数の値が残ります。答えが実数になることが、計算のいちばん手軽な検算です。

ガンマ関数の相反公式そのもの

この積分はベータ関数の別表示です。$B(p,q)$ の $t/(1-t)$ 置換で得られる形で、いまの場合は $B(a,1-a)$^[4]。

$$B(a,1-a)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (1-a)}{\Gamma (1)}=\Gamma (a)\Gamma (1-a)$$

したがって、いま計算したものは次の等式にほかなりません。

$$\Gamma (a)\Gamma (1-a)=\frac{\pi }{\sin \pi a}$$

相反公式、あるいは余因子公式と呼ばれるものです。鍵穴 $1$ 回で、ガンマ関数の対称性が出てしまう。

グラフが $a=1/2$ を軸に左右対称です。$\Gamma (a)\Gamma (1-a)$ という積の形から見れば当たり前で、$a$ と $1-a$ を入れかえても変わらない。

$a=1/2$ は手で確かめられる

真ん中の値だけは、複素解析なしで出ます。

$${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\pi$$

$x=t^2$ と置くと $dx=2tdt$ で、$2{\int }_0^{\infty }\frac{dt}{1+t^2}=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$ です。

公式に $a=1/2$ を入れると $\pi /\sin (\pi /2)=\pi$。一致します。$\Gamma (1/2{)}^2=\pi$ から $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$ も出る。

分母を 2 乗すると

同じ鍵穴で、分母の次数を上げた形も片づきます。

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{a-1}}{(1+x{)}^2}dx=\frac{(1-a)\pi }{\sin \pi a}(0<a<2)$$

$z=-1$ が $2$ 位の極になるので、留数は $1$ 回微分してから代入します。$a$ の範囲が $2$ まで広がるのは、大きい円の評価が $R^{a-2}$ に緩むため。

ベータ関数で書けば $B(a,2-a)=\Gamma (a)\Gamma (2-a)$ で、$\Gamma (2-a)=(1-a)\Gamma (1-a)$ を使えば右辺に一致する。

分母を $1+x^n$ にすると

分母の $x$ を $x^n$ に替えても、同じ形の答えが出ます。

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{a-1}}{1+x^n}dx=\frac{\pi }{n\sin (\pi a/n)}(0<a<n)$$

$n=1$ が本文の式、$n=2$ と $a=1$ を入れると $\pi /2$ で、${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}$ に一致します。

鍵穴でも解けますが、この形では開き角 $2\pi /n$ の扇形のほうが軽い。$z=r{e}^{2\pi i/n}$ の半直線に沿って戻ると、被積分関数が $e^{2\pi ia/n}$ 倍になり、内側の極が $1$ つで済みます。

分母の対称性に合わせて経路の開き角を選ぶ、という発想です。$1+x^n$ は $2\pi /n$ の回転で不変なので、その角度をとる。

切れ目をどこに置くか

正の実軸を切ったのは、積分区間がそこにあるからです。区間の上に切れ目を重ねることで、上下の差として区間の積分をとり出せる。

切れ目を負の実軸に置くと、$z=-1$ の極が切れ目に乗ってしまいます。極と切れ目は重ねられません。

$\log z$ を掛けて鍵穴を回すという手もあります。$\log$ が上下で $2\pi i$ ずれるので、分枝を持たない有理関数でも同じ仕掛けが使える。

手順のまとめ

$4$ 番目を飛ばして式だけ書くと、収束しない場合にも答えが出てしまいます。指数の範囲は結論の一部です。

出典