log x を含む実積分 - 対数を 2 乗して掛けるという手

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx=0$$

被積分関数は $x=1$ の前後で符号が変わり、負の側の面積と正の側の面積がぴったり釣り合います。$0$ から $1$ までが $-G$、$1$ から $\infty$ までが $+G$。この $G=0.91597$ はカタラン定数で、初等関数では書けない値です。

書けない値どうしが打ち消し合って $0$ になる。分けて計算しようとすると難しく、まとめて見ると易しい積分です。

対数が入る積分は、鍵穴の経路と相性がよくありません。素直に $\log z$ を掛けると、対数が消えてしまう^[3]。そこで $2$ 乗して掛ける、という手を使います。

置換だけで $0$ が出る

複素解析を持ち出す前に、$x\to 1/x$ を試します。

$x=1/t$ とすると $dx=-dt/t^2$、$\log x=-\log t$、$1+x^2=(1+t^2)/t^2$ です。区間の向きも入れかわる。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx=-{\int }_0^{\infty }\frac{\log t}{1+t^2}dt$$

自分自身のマイナス $1$ 倍に等しいので、値は $0$。積分が収束することさえ言えれば、これで終わりです。

置換で済むなら、それがいちばん速い。ただしこの手は分母が $x\to 1/x$ で形を保つときだけ効きます。$1+x^2$ はうまくいき、$(1+x{)}^2$ では通らない。

鍵穴に $\log z$ を掛けると失敗する

一般の場合に備えて、複素の側の道を作ります。まず、素直な形が通らないことを見ておきます。

切れ目を正の実軸にとった鍵穴で、$f(z)\log z$ を回すとします。上側では $\log x$、下側では $\log x+2\pi i$。

$${\int }_0^{\infty }f(x)\log xdx-{\int }_0^{\infty }f(x)(\log x+2\pi i)dx=-2\pi i{\int }_0^{\infty }f(x)dx$$

対数の項が引き算で消えました。残ったのは $f$ だけの積分で、欲しかった $f\log$ が出てこない^[3]。

これは失敗ではなく、別の道具です。分枝を持たない有理関数の $0$ から $\infty$ までの積分を出す手として使えます。偶関数でなくても半直線のまま扱える。

$2$ 乗すれば残る

そこで $(\log z{)}^2$ を掛けます。上下の差を展開すると、消えずに残る項が出る。

$$\begin{array}{rl}(\log x{)}^2-(\log x+2\pi i{)}^2& =-4\pi i\log x+4{\pi }^2\end{array}$$

第 1 項に $\log x$ が生きています。第 2 項は $f$ だけの積分で、これは既知として片づける。

$$\oint f(z)(\log z{)}^{2}dz=-4\pi i{\int }_0^{\infty }f(x)\log xdx+4{\pi }^2{\int }_0^{\infty }f(x)dx$$

左辺は留数で計算できます。右辺の第 2 項が分かっていれば、第 1 項がとり出せる。

$1$ 段ずつ次数を上げると、$\log$ の $2$ 乗の積分も同じ形で出ます。$(\log z{)}^3$ を掛ければよい。

$1$ 周ぶんで虚部が $2\pi$ 増えます。$1$ 乗ならその差は定数で、$\log$ の情報が落ちる。$2$ 乗なら交差項に $\log$ が生き残ります。

$1/(1+x^2)$ で試す

$f(z)=1/(1+z^2)$ でやってみます。極は $\pm i$ の $2$ つで、選んだ分枝では $\arg i=\pi /2$、$\arg (-i)=3\pi /2$。

$${\mathrm{Res}}_{z=i}\frac{(\log z{)}^2}{1+z^2}=\frac{(i\pi /2{)}^2}{2i}=\frac{i{\pi }^2}{8}$$

$${\mathrm{Res}}_{z=-i}\frac{(\log z{)}^2}{1+z^2}=\frac{(3i\pi /2{)}^2}{-2i}=-\frac{9i{\pi }^2}{8}$$

和は $-i{\pi }^2$ で、$2\pi i$ を掛けると $2{\pi }^3$ です。右辺の第 2 項は $4{\pi }^2\cdot \pi /2=2{\pi }^3$。

$$2{\pi }^3=-4\pi i{\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx+2{\pi }^3$$

差し引きすると積分は $0$。置換で出した答えと合いました。

$\arg (-i)$ を $-\pi /2$ にしてしまうと、この計算は合いません。切れ目のとり方に従って $3\pi /2$ をとる。ここが最も間違えやすい点です。

上半円のほうが軽い

分枝の切れ目を負の虚軸にとると、上半平面の半円で足ります。こちらのほうが極は $1$ つで済む。

$-\pi /2<\arg z<3\pi /2$ と決め、$\log z/(1+z^2)$ を上半円で積分します。負の実軸の上では $\log (-t)=\ln t+i\pi$。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-R}^{-\epsilon }+{\int }_{\epsilon }^R& =2{\int }_0^{\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx+i\pi {\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}\end{array}$$

右辺は $2\pi i$ 掛ける $z=i$ の留数、つまり $2\pi i\cdot (i\pi /2)/(2i)=i{\pi }^2/2$ です。

第 2 項が $i\pi \cdot \pi /2=i{\pi }^2/2$ なので、実部の $2L$ が $0$。$1$ 本の経路で $2$ つの積分が同時に決まります。

同じ経路で $(\log z{)}^2$ を回すと、もう $1$ 段深い値が出ます。

$${\int }_0^{\infty }\frac{(\log x{)}^2}{1+x^2}dx=\frac{{\pi }^3}{8}$$

$\log$ の次数を $1$ 上げるたびに、既に分かっている低い次数の値を使って新しい値が決まる。階段を上るような構造です。

分母を $2$ 乗すると値が残る

$0$ になったのは対称性の偶然です。分母を変えると、$\log$ の積分が実際に値を持ちます。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(1+x^2{)}^2}dx=-\frac{\pi }{4}$$

$x\to 1/x$ で $(1+x^2{)}^2$ は $(1+t^2{)}^2/t^4$ になり、$dx$ の $t^{-2}$ と合わせても打ち消しの形になりません。だから $0$ にならない。

負になるのは、重みが $x$ の小さい側に寄っているためです。$(1+x^2{)}^{-2}$ は $(1+x^2{)}^{-1}$ より速く落ちるので、$\log x<0$ の領域の効きが強くなる。

分母に定数が入る形

$a>0$ として一般化すると、$0$ になる理由がはっきりします。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi }{2a}\log a$$

$a=1$ で右辺が $0$。$a<1$ なら負、$a>1$ なら正になります。

$x=at$ と置けば $\log x=\log a+\log t$ と分かれ、$\log a$ の項が $\int dt/(1+t^2)/a=\pi /(2a)$ を掛けた形で残り、$\log t$ の項が本文の $0$ になる。一般形のほうが構造が見やすい。

$a$ を大きくすると、重みの山が右へ移ります。$\log x$ が正になる領域を強く数えるようになり、値が正へ振れる。

よくある誤り

参考文献