log x を含む実積分：鍵穴では log z を 2 乗してかける

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx=0$$

被積分関数は $x=1$ の前後で符号が変わり、$0$ から $1$ までが $-G$、$1$ から $\infty$ までが $+G$ になる。$G=0.9159656$ はカタラン定数で、初等関数では書けない値です^[1]。

$0$ という値は、初等関数では書けない値どうしの打ち消し合いから来ています。

対数の入った積分は、鍵穴の経路をそのまま使っても求められません。切れ目の上と下で $\log$ の差が定数になり、欲しい項が引き算で消えてしまうため^[2]。そこで $\log z$ を 2 乗してからかけます。

$x$ を $1/x$ に置きかえる

複素解析を持ち出す前に、置換で確かめます。

$x=1/t$ とすると $dx=-dt/t^2$、$\log x=-\log t$、$1+x^2=(1+t^2)/t^2$。区間の向きもいれかわる。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx=-{\int }_0^{\infty }\frac{\log t}{1+t^2}dt$$

自分自身の $-1$ 倍に等しいため、値は $0$ に決まる。収束さえ言えれば、複素解析は要りません。

$x=e^u$ に直すと奇関数になる

$x=e^u$ と置くと、この打ち消し合いが目で見える形になります。$dx=e^{u}du$ で、分母は $1+e^{2u}$。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{u{e}^u}{1+e^{2u}}du$$

分母と分子を $e^u$ で割ると、分母が $e^{-u}+e^u=2\cosh u$ に変わる。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{u{e}^u}{1+e^{2u}}du={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{u}{2\cosh u}du$$

$\cosh u$ は偶関数で、$u$ は奇関数。積は奇関数だから、$u$ 軸の左右で符号だけが逆の同じ形になります。

$u\to -u$ の折り返しが、もとの $x\to 1/x$ にあたります。$0$ になる条件も、この形で言える。$f(e^u)e^u$ が偶関数なら、$\log$ をかけた積分は $0$ です。

$1/(1+x^2)$ は $1/(2\cosh u)$ になり偶関数。$1/(1+x{)}^2$ も $1/\left(4{\cosh }^2(u/2)\right)$ で偶関数。こちらの積分も $0$ になる。

分母を 2 乗した $1/(1+x^2{)}^2$ と、定数を入れた $1/(x^2+a^2)$ は偶関数になりません。この 2 つの値は、あとの節で計算します。

鍵穴に $\log z$ を 1 乗でかける

一般の $f$ に向けて、複素平面での計算を組み立てる。まず素直な形が通らないことを見ておく。

切れ目を正の実軸にとった鍵穴で、$f(z)\log z$ を 1 周させます。切れ目のすぐ上では $\log z=\log x$、すぐ下では $\log x+2\pi i$。

$${\int }_0^{\infty }f(x)\log xdx-{\int }_0^{\infty }f(x)\left(\log x+2\pi i\right)dx=-2\pi i{\int }_0^{\infty }f(x)dx$$

$\log$ の項どうしが引き算で消え、残るのは $f$ だけの積分です^[2]。

消えてしまう形にも使い道があります。この式は、有理関数を $0$ から $\infty$ まで積分する公式そのもの^[3]。偶関数でなくても半直線のまま扱えます。

2 乗すると $\log$ が残る

そこで $(\log z{)}^2$ をかけます。上下の差を展開する。

$$(\log x{)}^2-{\left(\log x+2\pi i\right)}^2=-4\pi i\log x+4{\pi }^2$$

第 1 項に $\log x$ が入っています。第 2 項は $f$ だけの積分で、1 乗の式から既知として片づけられる。

$$\oint f(z)(\log z{)}^{2}dz=-4\pi i{\int }_0^{\infty }f(x)\log xdx+4{\pi }^2{\int }_0^{\infty }f(x)dx$$

左辺は留数で計算できます。右辺の第 2 項が分かっていれば、未知は第 1 項だけ^[3]。

1 周で $\log z$ の虚部が $2\pi$ 増えます。1 乗では差が定数の $-2\pi i$ になり、2 乗では交差項として $\log x$ が残る。次数を 1 つ上げるたびに、1 つ下の次数の値を使って新しい値が決まります。

使える条件は、$f=p/q$ が有理関数で、$q$ の次数が $p$ より 2 以上高く、$x\ge 0$ に極を持たないことです^[3]。

大きい円では $|f|$ が $R^{-2}$ で落ち、周の長さと $(\log R{)}^2$ をかけ合わせても $0$ へ向かう。小さい円も $r(\log r{)}^2$ で消えます。

鍵穴で $1/(1+x^2)$ を計算する

$f(z)=1/(1+z^2)$ で実際に回します。極は $\pm i$ の 2 つで、$0<\arg z<2\pi$ ととった分枝では $\arg i=\pi /2$、$\arg (-i)=3\pi /2$ になる。

どちらも 1 位の極だから、留数は分母を微分した $2z$ で割れば求められる。$z=i$ では $2i$、$z=-i$ では $-2i$ です。

$${\mathrm{Res}}_{z=i}\frac{(\log z{)}^2}{1+z^2}=\frac{(i\pi /2{)}^2}{2i}=\frac{i{\pi }^2}{8}$$

$${\mathrm{Res}}_{z=-i}\frac{(\log z{)}^2}{1+z^2}=\frac{(3i\pi /2{)}^2}{-2i}=-\frac{9i{\pi }^2}{8}$$

和は $-i{\pi }^2$ で、$2\pi i$ をかけると左辺は $2{\pi }^3$。

右辺に要る ${\int }_0^{\infty }dx/(1+x^2)$ は $\arctan$ から $\pi /2$ と分かるため、第 2 項は $4{\pi }^2\times \pi /2=2{\pi }^3$ になります。

$$2{\pi }^3=-4\pi i{\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^2}dx+2{\pi }^3$$

両辺から $2{\pi }^3$ を引くと、積分は $0$。置換で計算した値と一致する。

$\arg (-i)$ を $-\pi /2$ と読むと、この計算は合いません。分枝を $0<\arg z<2\pi$ と決めた以上、$-i$ の偏角は $3\pi /2$ です。

切れ目を負の虚軸へ向ける

切れ目を置く場所は、正の実軸に限らない。$-\pi /2<\arg z<3\pi /2$ と決めると切れ目は負の虚軸へ移り、上半平面の半円だけで経路が閉じる^[4]。囲む極は $z=i$ の 1 つだけ。

負の実軸の上では偏角が $\pi$ なので、$\log (-t)=\ln t+i\pi$ になります。$\log z/(1+z^2)$ をこの経路で積分すると、直線 2 本の寄与が次の形にまとまる。

$$2{\int }_0^{\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx+i\pi {\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}=2\pi i{\mathrm{Res}}_{z=i}\frac{\log z}{1+z^2}$$

右辺は $2\pi i\times (i\pi /2)/(2i)$ で $i{\pi }^2/2$ です。左辺の第 2 項も $i\pi \times \pi /2=i{\pi }^2/2$。差し引きで第 1 項が $0$ に決まります。

この経路では $\log z$ を 1 乗のままかけても対数が消えません。負の実軸で $i\pi$ が足されるだけなので、実部と虚部を分ければ 2 つの積分が同時に決まる。

$(\log x{)}^2$ の積分まで上げる

同じ経路で $(\log z{)}^2$ を回すと、次数が 1 つ上の値も決まります。負の実軸の上では $(\ln t+i\pi {)}^2=(\ln t{)}^2+2\pi i\ln t-{\pi }^2$ になる。

$$2{\int }_0^{\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{1+x^2}dx+2\pi i{\int }_0^{\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx-{\pi }^2{\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}=2\pi i{\mathrm{Res}}_{z=i}\frac{(\log z{)}^2}{1+z^2}$$

右辺は $2\pi i\times (i\pi /2{)}^2/(2i)$ で $-{\pi }^3/4$ です。左辺の第 2 項は前の節の $0$、第 3 項は $-{\pi }^2\times \pi /2=-{\pi }^3/2$。

$$\begin{array}{rl}2{\int }_0^{\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{1+x^2}dx& =-\frac{{\pi }^3}{4}+\frac{{\pi }^3}{2}\\ & =\frac{{\pi }^3}{4}\end{array}$$

両辺を 2 で割ると ${\pi }^3/8$ になります^[4]。次数が 1 つ下の $\log$ の積分が $0$ だったため、値を決めたのは ${\pi }^2$ の項だけ。

分母に定数を入れる

$a>0$ として一般化すると、$0$ になった理由がはっきりします。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi }{2a}\log a$$

$x=at$ と置くと $\log x=\log a+\log t$ に分かれます。

$\log a$ の項は $\frac{1}{a}{\int }_0^{\infty }\frac{dt}{1+t^2}=\frac{\pi }{2a}$ との積として残り、$\log t$ の項が前の節の $0$ になる。

$a=1$ で右辺が $0$、$a<1$ で負、$a>1$ で正です。$x=e^u$ の形に直すと $e^u/(e^{2u}+a^2)$ で、偶関数になるのは $a=1$ のときだけ。

$a$ を大きくすると重みが $x$ の大きい側へ移り、$\log x$ が正の領域を強く数えるようになる。ただし分母全体も同時に大きくなるため、$a=e$ での $\pi /(2e)=0.5778$ が上限。

$a$ で微分して分母の 2 乗へ

一般形は、分母が 2 乗の積分ともつながっている。両辺を $a$ で微分します。

$$-2a{\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(x^2+a^2{)}^2}dx=\frac{\pi (1-\log a)}{2a^2}$$

$a=1$ を入れると、左辺は $-2{\int }_0^{\infty }\log x/(1+x^2{)}^{2}dx$、右辺は $\pi /2$。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(1+x^2{)}^2}dx=-\frac{\pi }{4}$$

$0$ にならないのは、$e^u/(1+e^{2u}{)}^2$ が偶関数でないためです。$(1+x^2{)}^{-2}$ は $(1+x^2{)}^{-1}$ より速く落ちるため、$\log x$ が負である $x<1$ 側の重みが残り、値も負になる。

まちがえやすい点

どれも分枝の決め方から来ています。切れ目をどこに置き、偏角をどの範囲で読むかを先に書いてから、計算に入る。

参考文献