交代級数の和はどこから来るのか？π csc πz が符号を運ぶ

$$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{12}$$

符号が交互に付いただけで、値がちょうど半分になりました。符号なしの和は ${\pi }^2/6$。

この $2$ 分の $1$ は偶然ではありません。留数で計算すると、$\pi \cot \pi z$ を $\pi \csc \pi z$ に置きかえるだけで両方が出ます^[1]。符号を運ぶ役目を、重みの側が引き受ける。

留数が交互に $\pm 1$ になる

$\csc \pi z=1/\sin \pi z$ の極は、$\cot$ と同じくすべての整数です。違うのは留数のほう。

$z=n$ の近くで $\sin \pi z\approx (-1{)}^n\pi (z-n)$ なので、$\pi \csc \pi z$ の留数は $(-1{)}^n$ になります。

$${\mathrm{Res}}_{z=n}\pi \csc \pi z\cdot f(z)=(-1{)}^{n}f(n)$$

$\cot$ のときは分子の $\cos \pi n=(-1{)}^n$ が分母の $(-1{)}^n$ と打ち消し合って $1$ でした。$\csc$ には分子がないので、符号がそのまま残る。

極の位置は変わらず、留数の符号だけが交互に入れかわります。この $1$ 箇所の違いで、拾える級数が交代級数になる。

正方形の上での大きさ

$\cot$ と同じ正方形 $C_N$ を使います。頂点は $\left(N+\frac{1}{2}\right)(\pm 1\pm i)$。

上下の辺、つまり $|y|>1/2$ では、$|\csc \pi z|\le 2/(1-e^{-\pi })$ でおさえられます。$e^{\pi y}$ と $e^{-\pi y}$ の差が下から効く。

左右の辺、つまり $z=\pm (N+\frac{1}{2})+iy$ では $|\csc \pi z|=|\mathrm{sech}\pi y|\le 1$ です^[1]。

どちらも $N$ に依存しません。$\cot$ とまったく同じ形の評価で、証明もそのまま通ります。

$\cot$ が $1$ に落ち着くのに対し、$\csc$ は実軸から離れると $0$ へ向かいます。$\csc$ のほうが上下の辺で有利。

この差のおかげで、$f$ の減衰が $1/|z|$ 程度しかない場合でも、$\csc$ 側は通ることがあります。

交代和の定理

条件は $\cot$ のときと同じで、$|f(z)|\le M/|z{|}^k$（$k>1$）です^[1]。

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1{)}^{n}f(n)=-\sum \left\{\pi \csc \pi z\cdot f(z)\text{の}f\text{の極での留数}\right\}$$

証明の流れは変わりません。$C_N$ 上の積分が $0$ へ落ち、$2$ 種類の留数の和が符号違いで等しくなる。

$\eta (2)$ を出す

$f(z)=1/z^2$ をとります。原点は $f$ の極でもあるので、その項を外して留数側で数える。

$1/\sin w=\frac{1}{w}+\frac{w}{6}+\frac{7w^3}{360}+\cdots$ なので、次のようになります。

$$\pi \csc \pi z=\frac{1}{z}+\frac{{\pi }^2}{6}z+\frac{7{\pi }^4}{360}{z}^3+\cdots$$

$\cot$ の展開と見比べると、$z$ の係数の符号が逆で、大きさは $2$ 倍です。$-{\pi }^2/3$ に対して $+{\pi }^2/6$。

$z^2$ で割ると $1/z$ の係数は ${\pi }^2/6$。総和定理から次を得ます。

$$\sum _{n\ne 0}\frac{(-1{)}^n}{n^2}=-\frac{{\pi }^2}{6}$$

左辺は $2{\sum }_{n\ge 1}(-1{)}^n/n^2$ なので、符号を直して ${\pi }^2/12$。冒頭の値です。

半分になる理由

$\zeta (2)$ と $\eta (2)$ の比が $1/2$ になったのは、偶数の項を $2$ 回引くからです。

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$$

偶数の項だけ集めると $2^{-s}\zeta (s)$。これを $2$ 倍して引けば交代和になります。

$s=2$ なら $1-2^{-1}=1/2$ で、確かに半分。$s=4$ なら $1-2^{-3}=7/8$ で、$\eta (4)=7{\pi }^4/720$ です。

$s=1$ では $\zeta (1)$ が発散するのに、$1-2^0=0$ が掛かって $\eta (1)=\log 2$ という有限値が残る。$0\times \infty$ の形が意味を持つ、めずらしい場所です。

収束の速さが違う

同じ $1/n^2$ を足しているのに、交代させると収束がずっと速くなります。

交代級数は目標をまたぎながら寄るので、次の $1$ 項が誤差の上界になります。片側から近づく和には、この手軽な目安がない。

数値計算では交代形に書きかえてから足す、という手が使えます。$\eta$ を計算して $(1-2^{1-s})$ で割れば $\zeta$ が出る。

分母に定数を入れる

$f(z)=1/(z^2+a^2)$ をとると、双曲線正弦が出ます。

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2+a^2}=\frac{\pi }{a\sinh \pi a}$$

$\cot$ 側では $\coth$ が出たところに $\mathrm{csch}$ が来ます。$\csc (\pi ai)=1/\sin (i\pi a)=1/(i\sinh \pi a)$ から出る形。

$a$ を大きくすると、右辺は $e^{-\pi a}$ の速さで消えます。$\coth$ 側が $\pi /a$ でゆっくり落ちたのと対照的。

$2$ つの曲線の離れ方が、双曲線余接と双曲線余割の違いです。$\coth$ は $1$ に、$\mathrm{csch}$ は $0$ に向かう。

ライプニッツの級数

$f(z)=1/(z+a)$ をとると、減衰が $1/|z|$ しかないので $k>1$ の条件から外れます。それでも $\csc$ の側では、対称に足すという条件を付ければ通る。

$f$ の極 $z=-a$ での留数は $\pi \csc (-\pi a)=-\pi /\sin \pi a$ です。

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+a}=\frac{\pi }{\sin \pi a}$$

$a=1/2$ を入れます。左辺の項は $2(-1{)}^n/(2n+1)$ で、$n\ge 0$ の側と $n\le -1$ の側が同じ値になる。

$$4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \right)=\pi$$

ライプニッツの級数です。円周率の古典的な表示が、重みを $\csc$ にした総和定理の $1$ 例として出てきます。

$\csc$ と $\cot$ の使い分け

$\csc$ の展開が $\cot$ と符号違いで $2$ 倍になるところが、$\eta$ と $\zeta$ の比 $(1-2^{1-s})$ の正体です。同じ事実を、展開係数の側から見るか、偶数項を引く操作の側から見るか。

参考