sin x/x の積分はなぜ π/2 になるのか？ディリクレ積分と原点をよける半円

${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$ です。ディリクレ積分と呼ばれます。

実数の範囲では手が出ません。$\sin x/x$ の原始関数は初等関数で書けず、部分積分も置換も効かない。値だけがきれいな $\pi /2$ に決まるのに、そこへ届く道が実軸の上にない^[1]。

複素平面へ出ると届きます。原点を小さくよけた半円を使い、消える部分と残る部分に分ける。残った部分が求めたい積分です。

$\sin z$ のまま延ばすと発散する

まず、素直に $\sin z/z$ を上半平面へ延ばして半円で閉じる、という道が塞がっていることを見ます。

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

$z=x+iy$ とおくと $|e^{iz}|=e^{-y}$、$|e^{-iz}|=e^y$ です。上半平面では $y>0$ なので、後ろの項が $e^y$ で膨らむ。

半径 $R$ の半円のてっぺんでは $y=R$ ですから、$|\sin z|$ はおよそ $e^R/2$ になります。分母の $|z|=R$ で割っても $e^R/(2R)$。$R$ を大きくすると弧の寄与が爆発する。

実軸の上でだけ有界だという性質は、複素平面へ持ち上げた瞬間に消えます。ここが最初の関門。

$e^{iz}/z$ に置き換える

そこで $\sin x$ を $e^{ix}$ に置き換え、最後に虚部をとります。

$$\frac{e^{ix}}{x}=\frac{\cos x}{x}+i\frac{\sin x}{x}$$

上半平面では $|e^{iz}|=e^{-y}\le 1$ なので、今度は膨らみません。$y$ が大きいところではむしろ指数的に小さくなる。

替えてよいのは、虚部が求めたいものと一致するからです。$\cos z$ をそのまま使うと $e^y$ の側が残るので、同じ理由で失敗します^[2]。

替えたぶんの代償もあります。$\sin x/x$ は原点で $1$ に伸びるのに、$e^{ix}/x$ は原点で発散する。もとの積分にはなかった極が、途中で現れてしまいました。

原点をよけた半円

極が実軸の上に乗ってしまったので、経路をその点でくぼませます。半径 $\epsilon$ の小さい半円で原点を上からまたぎ、外側は半径 $R$ の大きい半円で閉じる。

小さい半円を上へ張り出させたので、原点は経路の内側に入りません。この向きのとり方が、あとで符号を決めます。

経路は 4 本です。実軸の $[-R,-\epsilon ]$、原点をまたぐ小さい弧、実軸の $[\epsilon ,R]$、外側の大きい弧。

内側に極はない

$e^{iz}/z$ の特異点は $z=0$ ただ 1 つで、それを外へ追い出しました。囲まれた領域の中に極がないので、周積分は $0$ になります。

$$\oint \frac{e^{iz}}{z}dz=0$$

留数定理の右辺が空和になっただけの、いちばん素朴な使い方です。値が $0$ だと分かっているので、4 本の和が $0$ という等式が手に入る。

あとは、消える部分を消し、残る部分を計算するだけ。

大きい弧はジョルダンの補題で消える

外の弧では $|e^{iz}|=e^{-R\sin \theta }$ です。$\theta$ が $0$ と $\pi$ の近くを除けば、$R$ とともに指数的に小さくなる。

端の近くだけが残りますが、そこは弧の長さが短い。両方を合わせると、全体としてきちんと $0$ へ落ちます^[2]。

$$\left|{\int }_{C_R}\frac{e^{iz}}{z}dz\right|\le {\int }_0^{\pi }{e}^{-R\sin \theta }d\theta$$

右辺の評価には $\sin \theta \ge 2\theta /\pi$（$0\le \theta \le \pi /2$）を使います^[6]。ジョルダンの不等式と呼ばれ、$\sin$ の弧を弦で下からおさえる形。

$R$ を大きくすると、山は両端の細い柱だけになります。柱の高さは $1$ で頭打ちですが、幅が $1/R$ の程度まで細る。

ここで効いているのは $e^{iz}$ の減衰だけで、$1/z$ の側は $0$ へ行きさえすればよい。分母の次数が $1$ しかなくても通ります。そこがこの補題の値打ち。

小さい弧は半周ぶんだけ残る

内側の弧は消えません。半径を小さくすると、留数の定数倍という決まった値へ寄っていきます。

$z=0$ のまわりでローラン展開すると、$e^{iz}/z=1/z+i-z/2+\cdots$ です。$1/z$ の項だけが半径によらない量を出し、残りは $\epsilon$ とともに消える。

$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{C_{\epsilon }}\frac{e^{iz}}{z}dz=-\pi i\cdot \mathrm{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z},0\right)=-\pi i$$

角度 $\alpha$ の弧なら $i\alpha$ 倍です^[1]。1 周が $2\pi i$ 倍で、半周なら半分。ここでは上向きにまたぐぶん時計回りなので、符号が負になります。

この比例は 1 位の極でだけ成り立ちます。2 位以上だと ${\epsilon }^{-1}$ が残って極限そのものがない。

角度と寄与がまっすぐ比例するところが、この定理の使いやすさです。$1/4$ 円なら $\pi i/2$、$3/4$ 円なら $3\pi i/2$。

4 本を足す

材料がそろいました。周積分が $0$ で、外の弧が $0$、内の弧が $-\pi i$ です。

$$p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ix}}{x}dx-\pi i=0$$

したがって主値は $\pi i$ です^[5]。実部と虚部に分けます。

$$\begin{array}{rl}p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos x}{x}dx& =0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx& =\pi \end{array}$$

$\cos x/x$ のほうは奇関数なので、主値が $0$ になるのは見た目どおり。$\sin x/x$ は偶関数なので、半分にして $\pi /2$ が出ます。

特異点は途中で生まれ、途中で消える

もとの $\sin x/x$ は原点で困りません。$\sin x=x-x^3/6+\cdots$ ですから、割ると $1-x^2/6+\cdots$ で、値は $1$ に伸びる。

除ける特異点しか持たない関数を、わざわざ極を持つ関数へ置き換え、その極の寄与を最後に回収した。回り道に見えますが、これが唯一つながる道です。

$e^{ix}/x$ の主値が $\pi i$ で、虚部だけが生き残る。実部の発散は、左右対称に近づけるという約束の中で打ち消し合っています。

条件収束であって絶対収束ではない

$\sin x/x$ の積分は収束しますが、絶対値をとると発散します。

$${\int }_0^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=\infty$$

$[n\pi ,(n+1)\pi ]$ での $|\sin x|$ の積分は $2$ です。分母は高々 $(n+1)\pi$ なので、区間ごとの寄与は $2/((n+1)\pi )$ 以上。足すと調和級数になり、発散する。

つまり正と負が交互に打ち消し合って、はじめて有限の値が出ています。順番を入れかえてよい積分ではありません。

途中までの積分は $\mathrm{Si}(x)$ と書かれ、正弦積分と呼ばれます^[3]。$x=\pi$ で最大の $1.8519$ をとり、そこから振れ幅を狭めながら $\pi /2$ へ寄っていく。

この行き過ぎが、フーリエ級数のギブス現象で見える突き抜けの正体です。角の立った波形は、項をどれだけ増やしても $\mathrm{Si}(\pi )/(\pi /2)\approx 1.179$ 倍のところまで行ってしまう。跳びの高さに対して約 $8.9\%$ です。

係数を変えると符号だけが変わる

$a$ を実数として $\sin (ax)/x$ を積分すると、$a$ の大きさによりません。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\sin (ax)}{x}dx=\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}(a)$$

$a>0$ なら $x\to ax$ と置換するだけで、$dx/x$ が変わらないので値も変わらない。$a<0$ なら $\sin$ が奇関数なので符号が裏返ります。

$a$ を $0$ に近づけても $\pi /2$ のままで、$a=0$ ちょうどでいきなり $0$ に落ちる。値が飛ぶこの性質から、ディリクレの不連続因子という名前が付いています。

複素解析の側から見ると、$a$ の符号によって $e^{iaz}$ が減衰する半平面が上下入れかわり、閉じる側が変わっているだけ。飛びの正体は経路のとり方です。

2 乗しても値は変わらない

見た目にそぐわない一致があります。

$${\int }_0^{\infty }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{2}$$

こちらは絶対収束するので、扱いはずっと楽。部分積分で ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin 2x}{x}dx$ に落ち、置換すればもとの積分に戻る。

3 乗になると $3\pi /8$ で、一致は途切れます。偶然に見えて、$\sin x/x$ が矩形関数のフーリエ変換であることから来ている^[4]。2 乗の積分はパーセバルの等式で矩形の面積に移り、その面積がもとの積分と同じ値になる。

つまずきやすいところ

参考