0 から 2π までの三角関数の積分を単位円へ載せかえる｜複素解析

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}(a>|b|)$$

$\theta$ の積分なのに、答えに $\theta$ の痕跡がありません。三角関数の有理式を $0$ から $2\pi$ まで積分すると、いつもこういう形の値になります。

理由は、その区間がちょうど単位円 $1$ 周ぶんだからです^[1]。$z=e^{i\theta }$ と置けば、実数の積分がそのまま複素平面の周積分に変わる。変わった先では、有理関数の留数を拾うだけの計算になります。

置き換えの 3 点セット

使う道具は $3$ つです。どれも $z=e^{i\theta }$ から直に出ます。

$$\cos \theta =\frac{z+z^{-1}}{2},\sin \theta =\frac{z-z^{-1}}{2i},d\theta =\frac{dz}{iz}$$

$1$ つ目と $2$ つ目はオイラーの公式そのもの。$e^{-i\theta }=1/z$ を使って書き直しただけです。

$3$ つ目は $dz=i{e}^{i\theta }d\theta =izd\theta$ から出ます。$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと、$z$ は単位円を反時計回りに $1$ 周する。

区間が $0$ から $2\pi$ でないと、この置き換えは効きません。始点と終点が離れて、閉曲線にならないためです。

例 1：分母に $\cos$ が $1$ つ

$a>|b|>0$ として、冒頭の積分を実際に計算します。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }={\oint }_{|z|=1}\frac{1}{a+\frac{b}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)}\cdot \frac{dz}{iz}$$

分母を通分すると $z$ が $1$ つ約分され、$2$ 次式が残ります。

$$=\frac{2}{i}{\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{b{z}^2+2az+b}$$

$2$ 次方程式 $b{z}^2+2az+b=0$ の根を $z_1,z_2$ とすると、解と係数の関係から $z_1{z}_2=1$ です。

根の積が $1$ になる

積が $1$ ということは、片方が単位円の内側なら他方は必ず外側にあります。$2$ つは単位円に関して反転の位置にある。

$a>|b|$ という条件は、根が円周に乗らないための条件です。$a=|b|$ になると判別式が $0$ になり、根が重なって円周上に来る。

内側の根を $z_1$ とすると、留数は $1/(2b{z}_1+2a)$ です。$2b{z}_1+2a=2\sqrt{a^2-b^2}$ と整理できる。

$$\frac{2}{i}\cdot 2\pi i\cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2-b^2}}=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$$

$b=0$ を入れると $2\pi /a$ で、定数の積分に戻ります。$b\to a$ では発散し、根が円周に乗る瞬間と一致する。

例 2：$2$ 乗になっても同じ手

分母が $2$ 乗になると、内側の極が $2$ 位になります。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{(a+b\cos \theta {)}^2}=\frac{2\pi a}{(a^2-b^2{)}^{3/2}}$$

留数の公式で $1$ 回微分すれば出ますが、もっと楽な道もあります。例 1 の両辺を $a$ で微分し、符号を変えるだけ。

パラメータで微分する手は、同じ形の積分族をまとめて片づけられます。$3$ 乗、$4$ 乗も同じように下りていく。

例 3：分子に ${\cos }^2$ がある

分子に三角関数が入っても手順は変わりません。${\cos }^2\theta =(z^2+2+z^{-2})/4$ と置き換えます。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{{\cos }^2\theta }{5-4\cos \theta }d\theta =\frac{5\pi }{12}$$

置き換えると $z^{-2}$ が出るので、原点が $2$ 位の極になります。$5-4\cos \theta$ のほうからは $z=1/2$ と $z=2$ の極が出て、内側は $1/2$ だけ。

原点の留数が $5/4$、$z=1/2$ の留数が $-25/12$ です。足して $-5/6$、係数を掛けて $5\pi /12$。

分子の三角関数が原点に極を作る、という点が見落としやすいところ。もとの積分には原点も何もありませんが、$z^{-1}$ を代入した時点で生まれます。

ポアソン核が顔を出す

もう $1$ つ、意味のある例を挙げます。$|p|<1$ として次を計算する。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos n\theta }{1-2p\cos \theta +p^2}d\theta =\frac{2\pi p^n}{1-p^2}$$

分母は $|1-pz{|}^2$ を書き下したものです。$1-2p\cos \theta +p^2=(1-p{e}^{i\theta })(1-p{e}^{-i\theta })$。

これを $(1-p^2)$ 倍したものがポアソン核で、単位円板のディリクレ問題を解く重み関数になります。$n=0$ のとき積分は $2\pi /(1-p^2)$ で、核の全積分がちょうど $2\pi$ に規格化される。

$p$ を $1$ に近づけると、核は原点のまわりへ尖っていきます。面積は $2\pi$ のままなので、境界の値をその 1 点だけから拾う形に近づく。

円板の内部で調和な関数が、境界の値だけで決まるという事実の計算面が、この積分です。

例 4：$e^{\cos \theta }$ が入る

有理式でなくても、単位円上で正則なら同じ手が使えます。

$${\int }_0^{2\pi }{e}^{\cos \theta }\cos (\sin \theta -n\theta )d\theta =\frac{2\pi }{n!}$$

もとになるのは $\oint \frac{e^z}{z^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}$ という、テイラー係数の公式です。$z=e^{i\theta }$ を代入して実部をとるだけ。

$e^{\cos \theta }\cos (\sin \theta )$ という不思議な形の被積分関数が、階乗の逆数を返す。$n=0$ なら $2\pi$、$n=3$ なら $\pi /3$ です。

右の曲線が $e^{e^{i\theta }}$ です。大きさが $e^{\cos \theta }$、偏角が $\sin \theta$ になっている。

一般の形

有理式に限れば、次のようにまとめられます^[1]。

$R(\cos \theta ,\sin \theta )$ を有理関数とし、単位円上に極がないとします。このとき $0$ から $2\pi$ までの積分は、置き換えた有理関数の単位円内部の留数の和に $2\pi$ を掛けたものになる。

条件は「単位円上に極がない」だけ。この確認を飛ばすと、発散する積分に有限の値を付けてしまいます。

うまくいかない場合

区間が $0$ から $\pi$ なら、被積分関数が $\theta \mapsto 2\pi -\theta$ で不変かどうかを見ます。不変なら $2\pi$ の積分の半分です。

検算

例 1 の答えは $a$ と $b$ の対称式です。$b\to -b$ で値が変わらないはずで、確かに $\sqrt{a^2-b^2}$ は変わらない。

$b$ を $0$ に近づけると $2\pi /a$、$b$ を $a$ に近づけると $+\infty$。両端の振る舞いが、被積分関数の見た目と合っています。

次元でも確かめられます。$a$ と $b$ を同じ倍率 $\lambda$ で伸ばすと、積分は $1/\lambda$ 倍になるはず。右辺の $\sqrt{a^2-b^2}$ も $\lambda$ 倍なので、つじつまが合う。

参考