フレネル積分〜45 度の扇形をとると振動する積分が収まる

$${\int }_0^{\infty }\cos x^{2}dx={\int }_0^{\infty }\sin x^{2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}\approx 0.6267$$

被積分関数は $x$ が大きくなっても小さくなりません。$\cos x^2$ は $\pm 1$ のあいだを行き来し続けます。それでも積分は有限の値へ収まる。

理由は振動の速さです。$x^2$ が加速して増えるので、山と谷の幅がどんどん狭くなる。隣り合う山と谷が打ち消し合い、残りが $0$ へ縮む。

複素平面では、この打ち消し合いを $45$ 度の方向へ回すだけで、ふつうのガウス積分に化けます^[1]。

絶対収束ではない

$t=x^2$ と置くと、振動と減衰の関係が見えます。

$${\int }_0^{\infty }\cos x^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{\cos t}{\sqrt{t}}dt$$

$1/\sqrt{t}$ はゆっくりとしか減りません。絶対値をとると $\int t^{-1/2}dt$ の発散が残る。

打ち消し合いに支えられた収束です。ディリクレ積分と同じ立場で、順序を入れかえてよい積分ではありません。

$45$ 度で何が起きるか

$e^{i{z}^2}$ の大きさを見ます。$z=x+iy$ なら $z^2=x^2-y^2+2ixy$ なので、次のようになる。

$$|e^{i{z}^2}|=e^{-2xy}$$

実軸の上では $y=0$ なので $1$ のままです。虚軸の上でも $1$。減衰が効くのは、そのあいだの斜めの方向だけになります。

いちばん深く減るのが $y=x$ の方向、つまり $45$ 度の半直線です。そこでは $z=r{e}^{i\pi /4}$ とおくと $z^2=i{r}^2$ で、$e^{i{z}^2}=e^{-r^2}$。

振動する関数が、ガウス関数そのものに変わりました。

濃い部分が実軸と虚軸に張りついています。減衰が効くのは内側で、いちばん効くのが対角線。

扇形をとる

そこで、原点から実軸を $R$ まで進み、円弧で $45$ 度まで上がり、$45$ 度の半直線を原点へ戻る経路を作ります。開き角が $\pi /4$ の扇形です^[5]。

$e^{i{z}^2}$ は整関数なので、この扇形の内側に特異点がありません。周積分は $0$ です。

$${\int }_0^R{e}^{i{x}^2}dx+{\int }_{\text{弧}}{e}^{i{z}^2}dz-e^{i\pi /4}{\int }_0^R{e}^{-r^2}dr=0$$

第 3 項の符号が負なのは、半直線を原点向きに戻るからです。$z=r{e}^{i\pi /4}$ から $dz=e^{i\pi /4}dr$ が出て、係数として外へ出る。

弧が消える理由

弧の上では $z=R{e}^{i\phi }$ で、$0\le \phi \le \pi /4$ です。$z^2=R^2{e}^{2i\phi }$ なので、大きさは次のようになる。

$$|e^{i{z}^2}|=e^{-R^2\sin 2\phi }$$

$\phi =0$ の端では指数が $0$ で、まったく減衰しません。この端の近くをどう処理するかが山場になります。

$0\le \phi \le \pi /4$ では $\sin 2\phi \ge 4\phi /\pi$ が成り立ちます^[5]。ジョルダンの不等式を $2\phi$ に当てた形で、正弦の弧を弦で下からおさえている。

$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_{\text{弧}}{e}^{i{z}^2}dz\right|& \le R{\int }_0^{\pi /4}{e}^{-R^2\sin 2\phi }d\phi \\ & \le R{\int }_0^{\pi /4}{e}^{-4R^2\phi /\pi }d\phi \\ & =\frac{\pi }{4R}\left(1-e^{-R^2}\right)\end{array}$$

$1/R$ の程度なので $0$ へ落ちます。減衰しない端があっても、そこは幅が狭いので効かない。

破線が $e^{-4R^2\phi /\pi }$ です。実線を上からおさえていて、こちらは素直に積分できる。

ガウス積分を借りる

弧が消えたので、残りは $2$ 本です。

$${\int }_0^{\infty }{e}^{i{x}^2}dx=e^{i\pi /4}{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}dr=e^{i\pi /4}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

右辺のガウス積分は $\sqrt{\pi }/2$ です。極座標に直して $2$ 重積分にする、あの手で出る値。

$e^{i\pi /4}=(1+i)/\sqrt{2}$ を代入します。

$${\int }_0^{\infty }{e}^{i{x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(1+i)$$

実部が $\cos x^2$ の積分、虚部が $\sin x^2$ の積分です。実部と虚部が等しいので、$2$ つの値が同じになる。

$\sqrt{2\pi }/4=0.62666\dots$ です。$45$ 度という角度が、実部と虚部を対等に分けています。

コルニュのらせん

途中までの積分を、実部を横軸、虚部を縦軸にとって描くと、二重のらせんが現れます^[2]。

コルニュのらせん、あるいはクロソイド曲線と呼ばれます。曲率が弧長にまっすぐ比例するという性質を持つ曲線。

直線から円弧へ滑らかにつなぐ形なので、道路や鉄道の緩和曲線に使われます。ハンドルを一定の速さで切ったときの軌跡がこれ。

らせんが $2$ 点へ巻きついていく様子が、そのまま積分の収束です。振れ幅が縮んでいく代わりに、回る速さは上がっていく。

光のほうが先だった

この積分は、フレネルが $1810$ 年代に光の回折を扱うなかで現れたものです^[2]。

ナイフの刃のような直線の縁に光を当てると、影の中に光が回り込み、明るいところには縞ができる。その明暗の強さが、らせんの上の $2$ 点を結ぶ弦の長さの $2$ 乗になります。

幾何光学だけでは影の境界がくっきり切れるはずですが、実際にはにじむ。にじみ方の計算に、この積分が要る。

$n$ 乗への一般化

指数を $2$ から $n$ に変えても、同じ議論が通ります。扇形の開き角を $\pi /(2n)$ にとればよい^[5]。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }\cos x^{n}dx& =\frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi }{2n}\\ {\int }_0^{\infty }\sin x^{n}dx& =\frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\sin \frac{\pi }{2n}\end{array}$$

$n=2$ を入れると $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$ と $\cos (\pi /4)=1/\sqrt{2}$ から、さきほどの値に戻ります。

$n$ が大きくなると $\cos$ 側が $1$ に近づき、$\sin$ 側が $0$ に落ちます。$x^n$ の立ち上がりが急になり、$[0,1]$ をほぼそのまま数えるようになるため。

規格化の違いに注意

文献によって $C(z)$ と $S(z)$ の定義が違います。DLMF は指数に $\pi /2$ を入れた形をとります^[3]。

$$C(z)={\int }_0^z\cos \left(\frac{1}{2}\pi t^2\right)dt,S(z)={\int }_0^z\sin \left(\frac{1}{2}\pi t^2\right)dt$$

この定義だと極限がきれいな $1/2$ になります。$x=\sqrt{\pi /2}t$ と置換すれば、本文の値と行き来できる。

数表や公式集を引くときは、まずどちらの規格化かを確かめます。$0.6267$ と $0.5$ のどちらが出てくるかで見分けられる。

ガンマ関数から見る

置換した形に戻ると、ガンマ関数の一部として読めます。

$${\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{it}dt=\Gamma (s)e^{i\pi s/2}(0<s<1)$$

$s=1/2$ のときが、係数の違いを除いてフレネル積分です。右辺の $e^{i\pi s/2}$ が $45$ 度の回転そのもの。

扇形の開き角として現れた角度が、ガンマ関数の側では偏角として顔を出しています。同じ回転を、経路で書くか値で書くかの違い。

補足

${\int }_0^{\infty }\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt$ と ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos t}{\sqrt{t}}dt$ は、どちらも $\sqrt{\pi /2}$ です。本文の値の $2$ 倍で、置換の係数がそのまま出ている。

指数を $1$ に落とすと崩れます。${\int }_0^{\infty }\cos xdx$ は $\sin X$ が振れ続けるだけで、収束しない。

公式に $n=1$ を入れると $\cos (\pi /2)=0$ から $0$ という値が出ますが、意味を持ちません。弧の評価をやり直すと、上界が $\pi /(2n{R}^{n-1})$ の形になり、$n=1$ では $R$ を大きくしても定数のまま残る。

振動が速くなることと、積分が収まることは別の話です。速さの増え方が、幅の縮み方に追いついているかどうかで決まる。

出典