極が実軸に乗るとき半分だけ拾うコーシーの主値とソホツキー・プレメリの公式

$${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x}$$

この積分は発散します。$0$ の左右で $-\infty$ と $+\infty$ が出て、差が定まらない。

ところが、左右から同じ速さで $0$ に近づけると、有限の値が残ります。左の $-\ln (1/\epsilon )$ と右の $+\ln (1/\epsilon )$ が、どの $\epsilon$ でも打ち消し合う。

$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\left({\int }_{-1}^{-\epsilon }\frac{dx}{x}+{\int }_{\epsilon }^1\frac{dx}{x}\right)=0$$

これをコーシーの主値と呼びます。近づけ方を左右対称に固定するという約束で、発散を打ち消した値。

約束を変えると値が変わる

左右を独立に ${\epsilon }_1$、${\epsilon }_2$ で削ると、残るのは $\ln ({\epsilon }_1/{\epsilon }_2)$ です。比を $2$ に固定すれば $\ln 2$、$10$ にすれば $\ln 10$。

つまり値は約束が決めています。主値は、そのうち ${\epsilon }_1={\epsilon }_2$ を選んだもの^[1]。

グラフの左右が原点について点対称なので、同じ幅で削れば必ず打ち消し合います。この対称性が主値の中身です。

経路をよけると主値が出る

複素平面では、実軸に乗った極を小さな半円でよけます。よけたぶんの寄与が、留数の半周ぶん。

$1$ 位の極 $x_0$ を上から回り込む場合、小さい弧は時計回りに通ることになります。

$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{\text{小弧}}f(z)dz=-\pi i\mathrm{Res}(f,x_0)$$

下からよけると符号が変わり $+\pi i$ です^[1]。$1$ 周ぶんの $2\pi i$ の半分が、向きの分だけ符号を持って現れる。

上・下・主値の 3 つがそろう

同じ関数に対して、$3$ つの量が出ます。極を上へよけた積分、下へよけた積分、そして主値。

$3$ つの差は留数の $\pi i$ 倍で固定されています。主値がちょうど真ん中に来る。

言いかえると、極が実軸に乗る積分には唯一の答えがありません。$3$ つのどれを求めているかを、計算の前に決めます。

ソホツキー・プレメリの公式

よけ方の違いは、極を実軸から少しずらすことでも表せます。$\epsilon >0$ を虚部として足したり引いたりする。

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\int \frac{f(x)}{x-x_0\mp i\epsilon }dx=p.v.\int \frac{f(x)}{x-x_0}dx\pm i\pi f(x_0)$$

ソホツキーが $1873$ 年の学位論文で示し、のちにプレメリがより完全な証明を与えました^[3]。西欧ではプレメリの公式とも呼ばれます。

分布の記法で書くと、正体がはっきりします。

$$\frac{1}{x\mp i0}=p.v.\frac{1}{x}\pm i\pi \delta (x)$$

左辺を実部と虚部に分けるだけで出ます。$1/(x\mp i\epsilon )$ の実部は $x/(x^2+{\epsilon }^2)$、虚部は $\pm \epsilon /(x^2+{\epsilon }^2)$。

実部は原点をはさんで奇関数で、$\epsilon$ を縮めると $1/x$ に近づきます。積分すれば左右が打ち消し合い、主値そのもの。

虚部は原点に山を作ります。高さが $1/\epsilon$、幅が $\epsilon$ の程度で、面積は $\pi$ のまま変わらない。これがデルタ関数の作り方です。

例：$e^{ix}/(x-a)$

$a$ を実数として、主値を計算します。上半平面で閉じ、$x=a$ を上へよける。

内側に極はないので、周積分は $0$。大きい弧はジョルダンの補題で消えます。

$$p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ix}}{x-a}dx=i\pi e^{ia}$$

実部と虚部に分けると、$2$ つの公式が同時に出ます。

$$\begin{array}{rl}p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos x}{x-a}dx& =-\pi \sin a\\ p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x-a}dx& =\pi \cos a\end{array}$$

$a=0$ を入れると、上が $0$、下が $\pi$ です。ディリクレ積分の値と一致します。

極を実軸の上で滑らせると、値が正弦と余弦をなぞります。よけたぶんの $i\pi e^{ia}$ が、そのまま答えになっているため。

例：極が 2 つある場合

$1/(x^2-1)$ の主値を計算します。極は $\pm 1$ の $2$ つで、どちらも実軸の上。

上半平面で閉じ、両方を上へよけます。内側に極はなく、大きい弧は次数差 $2$ で消える。

留数は $z=1$ で $1/2$、$z=-1$ で $-1/2$ です。和が $0$ なので、よけたぶんの寄与も $0$。

$$p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^2-1}=0$$

$2$ つの極の寄与が打ち消し合いました。片方だけを見ていると、この相殺は見えません。

クラマース・クローニヒの関係

物理では、この公式が因果律の言いかえとして現れます。

応答関数が上半平面で正則だという条件から、実部と虚部が主値積分で結ばれる。

$$\mathrm{Re}\chi (\omega )=\frac{1}{\pi }p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mathrm{Im}\chi ({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }$$

物質の吸収スペクトルを測れば、屈折率の分散が計算で出る。片方を測るだけで済むという実務上の利点があります。

数学の側から見れば、これはヒルベルト変換です。$1/(\pi x)$ との主値の意味での畳み込みで、同じ関数に $2$ 回かけると符号が反転する。

$i\epsilon$ の置き方が物理を決める

場の理論では、伝播関数の分母に $i\epsilon$ を入れます。どちら向きに入れるかで、時間の向きが決まる。

$$\frac{1}{p^2-m^2+i\epsilon }$$

極を実軸からどちらへ逃がすかが、粒子が未来へ進むか過去へ進むかの選択に対応します。ソホツキー・プレメリの公式の $\pm i\pi \delta$ が、そのまま質量殻の上の寄与になる。

数学では約束にすぎなかった選択が、物理では境界条件として意味を持ちます。

補足

$2$ 位以上の極では、この話は成り立ちません。よけた弧の寄与が ${\epsilon }^{-1}$ を含み、極限そのものが存在しない。

その場合はアダマールの有限部分という、もう $1$ 段強い正則化を使います。発散する項を明示的に引き去るという方法で、主値の考え方を延長したもの。

主値が存在しても、もとの積分が収束するとは限りません。逆に、収束するなら主値も同じ値で存在します。片方向にしか言えない関係です。

参考