ガウス関数に cos bx を掛けた積分（長方形の経路で虚軸へずらす）

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\cos bxdx=\sqrt{\pi }{e}^{-b^2/4}$$

右辺にもガウス関数が出ています。振動する因子を掛けて積分したのに、形が変わらない。

複素平面では、この積分はほとんど何もしていません。平方完成して、経路を虚軸の方向へ少しずらすだけ^[2]。ずらしても値が変わらないことをコーシーの定理が保証し、ずらした先ではただのガウス積分になります。

まず平方完成する

$\cos bx$ を $e^{ibx}$ の実部として扱います。$e^{-x^2}$ は偶関数、$\sin bx$ は奇関数なので、虚部は最初から $0$。

$$e^{-x^2+ibx}=e^{-{\left(x-\frac{ib}{2}\right)}^2}{e}^{-b^2/4}$$

括弧の中を展開すると $x^2-ibx-b^2/4$ になり、符号を戻すと確かに合います。指数の $-b^2/4$ が外へ出て、残りが平行移動しただけのガウス関数。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\cos bxdx=e^{-b^2/4}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-{\left(x-\frac{ib}{2}\right)}^2}dx$$

右の積分の中身は、実数を代入しているのに複素数です。$u=x-ib/2$ と置きたくなりますが、そうすると積分の道が実軸から $b/2$ だけ下がった水平線に変わる。

実数の置換では届かない場所です。ここから先が複素解析の仕事になります。

$e^{-z^2}$ は整関数

$e^{-z^2}$ には特異点がありません。多項式と指数関数の合成なので、複素平面のどこでも正則です。

閉じた経路に沿って積分すれば、中身によらず $0$。この一言だけで、経路を自由に動かす許可が出ます。

ただし、動かした先で端が暴れないことは別に確かめます。$|e^{-z^2}|=e^{-(x^2-y^2)}$ なので、$y$ が大きいところでは逆に爆発する。

濃い部分が虚軸に沿って伸びています。高さを固定した細い帯の中で動かすぶんには安全で、上へ伸ばそうとすると壊れる。

長方形をとる

そこで、高さ $b/2$ の細長い長方形を使います。下の辺が実軸、上の辺が虚部 $b/2$ の水平線。

縦の辺は $z=\pm R+iy$ で、$|y|\le |b|/2$ です。大きさは $e^{-(R^2-y^2)}\le e^{-R^2+b^2/4}$。

$b$ は固定した定数なので、$R$ を大きくすればいくらでも小さくなります。辺の長さは $|b|/2$ のままなので、積分も $0$ へ落ちる。

上下の辺が等しくなる

周積分が $0$ で、縦の辺が消えました。残った上下の辺が、向きの違いを除いて等しい。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx={\int }_{-\infty +ib/2}^{\infty +ib/2}{e}^{-z^2}dz$$

左辺は $\sqrt{\pi }$ です。右辺は $z=x+ib/2$ と書けば ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x+ib/2{)}^2}dx$ になる。

平方完成の式と見比べると、符号を合わせて欲しかった積分そのもの。あとは $e^{-b^2/4}$ を掛け戻すだけです。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\cos bxdx=\sqrt{\pi }{e}^{-b^2/4}$$

$b=0$ を入れると $\sqrt{\pi }$ で、ふつうのガウス積分に戻ります。検算はこれで足ります。

振動を速くすると値が消える

$b$ を大きくすると、$\cos bx$ の山と谷が細かくなります。ガウス関数の $1$ 個の山の中に何度も出入りするようになり、打ち消し合いが進む。

$b$ を上げると、正の面積と負の面積がほとんど相殺します。残る量が $e^{-b^2/4}$ で、これもガウス関数の形。

微分で解く道と比べる

複素平面へ出ない解き方もあります。$b$ で微分する手です。

$$I(b)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\cos bxdx,I^{\prime }(b)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }x{e}^{-x^2}\sin bxdx$$

右辺を部分積分します。$x{e}^{-x^2}$ の原始関数が $-e^{-x^2}/2$ なので、微分側に $\sin bx$ を回す。

$$I^{\prime }(b)=-\frac{b}{2}I(b)$$

$1$ 階の線形微分方程式になりました。$I(0)=\sqrt{\pi }$ を初期条件として解けば $I(b)=\sqrt{\pi }{e}^{-b^2/4}$ です。

答えは同じですが、見えるものが違います。微分の道は「なぜガウス関数が戻ってくるか」を式の形で説明し、経路の道は「実軸を少し下げただけ」という位置の話に翻訳する。

半直線にすると誤差関数が出る

積分を $0$ から $\infty$ に切ると、話が急に難しくなります。長方形の左の辺が虚軸に乗り、そこが消えないためです。

左の辺では $z=iy$ で $e^{-z^2}=e^{y^2}$。減衰どころか増える向きです。長さが有限なので発散はしませんが、値が残る。

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\sin bxdx=e^{-b^2/4}{\int }_0^{b/2}{e}^{y^2}dy$$

右辺はドーソン関数と呼ばれ、$F(b/2)$ と書かれます^[4]。初等関数では書けません。

$\cos$ 側は偶関数なので半分にするだけで済み、$\sqrt{\pi }{e}^{-b^2/4}/2$ です。$\sin$ 側は奇関数ではないので半分にできず、消えなかった辺のぶんが誤差関数の仲間として顔を出す。

区間を半分にしただけで初等関数から外れる。対称性が使えるかどうかが、どれだけ効くかがよく分かる例です。

幅が狭いほど、相手は広がる

ここで出てきたのは、ガウス関数のフーリエ変換です^[2]。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}{e}^{-i\xi x}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-{\xi }^2/(4a)}$$

もとの幅が $1/\sqrt{a}$、変換後の幅が $2\sqrt{a}$ です。片方を狭めると、もう片方が同じ割合で広がる。

$a=1/2$ のときだけ両者が一致します。$e^{-x^2/2}$ が、フーリエ変換で自分自身に戻る関数。

積の形が保たれること、幅の積が一定になることが、量子力学の不確定性関係とガウス波束の役割につながっています。

係数を虚数にしてもよい

得られた $I(b)=\sqrt{\pi }{e}^{-b^2/4}$ は、両辺とも $b$ の整関数です。実数の $b$ すべてで一致するので、一致の定理からあらゆる複素数の $b$ で成り立つ。

$b=2i\beta$ を入れます。$\cos (2i\beta x)=\cosh 2\beta x$ なので、左辺の振動が双曲線関数に変わる。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}\cosh 2\beta xdx=\sqrt{\pi }{e}^{{\beta }^2}$$

右辺は減衰から増大へ裏返りました。$\cosh$ が指数的に伸びても、$e^{-x^2}$ のほうが強いので積分は収束する。

平方完成の側から見れば、ずらす向きが虚軸から実軸に変わっただけ。長方形を縦に置くか横に置くかの違いです。

高さの選び方が経路を決める

長方形が効くのは、高さをうまく選ぶと上下の辺が対応するときです。ガウス関数では平方完成が高さを教えてくれました。

周期を持つ関数では、周期そのものが高さになります。$e^z$ の周期は $2\pi i$ なので、高さ $2\pi$ をとる。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ax}}{1+e^x}dx=\frac{\pi }{\sin \pi a}(0<a<1)$$

上の辺では分母が $1+e^x$ のまま変わらず、分子だけが $e^{2\pi ia}$ 倍になります。差をとると、求めたい積分が係数付きで残る^[1]。

$1/\cosh x$ は高さ $\pi$

もう $1$ つ、高さの選び方が見える例です。$\cosh$ の周期は $2\pi i$ ですが、符号だけなら $\pi i$ で反転します。

$$\cosh (x+i\pi )=-\cosh x$$

高さ $\pi$ の長方形をとると、上の辺の被積分関数が下の辺の $-1$ 倍。向きの反転と合わせて、$2$ 本が足し合わさります。

内側の極は $z=i\pi /2$ の $1$ つで、$\cosh z$ の零点です。留数は $1/\sinh (i\pi /2)=-i$。

$$2{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{\cosh x}=2\pi i\cdot (-i)=2\pi$$

つまり $\pi$ です。$\mathrm{sech}$ の面積がちょうど $\pi$ になるという、覚えやすい形。

同じ手で ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ax}}{\cosh x}dx=\frac{\pi }{\cos (\pi a/2)}$ も出ます。$|a|<1$ が条件で、$a\to \pm 1$ で発散する。

熱伝導との対応

ガウス関数のフーリエ変換は、熱方程式の解そのものです。

$u_t=u_{xx}$ を初期値 $\delta$ で解くと $u(x,t)=(4\pi t{)}^{-1/2}{e}^{-x^2/(4t)}$ になります。フーリエ側では $e^{-k^{2}t}$ で、時間とともに高い波数が落ちていく。

本文の計算は、この $2$ つの表示が同じものだと言っています。$b$ を波数、$1/4$ を時間だと読み替えれば、そのまま対応する。

熱が広がるほど、含まれる細かい振動が消えていく。積分の値が $e^{-b^2/4}$ で落ちるのは、その現れです。

どの高さを選ぶか

上下の辺が同じ形になるか、定数倍で結ばれるか。そこだけを見て高さを決めます。

参考文献