枠そのものを点だと思う - 主束と同伴束で接続の余りが消える

ベクトル束の接続は、枠をとり替えるたびに余りが出ました。 $A \mapsto g^{- 1} A g + g^{- 1} d g$ という形で、 $1$ 形式として素直に扱えません。

枠そのものを点だと思う空間へ持ち上げると、この余りが消えます。接続はリー代数に値をとる $1$ 形式ひとつになる^[1]。

その持ち上げ先が主束です。曲率も、構造方程式ひとつで書けるようになります。

束を貼り合わせる

$π : P \to M$ で、どの点のまわりでも $π^{- 1} (U) ≅ U \times F$ と書けるものをファイバー束といいます^[1]。

全体としては直積とは限りません。局所的に直積に見えるだけです。

$σ : M \to P$ で $π \circ σ = id_{M}$ を満たすものを切断といいます。各点のファイバーから 1 点ずつ選ぶ写像です。

ベクトル束なら切断はいつでもあります。零ベクトルを選べばよい。主束ではそうはいきません。

主束

リー群 $G$ が $P$ に右から自由に作用しているとします。次の 3 つが成り立つとき、 $P \to M$ を構造群 $G$ の主束といいます^[1,3]。

軌道空間 $P / G$ が $M$ と同一視でき、ファイバーが $G$ と微分同相で、局所自明化が群作用と両立する。

作用が自由なので、同じファイバーの $2$ 点 $p, p^{'}$ に対して $p = p^{'} τ (p^{'}, p)$ となる $τ (p^{'}, p) \in G$ がただ 1 つ決まります^[1]。

ファイバーは $G$ のコピーですが、単位元にあたる点が決まっていません。原点のない群、という言い方ができます。

切断があれば自明になる

主束には強い性質があります。局所切断と局所自明化が 1 対 1 に対応する^[1]。

切断 $σ$ があれば $ϕ (u, g) = σ (u) g$ で自明化が作れます。逆に自明化があれば $σ (u) = ϕ (u, e)$ で切断が作れる。

だから全域の切断を持つ主束は自明です^[3]。ベクトル束のように零切断でごまかせません。

自明かどうかが、切断の存在という 1 つの条件に集約されます。ここが主束の扱いやすいところです。

例：枠束

$M$ の各点 $m$ で、 $T_{m} M$ の基底 $f = (f_{1}, \dots, f_{n})$ を枠といいます。枠を全部集めたものが枠束 $F M$ です^[1]。

$G L (n, R)$ が右から作用します。 $f g = (g_{1}^{i} f_{i}, \dots, g_{n}^{i} f_{i})$ という基底のとり替えです。

局所座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ をとると、枠は $f_{j} = f_{j}^{k} e_{k}$ と書けます。 $(x^{i}, f_{j}^{k})$ が座標になり、 $dim F M = n + n^{2}$ ^[1]。

局所切断は局所的な枠の場です。全域の切断は全域の枠の場、つまり平行化にあたります。

例：ホップ束

$S^{3}$ を $S O (2)$ の作用で割ると $S^{2}$ が出ます。これがホップ束で、 $S^{1}$ を構造群とする主束です^[4]。

全空間が $S^{3}$ 、底が $S^{2}$ 、ファイバーが円周。局所的には $U \times S^{1}$ ですが、全体では直積になりません。

もし自明なら全域切断があり、 $S^{3} ≅ S^{2} \times S^{1}$ になるはずです。基本群を比べればそうならないと分かる。

$S^{3}$ が中身の入ったトーラス $2$ つの貼り合わせだという話も、この束から見えます^[4]。

同伴束

主束から、ファイバーを別のものにとり替えた束が作れます^[1]。

$G$ が左から作用する空間 $F$ をとり、 $P \times F$ に同値関係を入れます。

$(p, v) \sim (p g, g^{- 1} v)$

商 $P \times_{G} F$ を同伴束といいます。射影は $π_{F} ([p, v]) = π (p)$ で、ファイバーは $F$ と微分同相^[1]。

$F$ をベクトル空間 $V$ にとり、 $G$ が線型に作用すればベクトル束になります^[1,3]。

例：接束は枠束の同伴束

$G L (n, R)$ が $R^{n}$ に自然に作用します。 $F M \times_{G L (n, R)} R^{n}$ を作ると、これが接束です^[1]。

同一視は素直です。 $[f, v]$ に $f_{i} v^{i} \in T_{π (f)} M$ を対応させる。

きちんと定まっていることも確かめられます。 $[f g, g^{- 1} v]$ を送ると $f_{j} (g)_{i}^{j} (g^{- 1})_{k}^{i} v^{k} = f_{j} δ_{k}^{j} v^{k} = f_{i} v^{i}$ で、同じ値になります^[1]。

枠 $f$ と成分 $v$ の組で接ベクトルを表し、枠のとり替えで成分が逆に動く。テンソルの変換則そのものです。

逆向きにも戻せる

同伴束の作り方は一方通行ではありません。ファイバー $V$ のベクトル束はどれも、構造群 $Aut (V)$ の主束の同伴束として書けます^[1]。

主束の側が枠を並べた空間で、ベクトル束の側が成分を並べた空間。同じ情報を 2 通りに表しています。

だから接続の理論は主束の上で書けば済みます。ベクトル束の接続は、そこから降りてきたもの。

主束を「一般化された枠の束」と読むと、同伴束は枠に成分を組み合わせた空間になります^[1]。

枠を右から動かし、成分を左から逆に動かす。この打ち消し合いが同値関係の形になっている。

垂直と水平

$P$ の点 $p$ で、ファイバーに沿う方向を垂直といいます^[1]。

$V_{p} = {X \in T_{p} P ∣ π_{*} X = 0}$

垂直方向は自動的に決まります。決まっていないのは、それを補う水平方向のとり方です。

各点で補空間 $H_{p}$ を滑らかに選び、 $T_{p} P = V_{p} \oplus H_{p}$ かつ $H_{p g} = g_{*} H_{p}$ を満たすようにする。これを接続といいます^[1]。

2 つ目の条件は、ファイバーに沿って水平方向が群作用で運ばれるという要求です。1 点で決めれば、そのファイバー全体で決まります。

同じものの 3 つの言い方

接続には言い方が 3 つあり、たがいに移り合います^[1]。

水平部分空間 $H_{p}$ を選ぶ。線型写像 $σ_{p} : T_{m} M \to T_{p} P$ で $π_{*} \circ σ_{p} = id$ と $σ_{p g} = g_{*} σ_{p}$ を満たすものを選ぶ。あるいは接続形式を選ぶ。

$H_{p} = σ_{p} (T_{m} M)$ で行き来できます。逆向きは $σ_{p} = (π_{*} ∣_{H_{p}})^{- 1}$ ^[1]。

3 つ目がいちばん計算に向いています。次に見ます。

接続形式

垂直空間はリー代数 $g$ と同一視できます。 $θ_{p} (g) = p g$ の微分がその同型を与える^[1]。

そこで $g$ に値をとる $1$ 形式 $ω$ を、水平を消して垂直をリー代数へ送るものとして定めます。

$ω_{p} (u) = ψ_{p *} (u - σ_{p} π_{*} u)$

$H_{p} = ker ω_{p}$ です。水平部分空間を選ぶことと、この形式を選ぶことが同じになります^[1]。

群作用のもとでの振る舞いも決まります^[1]。

$R_{g}^{*} ω = Ad (g^{- 1}) \circ ω$

局所表示がゲージ場

$ω$ は全空間 $P$ の上の形式です。底空間へ降ろすには局所切断が要ります^[1]。

局所切断 $σ : U \to P$ をとり、 $A = σ^{*} ω$ とおく。これが接続の局所表示です。

枠束の場合、局所切断を選ぶことは局所的な枠の場を選ぶことです。だから $A$ は「局所座標で書いた接続」にあたります^[1]。

物理ではこの $ω$ をゲージ場と呼びます^[2]。切断のとり替えがゲージ変換で、そのとき $A$ に余りが出る。

余りが出るのは局所表示の側だけです。 $P$ の上の $ω$ は最初から 1 つに決まっています。

道を水平に持ち上げる

接続があると、底の道を全空間の道へ持ち上げられます^[1]。

$α : I \to M$ と出発点 $p \in π^{- 1} (α (0))$ を決めると、 $π \circ \tilde{α}_{p} = α$ で接ベクトルが水平な道が 1 つ決まる。

同変性も成り立ちます。 $\tilde{α}_{p g} (t) = \tilde{α}_{p} (t) g$ です^[1]。

証明は常微分方程式の一意性から出ます。水平持ち上げのベクトル場を作り、その積分曲線をとるだけ^[1]。

同伴束へ降ろす

持ち上げは同伴ベクトル束の平行移動を与えます^[1]。

$τ_{α (t)} ([p, v]) = [\tilde{α}_{p} (t), v]$

代表元の選び方によらないことは、持ち上げの同変性から出ます。 $[p g, g^{- 1} v]$ を送っても同じ点になる^[1]。

ここから共変微分が定まります。主束の接続、道の持ち上げ、平行移動、共変微分。この 4 つが一列につながりました^[1]。

ベクトル束の側だけで平行移動から共変微分を作ろうとすると、 $X$ について $C^{\infty}$ 線型であることが示せません。主束から来た平行移動なら示せます^[1]。

曲率形式

$g$ に値をとる $r$ 形式 $φ$ に対して、共変微分を水平成分だけで定めます^[1]。

$D φ (v_{1}, \dots, v_{r + 1}) = d φ (hor v_{1}, \dots, hor v_{r + 1})$

接続形式に当てたもの $Ω = D ω$ を曲率形式といいます。

$1$ 形式に $d$ を当ててから水平に落とす。それだけの定義です。

構造方程式

曲率形式は $ω$ だけで書けます^[1]。

$Ω (X, Y) = d ω (X, Y) + [ω (X), ω (Y)]$

マウラー・カルタンの構造方程式です。 $g$ の基底 $(e_{α})$ で成分に分けると、構造定数が現れます^[1]。

$Ω^{α} = d ω^{α} + \frac{1}{2} C_{β γ}^{α} ω^{β} \land ω^{γ}$

微分してから括弧を足す。曲率の正体はこの $2$ 項です。

ビアンキ恒等式も同じ道具から出ます。 $D Ω = 0$ が成り立つ^[1]。

曲率が消えることの意味

水平なベクトル場 $X, Y$ に当てると、 $ω (X) = ω (Y) = 0$ なので括弧の項が落ちます。

$Ω (X, Y) = d ω (X, Y) = - ω ([X, Y])$

$ω$ が消えるのは水平ベクトルだけです。したがって $Ω (X, Y) = 0$ と $[X, Y]$ が水平であることが同値。

曲率が消えるとは、水平分布が対合的だということです。フロベニウスの定理から葉層ができ、局所的に平らな切断がとれます。

閉じた道を持ち上げたときのずれ、つまりホロノミーが消える理由もここにあります。

局所表示は電磁場

曲率も局所切断で降ろせます。 $F = σ^{*} Ω$ とおくと、局所表示は次の形^[1]。

$F^{γ} = d A^{γ} + \frac{1}{2} C_{α β}^{γ} A^{α} \land A^{β}$

$G = U (1)$ なら可換なので構造定数が消え、 $F = d A$ だけが残ります。

$A$ がベクトルポテンシャル、 $F$ がファラデーテンソルです^[1]。電磁場が $U (1)$ 主束の接続と曲率になります。

非可換な群にすると括弧の項が残る。ヤン・ミルズ理論はここから始まります。

主束の言葉	物理の言葉
接続形式 $ω$	ゲージ場
局所表示 $σ^{*} ω$	ベクトルポテンシャル
曲率形式 $Ω$	場の強さ
局所切断のとり替え	ゲージ変換

曲率の局所表示は主束に持ち上がる

局所表示から全空間の形式に戻せる、という点も大事です^[1]。

$ψ (m, g) = σ (m) g$ で自明化を作ると、 $ω$ が $A$ と群の側の項から復元されます。

だから「局所座標での接続」という言い方が正確になる。切断を覚えておけば、情報は失われません^[1]。

主束 $P \to M$ が自明であることと同値なのはどれですか。

接続形式が存在すること
全域で定義された切断が存在すること
曲率形式が恒等的に $0$ になること

__RESULT__

局所切断と局所自明化が 1 対 1 に対応するので、全域切断があれば全域の自明化ができます。接続はどの主束にも存在し、曲率が $0$ でも自明とは限りません。平坦でも底空間の基本群によってホロノミーが残ります。

発展：接続の集合の形

接続は 1 つに決まりません。集合としてどんな形になるか、という問いには答えがあります。

$2$ つの接続形式は垂直ベクトルの上で一致するので、差は垂直方向で消えます。 $Ad$ 同変な水平 $1$ 形式が残り、接続の全体はアフィン空間になります^[2]。

原点がないので、どれかを基準に選ばないと差だけが意味を持ちます。ゲージ理論で接続空間を扱うときの出発点です。

枠を点だと思う。それだけで、余りの出ない場所に立てました。

参考

Scott Morrison. *Connections on Principal Fibre Bundles*. 2000.

Helga Baum. *Eichfeldtheorie — Eine Einführung in mathematische Konzepte*. Humboldt-Universität Berlin, 2005.

Principal fibre bundle. Encyclopedia of Mathematics.

Erik van den Ban. *Notes for the course Foliation theory*. Utrecht University, 2006.

ベクトル束の接続は、枠をとり替えるたびに $A \mapsto g^{-1}Ag + g^{-1}dg$ の余りが出ます。枠を並べた空間へ持ち上げると余りが消え、接続はリー代数に値をとる $1$ 形式ひとつになる。全域切断があれば主束は自明で、接束は枠束の同伴束として出てくる。曲率は $\Omega(X,Y) = d\omega(X,Y) + [\omega(X),\omega(Y)]$ という構造方程式ひとつ。曲率が消えることは水平分布が対合的なことで、フロベニウスの定理がそのまま効きます。$U(1)$ にすると $A$ がベクトルポテンシャル、$F = dA$ がファラデーテンソル。