枠そのものを点だと思う - 主束と同伴束で接続の余りが消える

ベクトル束の接続は、枠をとり替えるたびに余りが出ました。$A\mapsto g^{-1}Ag+g^{-1}dg$ という形で、$1$ 形式として素直に扱えません。

枠そのものを点だと思う空間へ持ち上げると、この余りが消えます。接続はリー代数に値をとる $1$ 形式ひとつになる^[1]。

その持ち上げ先が主束です。曲率も、構造方程式ひとつで書けるようになります。

束を貼り合わせる

$\pi :P\to M$ で、どの点のまわりでも ${\pi }^{-1}(U)\cong U\times F$ と書けるものをファイバー束といいます^[1]。

全体としては直積とは限りません。局所的に直積に見えるだけです。

$\sigma :M\to P$ で $\pi \circ \sigma ={\mathrm{id}}_M$ を満たすものを切断といいます。各点のファイバーから 1 点ずつ選ぶ写像です。

ベクトル束なら切断はいつでもあります。零ベクトルを選べばよい。主束ではそうはいきません。

主束

リー群 $G$ が $P$ に右から自由に作用しているとします。次の 3 つが成り立つとき、$P\to M$ を構造群 $G$ の主束といいます^[1,3]。

軌道空間 $P/G$ が $M$ と同一視でき、ファイバーが $G$ と微分同相で、局所自明化が群作用と両立する。

作用が自由なので、同じファイバーの $2$ 点 $p,p^{\prime }$ に対して $p=p^{\prime }\tau (p^{\prime },p)$ となる $\tau (p^{\prime },p)\in G$ がただ 1 つ決まります^[1]。

ファイバーは $G$ のコピーですが、単位元にあたる点が決まっていません。原点のない群、という言い方ができます。

切断があれば自明になる

主束には強い性質があります。局所切断と局所自明化が 1 対 1 に対応する^[1]。

切断 $\sigma$ があれば $\varphi (u,g)=\sigma (u)g$ で自明化が作れます。逆に自明化があれば $\sigma (u)=\varphi (u,e)$ で切断が作れる。

だから全域の切断を持つ主束は自明です^[3]。ベクトル束のように零切断でごまかせません。

自明かどうかが、切断の存在という 1 つの条件に集約されます。ここが主束の扱いやすいところです。

例：枠束

$M$ の各点 $m$ で、$T_{m}M$ の基底 $f=(f_1,\dots ,f_n)$ を枠といいます。枠を全部集めたものが枠束 $FM$ です^[1]。

$GL(n,\mathbb{R})$ が右から作用します。$fg=(g_1^i{f}_i,\dots ,g_n^i{f}_i)$ という基底のとり替えです。

局所座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ をとると、枠は $f_j=f_j^k{e}_k$ と書けます。$(x^i,f_j^k)$ が座標になり、$\dim FM=n+n^2$^[1]。

局所切断は局所的な枠の場です。全域の切断は全域の枠の場、つまり平行化にあたります。

例：ホップ束

$S^3$ を $SO(2)$ の作用で割ると $S^2$ が出ます。これがホップ束で、$S^1$ を構造群とする主束です^[4]。

全空間が $S^3$、底が $S^2$、ファイバーが円周。局所的には $U\times S^1$ ですが、全体では直積になりません。

もし自明なら全域切断があり、$S^3\cong S^2\times S^1$ になるはずです。基本群を比べればそうならないと分かる。

$S^3$ が中身の入ったトーラス $2$ つの貼り合わせだという話も、この束から見えます^[4]。

同伴束

主束から、ファイバーを別のものにとり替えた束が作れます^[1]。

$G$ が左から作用する空間 $F$ をとり、$P\times F$ に同値関係を入れます。

$$(p,v)\sim (pg,g^{-1}v)$$

商 $P{\times }_{G}F$ を同伴束といいます。射影は ${\pi }_F([p,v])=\pi (p)$ で、ファイバーは $F$ と微分同相^[1]。

$F$ をベクトル空間 $V$ にとり、$G$ が線型に作用すればベクトル束になります^[1,3]。

例：接束は枠束の同伴束

$GL(n,\mathbb{R})$ が ${\mathbb{R}}^n$ に自然に作用します。$FM{\times }_{GL(n,\mathbb{R})}{\mathbb{R}}^n$ を作ると、これが接束です^[1]。

同一視は素直です。$[f,v]$ に $f_i{v}^i\in T_{\pi (f)}M$ を対応させる。

きちんと定まっていることも確かめられます。$[fg,g^{-1}v]$ を送ると $f_j(g{)}_i^j(g^{-1}{)}_k^i{v}^k=f_j{\delta }_k^j{v}^k=f_i{v}^i$ で、同じ値になります^[1]。

枠 $f$ と成分 $v$ の組で接ベクトルを表し、枠のとり替えで成分が逆に動く。テンソルの変換則そのものです。

逆向きにも戻せる

同伴束の作り方は一方通行ではありません。ファイバー $V$ のベクトル束はどれも、構造群 $\mathrm{Aut}(V)$ の主束の同伴束として書けます^[1]。

主束の側が枠を並べた空間で、ベクトル束の側が成分を並べた空間。同じ情報を 2 通りに表しています。

だから接続の理論は主束の上で書けば済みます。ベクトル束の接続は、そこから降りてきたもの。

垂直と水平

$P$ の点 $p$ で、ファイバーに沿う方向を垂直といいます^[1]。

$$V_p=\{X\in T_{p}P\mid {\pi }_{\ast }X=0\}$$

垂直方向は自動的に決まります。決まっていないのは、それを補う水平方向のとり方です。

各点で補空間 $H_p$ を滑らかに選び、$T_{p}P=V_p\oplus H_p$ かつ $H_{pg}=g_{\ast }{H}_p$ を満たすようにする。これを接続といいます^[1]。

2 つ目の条件は、ファイバーに沿って水平方向が群作用で運ばれるという要求です。1 点で決めれば、そのファイバー全体で決まります。

同じものの 3 つの言い方

接続には言い方が 3 つあり、たがいに移り合います^[1]。

水平部分空間 $H_p$ を選ぶ。線型写像 ${\sigma }_p:T_{m}M\to T_{p}P$ で ${\pi }_{\ast }\circ {\sigma }_p=\mathrm{id}$ と ${\sigma }_{pg}=g_{\ast }{\sigma }_p$ を満たすものを選ぶ。あるいは接続形式を選ぶ。

$H_p={\sigma }_p(T_{m}M)$ で行き来できます。逆向きは ${\sigma }_p=({\pi }_{\ast }{|}_{H_p}{)}^{-1}$^[1]。

3 つ目がいちばん計算に向いています。次に見ます。

接続形式

垂直空間はリー代数 $\mathfrak{g}$ と同一視できます。${\theta }_p(g)=pg$ の微分がその同型を与える^[1]。

そこで $\mathfrak{g}$ に値をとる $1$ 形式 $\omega$ を、水平を消して垂直をリー代数へ送るものとして定めます。

$${\omega }_p(u)={\psi }_{p\ast }(u-{\sigma }_p{\pi }_{\ast }u)$$

$H_p=\ker {\omega }_p$ です。水平部分空間を選ぶことと、この形式を選ぶことが同じになります^[1]。

群作用のもとでの振る舞いも決まります^[1]。

$$R_g^{\ast }\omega =\mathrm{Ad}(g^{-1})\circ \omega$$

局所表示がゲージ場

$\omega$ は全空間 $P$ の上の形式です。底空間へ降ろすには局所切断が要ります^[1]。

局所切断 $\sigma :U\to P$ をとり、$A={\sigma }^{\ast }\omega$ とおく。これが接続の局所表示です。

枠束の場合、局所切断を選ぶことは局所的な枠の場を選ぶことです。だから $A$ は「局所座標で書いた接続」にあたります^[1]。

物理ではこの $\omega$ をゲージ場と呼びます^[2]。切断のとり替えがゲージ変換で、そのとき $A$ に余りが出る。

余りが出るのは局所表示の側だけです。$P$ の上の $\omega$ は最初から 1 つに決まっています。

道を水平に持ち上げる

接続があると、底の道を全空間の道へ持ち上げられます^[1]。

$\alpha :I\to M$ と出発点 $p\in {\pi }^{-1}(\alpha (0))$ を決めると、$\pi \circ {\tilde{\alpha }}_p=\alpha$ で接ベクトルが水平な道が 1 つ決まる。

同変性も成り立ちます。${\tilde{\alpha }}_{pg}(t)={\tilde{\alpha }}_p(t)g$ です^[1]。

証明は常微分方程式の一意性から出ます。水平持ち上げのベクトル場を作り、その積分曲線をとるだけ^[1]。

同伴束へ降ろす

持ち上げは同伴ベクトル束の平行移動を与えます^[1]。

$${\tau }_{\alpha (t)}([p,v])=[{\tilde{\alpha }}_p(t),v]$$

代表元の選び方によらないことは、持ち上げの同変性から出ます。$[pg,g^{-1}v]$ を送っても同じ点になる^[1]。

ここから共変微分が定まります。主束の接続、道の持ち上げ、平行移動、共変微分。この 4 つが一列につながりました^[1]。

ベクトル束の側だけで平行移動から共変微分を作ろうとすると、$X$ について $C^{\infty }$ 線型であることが示せません。主束から来た平行移動なら示せます^[1]。

曲率形式

$\mathfrak{g}$ に値をとる $r$ 形式 $\phi$ に対して、共変微分を水平成分だけで定めます^[1]。

$$D\phi (v_1,\dots ,v_{r+1})=d\phi (\mathrm{hor}{v}_1,\dots ,\mathrm{hor}{v}_{r+1})$$

接続形式に当てたもの $\Omega =D\omega$ を曲率形式といいます。

$1$ 形式に $d$ を当ててから水平に落とす。それだけの定義です。

構造方程式

曲率形式は $\omega$ だけで書けます^[1]。

$$\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]$$

マウラー・カルタンの構造方程式です。$\mathfrak{g}$ の基底 $(e_{\alpha })$ で成分に分けると、構造定数が現れます^[1]。

$${\Omega }^{\alpha }=d{\omega }^{\alpha }+\frac{1}{2}{C}_{\beta \gamma }^{\alpha }{\omega }^{\beta }\wedge {\omega }^{\gamma }$$

微分してから括弧を足す。曲率の正体はこの $2$ 項です。

ビアンキ恒等式も同じ道具から出ます。$D\Omega =0$ が成り立つ^[1]。

曲率が消えることの意味

水平なベクトル場 $X,Y$ に当てると、$\omega (X)=\omega (Y)=0$ なので括弧の項が落ちます。

$$\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])$$

$\omega$ が消えるのは水平ベクトルだけです。したがって $\Omega (X,Y)=0$ と $[X,Y]$ が水平であることが同値。

曲率が消えるとは、水平分布が対合的だということです。フロベニウスの定理から葉層ができ、局所的に平らな切断がとれます。

閉じた道を持ち上げたときのずれ、つまりホロノミーが消える理由もここにあります。

局所表示は電磁場

曲率も局所切断で降ろせます。$F={\sigma }^{\ast }\Omega$ とおくと、局所表示は次の形^[1]。

$$F^{\gamma }=d{A}^{\gamma }+\frac{1}{2}{C}_{\alpha \beta }^{\gamma }{A}^{\alpha }\wedge A^{\beta }$$

$G=U(1)$ なら可換なので構造定数が消え、$F=dA$ だけが残ります。

$A$ がベクトルポテンシャル、$F$ がファラデーテンソルです^[1]。電磁場が $U(1)$ 主束の接続と曲率になります。

非可換な群にすると括弧の項が残る。ヤン・ミルズ理論はここから始まります。

曲率の局所表示は主束に持ち上がる

局所表示から全空間の形式に戻せる、という点も大事です^[1]。

$\psi (m,g)=\sigma (m)g$ で自明化を作ると、$\omega$ が $A$ と群の側の項から復元されます。

だから「局所座標での接続」という言い方が正確になる。切断を覚えておけば、情報は失われません^[1]。

発展：接続の集合の形

接続は 1 つに決まりません。集合としてどんな形になるか、という問いには答えがあります。

$2$ つの接続形式は垂直ベクトルの上で一致するので、差は垂直方向で消えます。$\mathrm{Ad}$ 同変な水平 $1$ 形式が残り、接続の全体はアフィン空間になります^[2]。

原点がないので、どれかを基準に選ばないと差だけが意味を持ちます。ゲージ理論で接続空間を扱うときの出発点です。

枠を点だと思う。それだけで、余りの出ない場所に立てました。

参考