曲率と捩率だけで空間曲線は決まるのか？フレネ・セレの公式

空間の曲線は、$2$ つの関数だけで完全に決まります。曲がり具合を表す $\kappa (s)$ と、ねじれ具合を表す $\tau (s)$ です。

この $2$ つを与えると、それをもつ曲線が存在し、しかも剛体運動を除いて 1 本に決まる^[1]。曲線論の基本定理と呼ばれます。

道具は 3 本の単位ベクトルだけ。順に組み立てます。

弧長で測り直す

曲線 $\alpha :I\to {\mathbb{R}}^3$ が正則、つまり $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \ne 0$ だとします^[1]。

弧長を次で定めます。

$$s(t)={\int }_{t_0}^t\Vert {\alpha }^{\prime }(u)\Vert du$$

$s^{\prime }(t)=\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \ne 0$ なので逆関数 $t(s)$ がとれます。$\bar{\alpha }(s)=\alpha (t(s))$ とおくと $\Vert {\bar{\alpha }}^{\prime }(s)\Vert =1$^[1]。

つまり、どの正則曲線も速さ $1$ で走り直せます。以下ではいつも弧長でパラメータづけます。

同じ像をもつ曲線はいくつもあります。速さを $1$ に固定すると、その自由度が消える。

接ベクトルの回り方が曲率

単位速度なら $T(s)={\alpha }^{\prime }(s)$ が単位接ベクトルです。曲線が曲がるとは、$T$ の向きが変わることでした。

そこで変化の速さを曲率と決めます^[1]。

$$\kappa (s)=\Vert T^{\prime }(s)\Vert =\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert$$

直線なら $T$ が一定で $\kappa =0$。急に曲がるほど $\kappa$ が大きくなります。

主法線

単位ベクトル場は、その微分と直交します^[1]。$\Vert v{\Vert }^2=1$ を微分すれば $v\cdot v^{\prime }=0$ が出るだけです。

だから $T^{\prime }$ は $T$ と直交します。$\kappa >0$ のとき、向きを単位ベクトルに直したものを主法線 $N$ とする。

$$T^{\prime }=\kappa N$$

$\kappa =0$ の点では $N$ が決まりません。以下では $\kappa >0$ を仮定します。

従法線と枠

$B=T\times N$ とおくと、$T,N,B$ が正の向きの正規直交枠になります^[1]。フレネ標構と呼ばれます。

3 本はたがいに外積で結ばれます。$T=N\times B$、$N=B\times T$、$B=T\times N$。

曲線に貼りついた座標系です。曲線が進むにつれて、この座標系が回っていきます。

フレネ・セレの公式

3 本の微分を、3 本自身で書きます^[3,4]。

$$\begin{array}{rl}{T}^{\prime }& =\kappa N\\ N^{\prime }& =-\kappa T+\tau B\\ B^{\prime }& =-\tau N\end{array}$$

$T^{\prime }$ は定義そのものです。$B^{\prime }=(T\times N{)}^{\prime }=T^{\prime }\times N+T\times N^{\prime }=T\times N^{\prime }$ で、$T$ とも $B$ とも直交するので $N$ の定数倍になる。

その係数を $-\tau$ と決めます。$N^{\prime }=(B\times T{)}^{\prime }$ から残る 1 本も出ます^[1]。

$\tau$ の符号は本によって逆です。$B^{\prime }=\tau N$ とする流儀もあります^[1]。

行列が反対称になる理由

3 本を並べて行列で書くと、係数がきれいな形になります^[3]。

$$\frac{d}{ds}\left(\begin{array}{c}T\\ N\\ B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& \kappa & 0\\ -\kappa & 0& \tau \\ 0& -\tau & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}T\\ N\\ B\end{array}\right)$$

対角が $0$ で、上下が符号違い。反対称行列です。

偶然ではありません。正規直交枠を並べた行列は直交行列で、直交行列の族の微分は必ず反対称になります。

反対称行列は $\mathfrak{so}(3)$ の元、つまり回転の速度です。曲線を進むことは、枠を回し続けることでした。

捩率が測るもの

$T$ と $N$ が張る平面を接触平面といいます^[1]。曲線がその場でいちばんよく乗っている平面です。

$B$ は接触平面の法線なので、$B$ の回り方が接触平面の回り方になります。$\Vert B^{\prime }\Vert =|\tau |$。

だから $\tau$ は、曲線が接触平面からどれだけ外れていくかを測っています^[1]。

$\tau \equiv 0$ なら $B$ が一定で、曲線は 1 枚の平面に収まります。逆に $\tau \ne 0$ なら空間の中でねじれる^[1]。

例：円

半径 $r$ の円は $\alpha (s)=(r\cos (s/r),r\sin (s/r),0)$ です。弧長でパラメータづけてあります。

微分を 2 回とると $\Vert {\alpha }^{\prime \prime }\Vert =1/r$。曲率は $\kappa =1/r$ で一定です。

平面に収まっているので $\tau =0$。半径が小さいほど曲率が大きい、という感覚どおりになります。

例：常螺旋

$\alpha (t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ をとります。円柱に巻きついた螺旋です^[1]。

計算すると、どちらも定数になります。

$$\kappa =\frac{a}{a^2+b^2},\tau =\frac{b}{a^2+b^2}$$

$b=0$ なら円に戻り、$\tau =0$。$b$ を大きくすると捩率が増え、曲率は減ります。

曲率と捩率が両方とも定数になる曲線は、直線と円と常螺旋だけです。基本定理から、それ以外にありません。

一般のパラメータで計算する

弧長に直すのは面倒です。ふつうのパラメータのままでも計算できます^[4]。

$$\kappa =\frac{\Vert \dot{r}\times \ddot{r}\Vert }{\Vert \dot{r}{\Vert }^3},\tau =\frac{(\dot{r}\times \ddot{r})\cdot \stackrel{...}{r}}{\Vert \dot{r}\times \ddot{r}{\Vert }^2}$$

分子の $\dot{r}\times \ddot{r}$ が両方に現れます。この外積の向きが $B$、大きさが曲率に効く。

$\tau$ の分子に 3 階微分が要ります。曲率が 2 階までで決まるのに対して、捩率は 1 段深いところを見ています。

例：ねじれ 3 次曲線

$r(t)=(t,t^2,t^3)$ で計算します。$\dot{r}=(1,2t,3t^2)$、$\ddot{r}=(0,2,6t)$、$\stackrel{...}{r}=(0,0,6)$。

外積は $\dot{r}\times \ddot{r}=(6t^2,-6t,2)$ です。内積をとると $(\dot{r}\times \ddot{r})\cdot \stackrel{...}{r}=12$。

$$\tau =\frac{12}{36t^4+36t^2+4}=\frac{3}{9t^4+9t^2+1}$$

$t=0$ では $\kappa =2$、$\tau =3$。$t$ を大きくすると両方 $0$ に近づき、遠くではほとんど直線に見えます。

曲線論の基本定理

ここまでは曲線から $\kappa$ と $\tau$ を作る向きでした。逆向きが成り立ちます^[1]。

区間 $I$ の上に $\kappa (s)>0$ と $\tau (s)$ が与えられたとき、それを曲率と捩率にもつ曲線が存在し、剛体運動を除いて一意である。

剛体運動とは、行列式が正の直交変換と平行移動の合成です^[1]。回して、動かす。鏡に映すのは含めません。

弧長も曲率も捩率も、剛体運動で変わりません^[1]。だから「除いて」という但し書きが必要になります。

証明は常微分方程式に落ちる

フレネ・セレの公式は、$3$ 本のベクトルに関する 1 階の連立常微分方程式です^[1]。

$\beta (s)=(T(s),N(s),B(s))$ を ${\mathbb{R}}^3\times {\mathbb{R}}^3\times {\mathbb{R}}^3$ の曲線と見ると、右辺は $\beta$ の線型式になります。

$$F(\beta )=(\kappa N,-\kappa T+\tau B,-\tau N)$$

$F$ は連続微分可能なのでリプシッツ連続です。初期条件を決めれば解が一意に決まる^[1]。

得られた $T$ を積分すれば曲線が出ます。存在も一意性も、常微分方程式の一般論だけで済みました。

全曲率

閉曲線について、曲率を 1 周ぶん足したものを全曲率といいます^[2]。

$${\int }_0^L\kappa (s)ds$$

読み替えができます。$T(s)$ は単位ベクトルなので、球面 $S^2$ 上の曲線になる。これを接線像といいます。

接線像の速さは $\Vert T^{\prime }(s)\Vert =\kappa (s)$ です。だから全曲率は、接線像の長さそのもの。

曲がった量を足すことと、球面上でどれだけ動いたかを測ることが、同じになりました。

フェンチェルの定理

閉曲線の全曲率には下限があります^[2]。

$3$ 次元空間の滑らかな単純閉曲線の全曲率は $2\pi$ 以上であり、等号が成り立つのは平面上の凸曲線のときに限る。

$1929$ 年の Fenchel の結果です^[2]。半径 $r$ の円で確かめると、$\kappa =1/r$、長さ $2\pi r$ なので全曲率はちょうど $2\pi$。

半径によりません。円ならどれでも下限にぴったり乗ります。

ファリー・ミルナーの定理

さらに強い主張があります^[2]。

単純閉曲線が結ばれているなら、その全曲率は $4\pi$ より大きい。

$1949$ 年に Fáry と Milnor が独立に証明しました。Fáry は $27$ 歳、Milnor はプリンストンの学部生で $18$ 歳でした^[2]。

対偶で読むと使いやすい。全曲率が $4\pi$ 以下なら、その曲線はほどけます。曲がりの総量という数値が、結び目かどうかを縛っています。

曲率は接ベクトルの回る速さ、捩率は接触平面の回る速さ。どちらも正規直交枠の回転の成分です。

曲がりとねじれ。この 2 つの関数だけで、空間の中の 1 本の線が決まります。

参考文献