添字の「上」と「下」をつなぐ計量テンソル - 上げ下げと縮約記法

添字が上に付くか下に付くかは飾りではありません。上は反変、下は共変で、座標を変えたときの動き方が逆になります。

その 2 つを行き来させる道具が計量テンソルです。 $v_{i} = g_{ij} v^{j}$ で下げ、 $v^{i} = g^{ij} v_{j}$ で上げる。

上げて下げれば元に戻ります。計量とその逆行列が、たがいに打ち消し合うためです。

線素が計量を決める

多様体の各点の接空間に内積を入れたものが計量テンソルです^[1]。 $2$ 階の対称共変テンソル場になります。

座標で書くと、微小な長さの $2$ 乗として現れます^[1,2]。

$d s^{2} = g_{ij} d x^{i} d x^{j}$

$g_{ij} = g_{j i}$ で、行列として非退化、つまり $det (g_{ij}) \neq = 0$ を課します^[1]。

正定値ならリーマン計量、符号が混ざるなら擬リーマン計量です^[1]。

例：3 つの座標系

デカルト座標では単位行列です。 $d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}$ 。

極座標では $d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2}$ で、対角に $1$ と $r^{2}$ が並びます^[2]。

球座標なら $d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} sin^{2} θ d φ^{2}$ 。対角成分は $1$ 、 $r^{2}$ 、 $r^{2} sin^{2} θ$ ^[2]。

同じ空間なのに成分が違います。計量は座標のとり方に応じて姿を変え、測る長さのほうが変わりません。

アインシュタインの縮約記法

$1916$ 年に Einstein が導入した約束です^[3]。積の中で同じ添字が $2$ 回現れたら、その添字について和をとる。

相対論では条件がもう 1 つ付きます。上と下に $1$ 回ずつ現れたときだけ和をとる^[3]。

$g_{ij} d x^{i} d x^{j} = i = 1 \sum n j = 1 \sum n g_{ij} d x^{i} d x^{j}$

$Σ$ を書かないだけの話ですが、位置の上下が意味を持つようになります。上下がそろわない式は、たいてい書き間違いです。

上と下で動き方が逆になる

座標をとり替えると、基底も成分も変わります。その変わり方が $2$ 通りに分かれ、上下の添字はその区別を表しています。

基底を細かくすると、同じ矢を表す成分は大きくなります。これが反変で、上の添字を付ける。

一方、等高線の束として測る量は、基底を細かくすると値が小さくなります。こちらが共変で、下の添字を付ける。

打ち消し合うので、 $v^{i} w_{i}$ のように上下を組ませた量だけが座標によらない数になります^[3]。

逆計量

$(g_{ij})$ は非退化なので逆行列があります。その成分を上の添字で書きます^[2,5]。

$g^{ik} g_{k j} = δ_{j}^{i}$

対角な計量なら、逆計量は各成分の逆数です。極座標なら $g^{r r} = 1$ 、 $g^{θ θ} = 1/ r^{2}$ 。

非対角があるときは、ふつうに行列を逆にします。 $2$ 次なら公式 1 本で済みます。

添字を下げる

ベクトル $v = v^{i} \partial_{i}$ に計量を当てると、 $1$ 形式が出ます^[4]。

$v_{i} = g_{ij} v^{j}$

写像としては $♭ : V \to V^{*}$ で、 $v^{♭} (w) = ⟨ v, w ⟩$ という定め方です^[4]。

デカルト座標では $g_{ij} = δ_{ij}$ なので、 $v_{i}$ と $v^{i}$ が同じ数になります。上下の区別が消えて見えるのはこのためです。

添字を上げる

逆向きは逆計量で行います^[2]。

$v^{i} = g^{ij} v_{j}$

こちらは $♯ : V^{*} \to V$ で、 $♭$ の逆写像です^[4]。

往復すると戻ります。 $g^{ij} g_{j k} v^{k} = δ_{k}^{i} v^{k} = v^{i}$ 。

例：極座標で上げ下げする

成分が $v^{r} = 2$ 、 $v^{θ} = 3$ のベクトルを、 $r = 5$ の点で考えます。

$g_{r r} = 1$ 、 $g_{θ θ} = 25$ なので、下げると次のようになる。

$v_{r} = 2, v_{θ} = 25 \times 3 = 75$

$θ$ 成分だけが $25$ 倍になりました。 $\partial_{θ}$ の長さが $r = 5$ で、その $2$ 乗が効いています。

上げ直すと $v^{θ} = (1/25) \times 75 = 3$ に戻ります。

$v^{θ}$ と $v_{θ}$ は数として別物です。同じ矢の別の読み方であって、片方を書けば済むわけではありません。

デカルト座標だけを見ていると同じに見えます。曲がった座標を 1 つ通すと、値が離れます。

内積と長さと角度

内積は上下を組ませて書きます^[1]。

$⟨ u, v ⟩ = g_{ij} u^{i} v^{j} = u_{i} v^{i} = u^{i} v_{i}$

$3$ 通りとも同じ値です。片方を下げてから縮約する、と読めます。

長さは $∥ v ∥ = g_{ij} v^{i} v^{j}$ 、角度は $cos ϑ = \frac{⟨ u , v ⟩}{∥ u ∥∥ v ∥}$ 。

上の極座標の例で長さを出すと $4 + 25 \times 9 = 229$ です。 $θ$ 成分の $3$ をそのまま足してはいけません。

テンソルでも同じ操作

添字が増えても、上げ下げは 1 本ずつ行います^[2]。

$T^{i}_{j} = g_{j k} T^{ik}, T^{ij} = g^{ik} g^{j l} T_{k l}$

どの添字を動かしたかを見失わないよう、位置をずらして $T^{i}_{j}$ と書きます。

計量そのものを上げ下げすると $g^{i}_{j} = δ_{j}^{i}$ になります。計量は上下の変換そのものだからです。

縮約

上と下に同じ添字を置いて和をとる操作を縮約といいます。階数が $2$ 下がります。

行列のトレースがその例です。 $T^{i}_{i}$ は座標によらない数になります。

曲率でも使います。リッチテンソルは曲率テンソルの縮約、スカラー曲率は $R = g^{ij} R_{ij}$ という形で出ます^[5]。

計量を挟んだ縮約は、下げてから潰すことと同じです。

体積要素

長さだけでなく体積も計量から出ます^[2]。

$d V = ∣ det g ∣ d x^{1} \dots d x^{n}$

デカルト座標では $det g = 1$ で、いつもの体積です。座標を曲げると、その分が $∣ det g ∣$ に集まります。

球座標なら $det g = r^{4} sin^{2} θ$ なので $det g = r^{2} sin θ$ 。積分でおなじみのヤコビアンと一致します。

極座標なら $det g = r^{2}$ で $det g = r$ 。 $d A = r d r d θ$ の $r$ がここから来ています。

符号が混ざる場合

相対論では、時間の向きだけ符号が逆になります^[2]。

$η = - 1 000 010000100001$

このミンコフスキー計量で添字を下げると、時間成分の符号が反転します。 $v_{0} = - v^{0}$ 、 $v_{i} = v^{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）。

内積が負にも $0$ にもなります。 $0$ でない $v$ で $⟨ v, v ⟩ = 0$ が起こるのは、光の進む向きです。

正定値ではないので、長さの概念が素直に働きません。それでも上げ下げの規則はそのまま使えます^[1]。

極座標で $v^{θ} = 3$ 、 $r = 2$ のとき、 $v_{θ}$ の値はどれですか。

$3$
$12$
$1.5$

__RESULT__

$g_{θ θ} = r^{2} = 4$ なので $v_{θ} = g_{θ θ} v^{θ} = 4 \times 3 = 12$ です。 $3$ のままだとデカルト座標と混同しており、 $1.5$ は逆計量を掛けた値になります。

まちがえやすい点

上下の添字を同じものとして扱う。デカルト座標以外では値が違います。

和の記号がないので和がないと思う。上下に同じ文字が来たら和をとります。

式の両辺で添字の上下がそろっていないまま進む。ほとんどの場合そこが誤りです。

長さを成分の 2 乗和で出す。

g_{ij} v^{i} v^{j}

を計算します。

体積要素の

∣ det g ∣

を忘れる。積分の値が変わります。

ミンコフスキー計量で符号を落とす。時間成分だけ上げ下げで符号が変わります。

計量を 1 つ決める。それだけで、上の添字と下の添字が同じ量の $2$ つの顔になります。

参考

Metric tensor. Encyclopedia of Mathematics.

Tenseur métrique. Wikipédia（フランス語）.

Einsteinsche Summenkonvention. Wikipedia（ドイツ語）.

Mark Hamilton, Uwe Semmelmann. *Vorlesungsskript Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten*. Universität Stuttgart, SS 13.

*Christoffel Symbols*. Differential Geometry 講義資料, Appalachian State University.

添字が上に付くか下に付くかは飾りではありません。座標を変えると、上の添字が付く成分は基底が細かくなるほど大きくなり、下の添字が付く成分は逆に小さくなる。この 2 つを $v_i = g_{ij}v^j$ と $v^i = g^{ij}v_j$ で行き来させる道具が計量テンソルです。極座標で $r = 5$、$v^\theta = 3$ なら $v_\theta = 75$。長さは $g_{ij}v^iv^j$ で測るので、成分の 2 乗和ではありません。同じ添字が上下に 1 回ずつ出たら和をとる。これがアインシュタインの縮約記法（1916 年）。体積要素の $\sqrt{|\det g|}$、球座標の $r^2\sin\theta$、ミンコフスキー計量での符号反転まで。