クリストッフェル記号（極座標からシュヴァルツシルトまで）を手で計算する

計量 $g_{ij}$ を書き下せば、クリストッフェル記号は決まった手順で出ます。逆行列を作り、偏微分して、3 つ足し引きするだけ。

$${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)$$

極座標なら ${\Gamma }_{\theta \theta }^r=-r$ と ${\Gamma }_{r\theta }^{\theta }=1/r$ の $2$ 種類だけ。実際に手を動かして確かめます。

どこに出てくる記号か

座標基底どうしの共変微分を書くと、その係数として現れます^[1]。

$${\nabla }_{{\partial }_i}{\partial }_j={\Gamma }_{ij}^k{\partial }_k$$

基底ベクトルを動かしたときのずれを、また基底で展開したものです。ずれが $0$ なら記号も $0$。

測地線方程式にも同じ記号が出ます^[4]。

$${\ddot{x}}^a+{\Gamma }_{bc}^a{\dot{x}}^b{\dot{x}}^c=0$$

$\Gamma =0$ なら ${\ddot{x}}^a=0$、つまり座標が時間の 1 次式になる。デカルト座標での直線です。

公式

計量とその 1 階偏導関数だけで書けます^[1,3,4,5]。

$${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}\left({\partial }_i{g}_{jl}+{\partial }_j{g}_{il}-{\partial }_l{g}_{ij}\right)$$

$g^{kl}$ は行列 $(g_{ij})$ の逆行列の成分です。$g^{kl}{g}_{lm}={\delta }_m^k$ を満たすもの^[1]。

括弧の中は $3$ 項。前 $2$ 項が $i$ と $j$ について対称で、最後の $1$ 項が引かれます。

添字を下げた形も使われます。${\Gamma }_{k,ij}=g_{kl}{\Gamma }_{ij}^l$ を第 1 種、${\Gamma }_{ij}^k$ を第 2 種と呼びます^[1]。

下の添字は対称

公式の括弧を見ると、$i$ と $j$ を入れ替えても値が変わりません^[3]。

$${\Gamma }_{ij}^k={\Gamma }_{ji}^k$$

捩れのないレビ・チビタ接続だからです^[2]。計量と両立し、捩れが $0$ という条件で接続がただ 1 つ決まります^[2]。

おかげで計算量が減ります。$n$ 次元なら独立な成分は $n\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ 個。$4$ 次元でも $40$ 個で、非零はもっと少ない^[5]。

テンソルではない

座標を変えたときの変わり方が、テンソルと違います^[1]。

$${\bar{\Gamma }}_{ij}^k={\Gamma }_{ab}^c\frac{\partial x^a}{\partial {\bar{x}}^i}\frac{\partial x^b}{\partial {\bar{x}}^j}\frac{\partial {\bar{x}}^k}{\partial x^c}+\frac{{\partial }^2{x}^c}{\partial {\bar{x}}^i\partial {\bar{x}}^j}\frac{\partial {\bar{x}}^k}{\partial x^c}$$

第 1 項はテンソルの変換則ですが、第 2 項に $2$ 階微分が入ります。これがあるためテンソルの成分になりません^[1]。

実害というより性質です。$1$ 点で $\Gamma =0$ になる座標がいつでもとれる、という便利さの裏返しになっています。

例：平面の極座標

まず線素を書きます。

$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$$

つまり $g_{rr}=1$、$g_{\theta \theta }=r^2$、非対角は $0$。逆行列は $g^{rr}=1$、$g^{\theta \theta }=1/r^2$。

偏微分で残るのは ${\partial }_r{g}_{\theta \theta }=2r$ の 1 つだけです。あとは全部 $0$。

$${\Gamma }_{\theta \theta }^r=-\frac{1}{2}{g}^{rr}{\partial }_r{g}_{\theta \theta }=-r,{\Gamma }_{r\theta }^{\theta }=\frac{1}{2}{g}^{\theta \theta }{\partial }_r{g}_{\theta \theta }=\frac{1}{r}$$

対称性から ${\Gamma }_{\theta r}^{\theta }$ も $1/r$。ほかは全部 $0$ です。

例：3 次元の球座標

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$ をとります。手順は同じです。

$g_{rr}=1$、$g_{\theta \theta }=r^2$、$g_{\phi \phi }=r^2{\sin }^2\theta$。偏微分は ${\partial }_r{g}_{\theta \theta }=2r$、${\partial }_r{g}_{\phi \phi }=2r{\sin }^2\theta$、${\partial }_{\theta }{g}_{\phi \phi }=2r^2\sin \theta \cos \theta$。

非零は $6$ 種類です。

$$\begin{array}{rl}& {\Gamma }_{\theta \theta }^r=-r,{\Gamma }_{\phi \phi }^r=-r{\sin }^2\theta \\ & {\Gamma }_{r\theta }^{\theta }=\frac{1}{r},{\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta \\ & {\Gamma }_{r\phi }^{\phi }=\frac{1}{r},{\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }=\cot \theta \end{array}$$

下の添字を入れ替えたものも同じ値です。${\Gamma }_{\theta r}^{\theta }$ や ${\Gamma }_{\phi \theta }^{\phi }$ を別に数えません。

例：半径 a の球面

$r=a$ に固定すると $d{s}^2=a^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$。$2$ 次元なので成分はさらに減ります。

$g_{\theta \theta }=a^2$、$g_{\phi \phi }=a^2{\sin }^2\theta$。$\theta$ で微分できるのは $g_{\phi \phi }$ だけ。

$${\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }=\cot \theta$$

半径 $a$ が消えました。$a$ が全体に掛かる定数なので、公式の $g^{kl}$ と $\partial g$ で打ち消し合います。

$\theta \to 0$ で $\cot \theta$ が発散します。極で座標が壊れているためで、球面自体はそこでも滑らかです。

例：ポアンカレ上半平面

$y>0$ で $d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$ とします。双曲平面のモデルです。

$g_{xx}=g_{yy}=1/y^2$ なので $g^{xx}=g^{yy}=y^2$。偏微分は ${\partial }_y{g}_{xx}={\partial }_y{g}_{yy}=-2/y^3$。

$${\Gamma }_{xy}^x=-\frac{1}{y},{\Gamma }_{xx}^y=\frac{1}{y},{\Gamma }_{yy}^y=-\frac{1}{y}$$

${\Gamma }_{xx}^x$ と ${\Gamma }_{xy}^y$ は $x$ 方向の偏微分だけを含むので $0$ です。計量が $x$ によらないためです。

例：シュヴァルツシルト計量

$f(r)=1-\frac{2M}{r}$ とおき、$d{s}^2=-fd{t}^2+f^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$ をとります。

$f^{\prime }=2M/r^2$ に注意して順に当てます。$t$ と $r$ に関わる成分から出ます。

$$\begin{array}{rl}& {\Gamma }_{tr}^t=\frac{f^{\prime }}{2f}=\frac{M}{r(r-2M)},{\Gamma }_{tt}^r=\frac{f{f}^{\prime }}{2}=\frac{M(r-2M)}{r^3}\\ & {\Gamma }_{rr}^r=-\frac{f^{\prime }}{2f}=-\frac{M}{r(r-2M)}\end{array}$$

角度の側は球座標とほとんど同じで、$f$ が 1 か所ずつ掛かります。

$$\begin{array}{rl}& {\Gamma }_{\theta \theta }^r=-(r-2M),{\Gamma }_{\phi \phi }^r=-(r-2M){\sin }^2\theta \\ & {\Gamma }_{r\theta }^{\theta }={\Gamma }_{r\phi }^{\phi }=\frac{1}{r},{\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }=\cot \theta \end{array}$$

$M\to 0$ で $f\to 1$ となり、平坦な球座標の値に戻ります。検算に使えます。

ラグランジアンから読む

対角でない計量では、公式に直接入れると項が増えます。実務では別の道が速い^[4]。

$$I=g_{ab}{\dot{x}}^a{\dot{x}}^b$$

これをラグランジアンと見て、オイラー・ラグランジュ方程式を立てます^[4]。

$$\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial I}{\partial {\dot{x}}^a}\right)-\frac{\partial I}{\partial x^a}=0$$

出てきた式を ${\ddot{x}}^a+{\Gamma }_{bc}^a{\dot{x}}^b{\dot{x}}^c=0$ と見比べると、${\dot{x}}^b{\dot{x}}^c$ の係数がそのまま ${\Gamma }_{bc}^a$ です^[4]。

逆行列を作らずに済みます。偏微分の回数も減ります。

例：ラグランジアンで球面を計算する

$I=a^2{\dot{\theta }}^2+a^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2$ とおきます。

$\theta$ について立てると、$\frac{d}{ds}(2a^2\dot{\theta })-2a^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\phi }}^2=0$。

整理して $\ddot{\theta }-\sin \theta \cos \theta {\dot{\phi }}^2=0$。測地線方程式と比べると ${\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta$ が読めます。

$\phi$ の側も同様で、$\ddot{\phi }+2\cot \theta \dot{\theta }\dot{\phi }=0$ から ${\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }=\cot \theta$。係数の $2$ は下の添字の対称性から来ています。

トレースは行列式で書ける

上の添字と下の添字を 1 つずつ縮約すると、簡単な形になります。

$${\Gamma }_{ik}^i=\frac{1}{2}{g}^{il}{\partial }_k{g}_{il}=\frac{1}{2}{\partial }_k\ln |\det g|={\partial }_k\ln \sqrt{|\det g|}$$

公式の第 1 項と第 3 項が $g^{il}$ の対称性で打ち消し、第 2 項だけが残ります。

計量の行列式さえ分かれば、この縮約は個別の成分を出さずに書ける。発散やラプラシアンを座標で書くときに使います。

測地線を解いてみる

極座標で ${\Gamma }_{\theta \theta }^r=-r$、${\Gamma }_{r\theta }^{\theta }=1/r$ を入れると、方程式は次の $2$ 本になります。

$$\begin{array}{rl}\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2& =0\\ \ddot{\theta }+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta }& =0\end{array}$$

見た目は曲がっていますが、答えは直線です。$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ に直すと $\ddot{x}=\ddot{y}=0$ に戻ります。

$\Gamma$ が $0$ でないのは、空間が曲がっているからではありません。座標の基底が場所で変わっているだけです。

つまずきやすいところ

計量を書く。逆行列を作る。偏微分して足し引きする。この 3 手で、どの座標系でも同じように出せます。

出典