形が違えば音も違うのか？ラプラス・ベルトラミ作用素からグラフラプラシアンまで

曲がった空間のラプラシアンは、計量の逆行列と行列式だけで書けます^[1,2]。

$$\Delta f=-\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\sqrt{|g|}{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\right)$$

極座標に入れれば $\frac{1}{r}{\partial }_r(r{\partial }_{r}f)$ の形が出ます。グラフの上では $L=D-W$ という行列になる。同じ作用素の顔です。

平坦な場合の復習

${\mathbb{R}}^n$ の標準計量では、$g^{ij}={\delta }^{ij}$、$\sqrt{|g|}=1$ です。上の式は次に戻ります^[1]。

$$\Delta f=-\sum _i\frac{{\partial }^{2}f}{\partial (x^i{)}^2}$$

符号にマイナスが付いています。リーマン幾何では $\Delta$ を正の作用素として扱う約束です^[1]。

解析の教科書では逆符号で書きます。固有値の符号がひっくり返るだけなので、どちらを使うかを最初に決めておきます。

定義そのもの

もとの定義は $\Delta f=-\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)$ です^[1]。

外微分と余微分で書くと $\Delta f=d^{\ast }df=-\ast d\ast df$ になります^[1]。ヘッセ行列のトレースでも書けて、$\Delta f=-\mathrm{tr}(\mathrm{Hess}f)$。

微分形式に広げたホッジ・ラプラシアン $d\delta +\delta d$ を $0$ 形式に制限したものが、この作用素です^[4]。

座標での式を組む

手順は $3$ 段です。計量の逆行列 $g^{ij}$ を出し、行列式の平方根 $\sqrt{|g|}$ を出し、上の式に入れる。

対角な計量なら、逆行列は各成分の逆数、行列式は対角成分の積です。ほとんどの例はこれで終わります。

$\sqrt{|g|}$ は体積要素と同じ量です。座標のセルがどれだけ伸びているかを表しています。

例：平面の極座標

$g_{rr}=1$、$g_{\theta \theta }=r^2$ なので $g^{rr}=1$、$g^{\theta \theta }=1/r^2$、$\sqrt{|g|}=r$。

入れると次のようになります。

$$\Delta f=-\frac{1}{r}\left[\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)\right]$$

展開すると $-\left(f_{rr}+\frac{1}{r}{f}_r+\frac{1}{r^2}{f}_{\theta \theta }\right)$。よく見る形です。

第 $2$ 項の $1/r$ が、$\sqrt{|g|}=r$ から出ています。座標を曲げたぶんの補正です。

例：3 次元の球座標

$\sqrt{|g|}=r^2\sin \theta$、$g^{rr}=1$、$g^{\theta \theta }=1/r^2$、$g^{\phi \phi }=1/(r^2{\sin }^2\theta )$。

$$\Delta f=-\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{\partial }_{r}f)-\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta {\partial }_{\theta }f)-\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{\partial }_{\phi }^{2}f$$

$r$ を止めると、後ろの $2$ 項が単位球面のラプラシアンになります。前の $1$ 項が半径方向。

この分解が、変数分離で球面調和関数が出てくる仕組みです。

自己随伴で正

コンパクトで境界がない場合、$\Delta$ は $L^2$ 内積について自己随伴で、しかも正です^[1]。

$$(\Delta f,h)=(f,\Delta h),(\Delta f,f)\ge 0$$

$(\Delta f,f)=\Vert \mathrm{grad}f{\Vert }^2$ から出ます。等号は $f$ が定数のときだけ。

$2$ 階の楕円型作用素なので、コンパクト多様体ではスペクトルが離散になります^[1]。固有値は有限重複度を持ち、固有関数が完全正規直交系を作る。

固有値を小さい順に $0={\lambda }_0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots$ と並べられます。

例：球面のスペクトル

標準計量の $S^n$ では、固有値が完全に分かります^[1]。

$$\mathrm{spec}(S^n)=\{k(n+k-1)\mid k=0,1,2,\dots \}$$

固有関数は ${\mathbb{R}}^{n+1}$ の $k$ 次斉次調和多項式を球面に制限したものです^[1]。$n=2$ なら球面調和関数。

重複度も数えられます^[1]。

$$\dim {\tilde{\mathcal{H}}}_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-2}{k-2}\right)$$

計量を $c$ 倍すると固有値は $1/c$ 倍になります。半径 $a$ の球面なら $k(n+k-1)/a^2$ です^[1]。

例：平坦トーラスのスペクトル

$T_{\Gamma }={\mathbb{R}}^n/\Gamma$ に平坦な計量を入れます。$\Gamma$ は階数 $n$ の格子です^[1]。

双対格子を次で定めます^[1]。

$${\Gamma }^{\ast }=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid ⟨x,y⟩\in \mathbb{Z}\forall y\in \Gamma \}$$

$x\in {\Gamma }^{\ast }$ に対して $f_x(y)=e^{2\pi i⟨x,y⟩}$ がトーラス上の関数になります。これが固有関数です^[1]。

$$\Delta f_x=4{\pi }^2\Vert x{\Vert }^2{f}_x$$

スペクトルは双対格子のベクトルの長さで決まります。格子の形が、そのまま音の高さの表に化ける。

形は聞こえるか

スペクトルが同じなら形も同じか、という問いが立ちます。答えは否です。

Milnor が反例を作りました^[1]。次元 $16$ 以上のすべての次元で、同スペクトルだが等長でない平坦トーラスの組が存在します。

鍵は双対格子です。$2$ つのトーラスが同スペクトルであることは、原点まわりのどの球にも ${\Gamma }_1^{\ast }$ と ${\Gamma }_2^{\ast }$ の元が同数入ることと同値になります^[1]。

$\Gamma (8)\oplus \Gamma (8)$ と $\Gamma (16)$ という $2$ つの格子が、その条件を満たしながら等長にならない^[1]。音は同じでも形が違う例です。

グラフの上のラプラシアン

離散の側にも同じ名前の作用素があります^[3]。

頂点に重み付きの辺があるグラフで、隣接行列を $W$、次数を対角に並べた行列を $D$ とします。

$$L=D-W$$

これが非正規化グラフラプラシアンです^[3]。$n\times n$ の行列で、対称かつ半正定値になります。

二次形式が本質です^[3]。

$$f^{\mathsf{T}}Lf=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{w}_{ij}(f_i-f_j{)}^2$$

隣り合う頂点での値の差を、重みを付けて足した量。連続の側で $(\Delta f,f)=\Vert \mathrm{grad}f{\Vert }^2$ だったものと同じ役割です。

固有値 0 が数えるもの

$L$ の最小固有値は $0$ で、対応する固有ベクトルは全成分が $1$ のベクトルです^[3]。

もっと強い主張があります。固有値 $0$ の重複度は、グラフの連結成分の個数に等しい^[3]。

固有空間は、各成分の指示ベクトルが張ります。連続の側で、調和 $0$ 形式の次元が連結成分の数だったのと同じ形です^[4]。

離散でも連続でも、$0$ 固有値がつながり方を数えている。

正規化ラプラシアン

次数がばらつくときは、正規化した形を使います^[3]。

$$L_{\mathrm{sym}}=D^{-1/2}L{D}^{-1/2}=I-D^{-1/2}W{D}^{-1/2},L_{\mathrm{rw}}=D^{-1}L=I-D^{-1}W$$

$L_{\mathrm{rw}}$ はランダムウォークに対応します。$L_{\mathrm{rw}}$ の固有値問題は、一般化固有値問題 $Lu=\lambda Du$ と同じ^[3]。

$L_{\mathrm{sym}}$ の二次形式にも、差の形が残ります^[3]。

$$f^{\mathsf{T}}{L}_{\mathrm{sym}}f=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{w}_{ij}{\left(\frac{f_i}{\sqrt{d_i}}-\frac{f_j}{\sqrt{d_j}}\right)}^2$$

スペクトラルクラスタリング

小さいほうの固有値に属する固有ベクトルを並べ、その座標で点をクラスタに分ける。これがスペクトラルクラスタリングです^[3]。

固有値 $0$ が連結成分を数えるので、$0$ に近い固有値は「ほとんど切れている」場所を拾います。

弱い辺をまたぐ差は二次形式にほとんど効きません。だから固有ベクトルはそこで符号を変え、切れ目を教えてくれる。

曲面の上の振動が節線で分かれるのと、同じ理屈です。

書き下した式を確かめる

書き下した式が正しいかどうかは、$3$ つの当て方で確かめられます。

定数関数に当てて $0$ になるか見ます。$\Delta 1=0$ が成り立たなければ、どこかで符号か係数を落としています。

平坦な場合に戻るか見ます。極座標の式で $\theta$ に依存しない関数を入れると、$-(f_{rr}+f_r/r)$ が残る。これは $1$ 次元の動径方向の式です。

既知の固有関数を入れる手もあります。トーラスで $e^{2\pi i⟨x,y⟩}$ を入れて $4{\pi }^2\Vert x{\Vert }^2$ が出れば、係数がそろっています。

計量の行列式と逆行列。この $2$ つを出せば、曲がった空間でもグラフの上でも、同じ作用素が書けます。

参考