微分形式の次数が星印ひとつで裏返る〜ホッジ双対と調和形式

微分形式には外微分 $d$ しかありませんでした。次数を 1 つ上げる方向だけです。

計量を入れると、次数を 1 つ下げる $\delta$ が現れます。この 2 つを組み合わせたラプラシアンの核をとると、コホモロジーの各類にただ 1 つの代表元が決まる^[1]。

出発点はホッジ双対です。$p$ 形式を $n-p$ 形式に移す線型同型から始めます。

形式に内積を入れる

計量があると、各点の余接空間 $T_p^{\ast }M$ に内積が入ります。これを ${\Lambda }^p$ へ広げる方法は素直です^[2]。

正規直交基底 $\{e^i\}$ をとり、$e^{i_1}\wedge \cdots \wedge e^{i_p}$（添字は増加列）を正規直交基底と決める。これで $p$ 形式の空間に内積が入ります。

分解できる形式では、行列式の形にもなります。

$$⟨{\alpha }_1\wedge \cdots \wedge {\alpha }_p,{\beta }_1\wedge \cdots \wedge {\beta }_p⟩=\det \left(⟨{\alpha }_i,{\beta }_j⟩\right)$$

向きも決めておくと、体積形式 $\mathrm{vol}=e^1\wedge \cdots \wedge e^n$ が 1 つ定まります^[2]。

ホッジ双対

内積と体積形式がそろうと、次の性質で線型同型がただ 1 つ決まります^[2]。

$$\ast :{\Lambda }^p\to {\Lambda }^{n-p},\alpha \wedge \ast \beta =⟨\alpha ,\beta ⟩\mathrm{vol}$$

両辺とも $n$ 形式なので、比べられます。$\alpha \wedge \ast \beta$ が内積を測る、という約束で $\ast$ が定まる。

基本の値は次のとおりです。$\ast 1=\mathrm{vol}$、$\ast \mathrm{vol}=1$。正規直交基底では、選んだ添字の補集合が現れます^[2]。

2 回かけると符号だけが残ります。

$${\ast }^2=(-1{)}^{p(n-p)}\mathrm{Id}$$

例：平面では 90 度の回転

${\mathbb{R}}^2$ で計算します。基底を $dx,dy$ とすると、次のようになる^[1]。

$$\ast 1=dx\wedge dy,\ast dx=dy,\ast dy=-dx,\ast (dx\wedge dy)=1$$

$dx$ を $\hat{i}$、$dy$ を $\hat{j}$ と読み替えると、$\ast$ は反時計まわりの 90 度回転そのものです^[1]。

$1$ 形式に 2 回かけると $-1$。$p=1$、$n=2$ を符号の式に入れた値と合っています。

例：3 次元では面と法線

${\mathbb{R}}^3$ では、$1$ 形式と $2$ 形式が向かい合います^[1]。

$$\ast dx=dy\wedge dz,\ast dy=dz\wedge dx,\ast dz=dx\wedge dy$$

$2$ 形式の側から戻すと $\ast (dy\wedge dz)=dx$ です。$\ast 1=dx\wedge dy\wedge dz$、$\ast (dx\wedge dy\wedge dz)=1$。

ベクトルで読むと、$\ast$ は外積と同じ働きをします。2 本のベクトルが張る面に、法線を対応させている^[1]。

ベクトル解析が戻ってくる

$3$ 次元では、$d$ と $\ast$ の組み合わせが rot と div になります^[2]。

$$d{X}^{♭}=\ast (\mathrm{rot}X{)}^{♭},d\ast X^{♭}=\ast \mathrm{div}X$$

$X^{♭}$ は計量でベクトル場を $1$ 形式に直したものです。$d$ を当てる場所が違うだけで、両方が出てきます。

ここから $d\circ d=0$ の言い替えが 2 本手に入る^[2]。

$$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=0,\mathrm{div}(\mathrm{rot}X)=0$$

逆向きも同じです。$1$ 次のド・ラームコホモロジーが消える開集合では、$\mathrm{rot}X=0$ から $X=\mathrm{grad}f$ が出ます^[2]。

余微分

$\ast$ を使うと、次数を下げる作用素が作れます^[2]。

$$\delta =-\ast d\ast$$

これを余微分といいます。$\delta \circ \delta =0$ も $d\circ d=0$ から従う。

ベクトル場の言葉では発散にあたります。$\mathrm{div}X=-\delta X^{♭}$ という形^[2]。

局所正規直交基底では、$d$ と対になる形にも書けます。$d\omega ={\sum }_i{e}^i\wedge {\nabla }_{e_i}\omega$ に対して $\delta \omega =-{\sum }_i{e}_i┘{\nabla }_{e_i}\omega$ です^[2]。

随伴になっている

コンパクトで向き付けできる多様体では、形式の空間に $L^2$ 内積が入ります^[2]。

$$(\alpha ,\beta )={\int }_M⟨\alpha ,\beta ⟩\mathrm{vol}$$

このとき $\delta$ は $d$ の形式的随伴になります^[1,2]。

$$(d\alpha ,\beta )=(\alpha ,\delta \beta )$$

証明はストークスの定理から出ます。${\int }_{M}d(\alpha \wedge \ast \beta )=0$ を左右に展開して比べるだけ^[1]。

ラプラシアン

$d$ と $\delta$ を組んで、次数を変えない作用素を作ります^[1,2]。

$$\Delta =d\delta +\delta d$$

関数に当てると、よく知られた形になります。$\Delta f=\delta df=-\ast d\ast df$ で、平坦な空間では $-{\sum }_i{\partial }^{2}f/\partial x_i^2$ です^[2]。

リーマン幾何では解析と符号が逆向きになる約束です。ここでは $\Delta$ が正の作用素になる側をとります^[2]。

$\Delta$ は形式的自己随伴です。上の随伴関係から $(\Delta \alpha ,\beta )=(\alpha ,\Delta \beta )$ が出る^[1]。

調和形式

$\Delta \omega =0$ を満たす形式を調和形式といいます^[4]。

コンパクトなら、条件が 2 つに割れます。内積をとるだけで示せる^[1]。

$$0=(\Delta \omega ,\omega )=(\delta \omega ,\delta \omega )+(d\omega ,d\omega )$$

右辺は $2$ つとも $0$ 以上です。和が $0$ なら両方 $0$ で、$d\omega =0$ かつ $\delta \omega =0$。

閉じていて、同時に余閉じている。調和とはこの状態です。

例：調和 0 形式は定数

$0$ 形式は関数です。$\delta$ は $0$ 形式で消えるので、条件は $df=0$ だけになります^[1]。

連結なら $f$ は定数。連結成分がいくつかあれば、成分ごとに値を選べます。

だから調和 $0$ 形式の空間の次元は連結成分の個数です。$b_0$ の意味がそのまま出ています。

ホッジ分解

調和形式の空間 $H^p$ は有限次元です^[1]。ラプラシアンが楕円型であることから出ます。

そのうえで、形式の空間が 2 つに割れます^[1]。

$${\Omega }^p(M)=\Delta ({\Omega }^p)\oplus H^p$$

コンパクトなリーマン多様体での直交直和です。ホッジ分解と呼ばれます。

$\Delta =d\delta +\delta d$ を開くと、$3$ つに分けた形にもなります。完全な部分、余完全な部分、調和な部分の直交和です。

ホッジの定理

分解から、目当ての主張が出ます^[1]。

ド・ラームコホモロジーのどの類にも、調和な代表元がただ 1 つ存在する。

存在は分解から出ます。閉形式 $\alpha$ を分けると $\alpha =d\delta G\alpha +H\alpha$ となり、差が完全形式なので同じ類に入る^[1]。

一意性も短い。同じ類の調和形式 $\alpha$ と ${\alpha }^{\prime }=\alpha +d\beta$ を比べると、$(d\beta ,\alpha -{\alpha }^{\prime })=0$ と $d\beta ={\alpha }^{\prime }-\alpha$ から $d\beta =0$ が出ます^[1]。

つまり $H^p\cong H_{dR}^p(M)$。位相の不変量が、微分方程式の解の空間として実現されました^[4]。

各類でいちばん短い形式

一意性には別の読み方があります。類の中で $L^2$ ノルムが最小の形式が、調和代表元です。

類は $\alpha +d\beta$ という平行移動した部分空間です。調和形式は完全形式と直交するので、原点から下ろした垂線の足にあたる。

垂線の足はただ 1 つ。一意性が幾何の言葉に化けました。

ベッチ数が有限になる

$H^p$ が有限次元だったので、$b_p=\dim H_{dR}^p(M)$ も有限です^[1]。

コンパクトな多様体のベッチ数が有限だという事実が、楕円型作用素の性質から出てきました。位相の主張を解析が支えている形です。

例：平坦トーラスの 1 形式

$T^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$ に平坦な計量を入れます。定数係数の $1$ 形式 $d{x}^i$ を見ます。

$d(d{x}^i)=0$ はすぐ分かる。$\ast d{x}^i$ も定数係数の $(n-1)$ 形式なので $d\ast d{x}^i=0$ で、$\delta d{x}^i=-\ast d\ast d{x}^i=0$ です。

閉じていて余閉じているので、$d{x}^i$ は調和。$n$ 本が独立なので $b_1(T^n)\ge n$ が言えます。

ポアンカレ双対性が見える

$\ast$ は調和形式を調和形式へ送ります。$\delta =-\ast d\ast$ と ${\ast }^2=\pm \mathrm{Id}$ から確かめられる。

$\omega$ が調和なら $d\omega =0$ と $\delta \omega =0$。すると $\delta (\ast \omega )$ は $\ast d\omega$ の定数倍で $0$、$d(\ast \omega )$ は $\ast \delta \omega$ の定数倍でやはり $0$ です。

だから $\ast :H^p\to H^{n-p}$ が同型になります。ホッジの定理と合わせると $b_p=b_{n-p}$。

ポアンカレ双対性が、$\ast$ という 1 本の線型写像として目に見える形になりました。

ボホナー公式

$1$ 形式では、ラプラシアンが接続のラプラシアンと曲率に分かれます^[3]。

$$(d\delta +\delta d)\omega ={\nabla }^{\ast }\nabla \omega +\mathrm{Ric}(\omega )$$

ボホナー公式と呼ばれます。左辺はコホモロジーを測る作用素、右辺の第 2 項は曲率そのもの。

この等式のおかげで、曲率の符号がベッチ数を縛れます。曲率と位相が 1 行でつながる場所です。

例：リッチ曲率が正なら b1 は 0

コンパクトで $\mathrm{Ric}>0$ とします。調和 $1$ 形式 $\omega$ に上の式を当て、$\omega$ との内積をとる。

左辺は $0$、右辺は $\Vert \nabla \omega {\Vert }^2$ と正の項の和になります。両方 $0$ でなければならず、$\omega =0$^[3]。

調和 $1$ 形式が $0$ しかないので $b_1(M)=0$ です。リッチ曲率が非負なら、調和 $1$ 形式は平行になります^[3]。

ボネ・マイヤースの定理が直径を押さえたのと同じ方向の主張です。こちらは $1$ 次のベッチ数を押さえている。

計量の選び方によらない部分

$\ast$ も $\delta$ も $\Delta$ も、計量を選ばないと決まりません。調和形式が何かは計量ごとに変わります。

それでも次元は変わらない。$H^p$ の次元がコホモロジーの次元に等しいので、計量の選び方から独立です^[1]。

代表元は動くのに、部屋の広さは動かない。ホッジの定理はそう読めます。

計量を 1 つ入れる。それだけで、コホモロジーの各類に住所がひとつ決まりました。

出典