リー群の掛け算はリー代数の括弧と指数写像でほぼ復元できる

回転の全体 $SO(3)$ は $3$ 次元の曲がった空間ですが、その形をほとんど決めているのは単位元での接空間、たった $3$ 次元のベクトル空間です。

そこに掛け算はありません。代わりに括弧 $[\xi ,\eta ]$ という積が 1 つ入るだけ。それでも群のかなりの部分が復元できます^[1]。

曲がった対象を平らな対象に置き替える仕掛けを、左移動から順に見ていきます。

群であり多様体でもある

$G$ が群であり、同時に多様体であって、積 $(g_1,g_2)\mapsto g_1{g}_2$ と逆元 $g\mapsto g^{-1}$ が滑らかなとき、$G$ をリー群といいます^[1]。

最初の例は一般線型群 $GL(n,\mathbb{R})=\{A\in {\mathrm{Mat}}_n(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}$ です。$\det$ が連続なので、これは ${\mathrm{Mat}}_n(\mathbb{R})\cong {\mathbb{R}}^{n^2}$ の開集合。

円周 $S^1$ は複素数の絶対値 $1$ の全体で、掛け算について群になります。トーラス $T^n$ はその直積。

回転群 $SO(n)$、ユニタリ群 $U(n)$、行列式 $1$ の $SL(n,\mathbb{R})$ も同じ枠に入ります。どれも $GL$ の閉部分群です。

左移動で全体が単位元に重なる

$a\in G$ を固定して、$L_a(g)=ag$ と $R_a(g)=ga$ を考えます。どちらも微分同相で、逆写像は $L_{a^{-1}}$ と $R_{a^{-1}}$^[1]。

微分をとると、接空間どうしの同型 $T_e{L}_a:\mathfrak{g}\to T_{a}G$ が得られます。ここで $\mathfrak{g}=T_{e}G$ と書きました。

これを全点で集めると、接束そのものが直積になります。

$$G\times \mathfrak{g}\to TG,(g,\xi )\mapsto (T_e{L}_g)(\xi )$$

左自明化と呼ばれる同型です。リー群の接束はいつでも自明で、どのリー群も平行化可能。

左不変ベクトル場

ベクトル場 $X$ が、すべての $a\in G$ について左移動と可換なとき、$X$ を左不変といいます^[1]。

左不変な場は、単位元での値だけで決まります。$X_g=(T_e{L}_g)(X_e)$ と書けるので、$X\mapsto X_e$ が全単射になる。

$${\mathfrak{X}}^L(G)\to \mathfrak{g},X\mapsto X_e$$

逆に $\xi \in \mathfrak{g}$ から左不変な場 ${\xi }^L$ が 1 つ決まります。無限次元だったベクトル場の空間が、有限次元に落ちました。

括弧が閉じる

左不変な場どうしのリー括弧は、また左不変です^[1]。関係づけられた場の括弧が、また関係づけられているからです。

だから ${\mathfrak{X}}^L(G)$ は $\mathfrak{X}(G)$ の部分リー代数になります。上の全単射で $\mathfrak{g}$ へ移せば、$\mathfrak{g}$ 自身に括弧が入る。

$$[\xi ,\eta ]:=[{\xi }^L,{\eta }^L{]}_e$$

こうして得た $\mathfrak{g}=T_{e}G$ を、$G$ のリー代数と呼びます。有限次元のベクトル空間に、双線型で反対称、ヤコビ律を満たす積が 1 つ載った形です。

右不変な場で同じことをすると、符号だけが変わった括弧が出ます^[1]。

例：行列群の括弧は交換子

$G\subseteq GL(n,\mathbb{R})$ なら、括弧は行列の交換子そのものになります^[1]。

$$[\xi ,\eta ]=\xi \eta -\eta \xi$$

理由は群の交換子を展開すると見えます。$\exp$ を行列の指数関数として、4 つを掛けてテイラー展開する。

$$\exp (t\xi )\exp (t\eta )\exp (-t\xi )\exp (-t\eta )=I+t^2(\xi \eta -\eta \xi )+O(t^3)$$

$1$ 次の項は打ち消し合い、$2$ 次で交換子が残ります。群として交換するかどうかのずれが、括弧としてそのまま現れる。

1 パラメータ部分群

リー群の射 $\gamma :\mathbb{R}\to G$ を $1$ パラメータ部分群といいます^[1]。単射である必要はありません。

左不変な場には、うれしい性質があります。${\xi }^L$ はいつでも完備で、$e$ を通る積分曲線 ${\gamma }^{\xi }$ がちょうど $1$ パラメータ部分群になる^[1]。

流れは右移動で書けます。${\Phi }_t^{\xi }(g)=g{\gamma }^{\xi }(-t)$ という形です。

逆向きも成り立ちます。$1$ パラメータ部分群はすべて、ある $\xi$ の ${\gamma }^{\xi }$ の形をしている^[1]。$\xi =\dot{\gamma }(0)$ をとればよい。

指数写像

ここで写像を 1 つ定めます^[1,4]。

$$\exp :\mathfrak{g}\to G,\exp (\xi )={\gamma }^{\xi }(1)$$

${\gamma }^{s\xi }(t)={\gamma }^{\xi }(st)$ が成り立つので、${\gamma }^{\xi }(t)=\exp (t\xi )$ と書き直せます。直線 $t\xi$ が群の中の道に化ける。

平らなベクトル空間から曲がった群への写像です。リー代数から群を復元する道具になります。

例：行列群では行列の指数関数

$G\subseteq GL(n,\mathbb{R})$ のとき、この $\exp$ はよく知られた級数と一致します^[1]。

$$\exp (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{\xi }^n$$

$GL(n,\mathbb{R})$ で確かめれば十分です。この級数が $1$ パラメータ部分群を与え、$t=0$ での微分が $\xi$ になる。

部分群への制限は、包含写像に $\exp$ の関手性を当てれば出ます。行列の指数関数が $\mathfrak{g}$ を $G$ の中へ送る、という主張にもなっています^[1]。

例：回転群で計算する

$SO(2)$ のリー代数は $2\times 2$ の反対称行列全体です。基底を 1 つとります。

$$\xi =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\exp (t\xi )=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$$

${\xi }^2=-I$ なので、級数が三角関数の級数に分かれます。角度 $t$ の回転が出てきました。

$\mathfrak{so}(3)$ でも同じで、反対称行列が回転の軸と速さを表します。括弧はベクトルの外積に対応する。

原点のまわりでは微分同相

$\exp$ の $0$ での微分は恒等写像です^[1]。

$$T_0\exp =\mathrm{id}$$

計算は 1 行で済みます。$\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\exp (t\xi )=\xi$ が定義そのものだからです。

逆関数定理から、$0$ のまわりの近傍 $U$ で $\exp$ が微分同相になる。$U$ の座標をそのまま群の座標に使えます^[4]。

これが標準座標です。単位元のそばでは、群がリー代数と区別できません。

例：遠くでは全射とは限らない

$0$ から離れると事情が変わります。$\exp :\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\to SL(2,\mathbb{R})$ は全射ではありません^[1]。

$$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$

この行列は像に入りません。$\exp (B)$ の形なら $B$ の固有値がどうなるかを追うと、矛盾が出ます。

一方で $SU(n)$、$SO(n)$、$U(n)$ では全射になります^[1]。コンパクトで連結なリー群なら、いつでも全射です。

コンパクトかどうかで結果が分かれています。曲がった空間を平らな空間から覆いつくせるかどうか、という問題です。

交換すれば足せる

指数法則は無条件には成り立ちません。成り立つのは括弧が消えるときだけ^[1]。

$$[\xi ,\eta ]=0⟹\exp (\xi +\eta )=\exp (\xi )\exp (\eta )$$

括弧が $0$ なら流れが交換し、合成した流れが ${\xi }^L+{\eta }^L$ の流れになる。だから足し算がそのまま積に移ります。

交換しない場合は、細かく刻めば近づきます。リーの積公式です^[1]。

$$\exp (\xi +\eta )=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\exp \left(\frac{1}{n}\xi \right)\exp \left(\frac{1}{n}\eta \right)\right)}^n$$

随伴表現

群が自分自身に共役で作用します。$C_a(g)=ag{a}^{-1}$ は微分同相で、単位元を単位元へ送る^[5]。

そこで単位元での微分をとると、リー代数の線型変換が得られます。

$${\mathrm{Ad}}_a:=(T_e{C}_a):\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$$

${\mathrm{Ad}}_{a_1{a}_2}={\mathrm{Ad}}_{a_1}{\mathrm{Ad}}_{a_2}$ が成り立つので、$\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ は群の準同型。これを随伴表現といいます^[2,5]。

行列群では形が簡単です。${\mathrm{Ad}}_g(\xi )=g\xi g^{-1}$ になります^[2,5]。

ad は括弧そのもの

$\mathrm{Ad}$ をもう一度微分すると、リー代数の側の作用が出ます^[2]。

$$\mathrm{ad}:=T_e\mathrm{Ad}:\mathfrak{g}\to \mathrm{End}(\mathfrak{g}),{\mathrm{ad}}_{\xi }(\eta )=[\xi ,\eta ]$$

括弧そのものが $\mathrm{ad}$ です。$\mathrm{Ad}$ の核は中心を含み、$\mathrm{ad}$ の核はリー代数の中心になります^[5]。

${\mathrm{ad}}_{\xi }$ はヤコビ律から微分になります。この視点だと、リー代数の構造がそのまま自己準同型の言葉に翻訳される^[1]。

部分リー環から部分群を作る

リー代数の部分環 $\mathfrak{h}\subseteq \mathfrak{g}$ をとります。$\exp \mathfrak{h}$ が生成する部分群 $H$ には、リー群になる多様体構造がただ 1 つ入ります^[3]。

作り方はフロベニウスの定理です。$E_g=(T_e{L}_g)\mathfrak{h}$ で分布を作ると、$\mathfrak{h}$ が部分環であることが対合性そのもの。

だから $E$ は葉層を定め、単位元を通る葉が $H$ になります。部分環と連結部分群が 1 対 1 に対応する^[3]。

$H$ は単射はめ込みですが、埋め込みとは限りません。$t\mapsto (e^{it},e^{i\lambda t})$ で $U(1)\times U(1)$ に入る部分群は、$\lambda$ が無理数なら稠密になります^[1]。

閉じていれば埋め込み

逆に、位相として閉じている部分群なら話が単純になります^[1]。

リー群 $H$ の閉部分群 $G$ は、埋め込まれた部分多様体であり、リー部分群である。閉部分群定理と呼ばれます。

準同型の核、中心、正規化群、中心化群はどれも閉部分群です。だから確かめなくてもリー部分群になっている^[1]。

連続性についても同じ形の主張があります。リー群のあいだの群準同型は、連続でありさえすれば自動的に滑らか^[1]。

両側不変な計量

$\mathfrak{g}$ に内積を 1 つ入れ、左移動で全体へ配ると左不変な計量ができます。それが右移動でも不変になる条件は、内積が $\mathrm{Ad}$ 不変であること^[2]。

コンパクトな行列群では必ず作れます。$B(\xi ,\eta )=\mathrm{Tr}({\xi }^{\mathsf{T}}\eta )$ が $O(n)$ の部分群で $\mathrm{Ad}$ 不変になるためです^[2]。

両側不変な計量があると、レビ・チビタ接続が括弧だけで書けます。

$${\nabla }_{X}Y=\frac{1}{2}[X,Y]$$

左不変な場 $X$ については ${\nabla }_{X}X=0$。つまり ${\xi }^L$ の積分曲線が測地線になります^[2]。

2 つの指数写像が一致する

多様体には測地線から決まる指数写像もありました。リー群では、群の指数写像と一致するとは限りません^[2]。

一致するのは計量が両側不変なときです。そのとき測地線は $t\mapsto g\exp (t\xi )$ の形に限られます^[2]。

左不変なだけでは足りません。$SL(2,\mathbb{R})$ に左不変計量を入れた例では、$1$ パラメータ部分群が測地線にならない場合があります^[2]。

断面曲率が括弧で書ける

両側不変な計量では、曲率テンソルまで括弧で表せます^[2]。

$$h(R(X,Y)Z,W)=-\frac{1}{4}h([X,Y],[Z,W])$$

$\xi$ と $\eta$ が平面 $\sigma$ の正規直交基底なら、断面曲率が次の形になる。

$$K(\sigma )=\frac{1}{4}\Vert [\xi ,\eta ]{\Vert }^2$$

いつでも $0$ 以上です。両側不変な計量を持つリー群に、負の断面曲率は現れません^[2]。

例：SU(2) は半径 1 の球面

$\mathfrak{su}(2)$ の基底 $I,J,K$ を $[I,J]=2K$、$[J,K]=2I$、$[K,I]=2J$ となるようにとります^[2]。

これを正規直交基底とする計量は両側不変です。上の公式に入れると、どの平面でも $K(\sigma )=1$。

すべての断面曲率が $1$ なので、標準的な $S^3$ と等長です。群としての構造から、球面の計量がそのまま出てきました^[2]。

括弧が大きいほど曲率が大きい。可換群では括弧が消えて、曲率も $0$ になります。

補足：どこまで戻せるか

リー代数から群を復元する向きには、条件が付きます。

有限次元の実リー代数に対して、それをリー代数とする連結かつ単連結なリー群がただ 1 つ存在します^[1]。リーの第 3 定理です。

単連結でないと対応が崩れます。リー代数の表現はまず普遍被覆の表現になり、もとの群まで降りるとは限らない^[1]。

$SU(2)$ の ${\mathbb{C}}^2$ 上の定義表現がその例です。括弧の計算では何も起こらないのに、群の側で降りません^[1]。

行列を並べて交換子をとる。それだけの計算で、曲率まで届きました。

参考文献