ガウス曲率は第一基本形式と第二基本形式の 6 つの数から出せる

ガウス曲率は $6$ つの数から出ます。第一基本形式の $E, F, G$ と、第二基本形式の $L, M, N$ です。

$K = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}}$

半径 $a$ の球面なら $1/ a^{2}$ 、円柱なら $0$ 、トーラスなら場所によって符号が変わる。順に計算します。

出すのは 2 つの数

曲面の各点で、方向を変えながら曲がり具合を測ると、最大値と最小値が現れます。これを主曲率 $κ_{1}$ 、 $κ_{2}$ といいます。

その積がガウス曲率です^[1,4]。

$K = κ_{1} κ_{2}, H = \frac{κ _{1} + κ _{2}}{2}$

$H$ が平均曲率です^[2]。 $K$ は曲面の内側だけで決まり、 $H$ は外の空間への入り方で決まります。

第一基本形式

曲面を $r (u, v)$ とパラメータ表示します。 $r_{u}$ と $r_{v}$ が接ベクトルです。

内積を並べたものが第一基本形式の係数になります^[3]。

$E = r_{u} \cdot r_{u}, F = r_{u} \cdot r_{v}, G = r_{v} \cdot r_{v}$

線素は $d s^{2} = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2}$ 。曲面に入る計量そのものです。

正則なら $E G - F^{2} > 0$ 。分母になるので、この値は $0$ になりません。

単位法ベクトル

第二基本形式には法線が要ります。外積で作ります。

$n = \frac{r _{u} \times r _{v}}{∣ r _{u} \times r _{v} ∣}$

$∣ r_{u} \times r_{v} ∣ = E G - F^{2}$ なので、分母は計算済みの値が使えます。

向きを逆にとると $L, M, N$ の符号がそろって反転します。 $K$ は $2$ 次なので変わらず、 $H$ だけ符号が変わる。

第二基本形式

$2$ 階偏導関数と法線の内積です^[3,5]。

$L = n \cdot r_{uu}, M = n \cdot r_{uv}, N = n \cdot r_{v v}$

偏微分の順序が交換するので $M$ は $1$ 通りです^[5]。第二基本形式は対称になります。

意味としては法曲率を測っています。曲面上の曲線の加速度のうち、法線方向の成分です^[5]。

同じ接方向をもつ曲線は、どれも同じ法曲率になります^[5]。だから方向だけの関数として扱えます。

例：半径 a の球面

$r (θ, φ) = a (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)$ とします。

微分すると $∣ r_{θ} ∣ = a$ 、 $∣ r_{φ} ∣ = a sin θ$ で、たがいに直交します。

$E = a^{2}, F = 0, G = a^{2} sin^{2} θ$

法線は $n = - r / a$ （内向き）にとります。 $2$ 階微分と組むと $L = a$ 、 $M = 0$ 、 $N = a sin^{2} θ$ 。

$K = \frac{a \cdot a sin ^{2} θ - 0}{a ^{2} \cdot a ^{2} sin ^{2} θ} = \frac{1}{a ^{2}}$

どの点でも同じ値です^[4]。半径が大きいほど平らに近づく、という感覚と合っています。

例：円柱

$r (u, v) = (a cos u, a sin u, v)$ をとります。 $E = a^{2}$ 、 $F = 0$ 、 $G = 1$ 。

外向き法線は $n = (cos u, sin u, 0)$ 。 $r_{uu} = (- a cos u, - a sin u, 0)$ なので $L = - a$ 。

$r_{uv} = r_{v v} = 0$ なので $M = N = 0$ 。分子が $0$ になります。

$K = 0, H = \frac{L G - 2 M F + N E}{2 ( E G - F ^{2} )} = - \frac{1}{2 a}$

曲がって見えるのに $K = 0$ 。紙を丸めただけで、伸び縮みがないからです^[4]。展開可能面と呼ばれます。

例：トーラス

$r (u, v) = ((R + a cos u) cos v, (R + a cos u) sin v, a sin u)$ 、 $0 < a < R$ とします。

$E = a^{2}$ 、 $F = 0$ 、 $G = (R + a cos u)^{2}$ 。第二基本形式は $L = a$ 、 $M = 0$ 、 $N = cos u (R + a cos u)$ 。

$K = \frac{a cos u ( R + a cos u )}{a ^{2} ( R + a cos u ) ^{2}} = \frac{cos u}{a ( R + a cos u )}$

符号は $cos u$ だけで決まります。外側の赤道 $u = 0$ で $K = \frac{1}{a ( R + a )} > 0$ 。

内側の $u = π$ では $K = - \frac{1}{a ( R - a )} < 0$ 。上下の $u = \pm π /2$ でちょうど $0$ ^[4]。

例：グラフで表された曲面

$z = f (x, y)$ の形なら、公式がもっと短くなります^[1]。

$K = \frac{f _{xx} f _{y y} - f _{x y}^{2}}{( 1 + f _{x}^{2} + f _{y}^{2} ) ^{2}}$

分子はヘッセ行列の行列式です。臨界点では分母が $1$ になり、 $K$ がそのままヘッセ行列式になります。

平均曲率も書けます^[2]。

$H = \frac{( 1 + f _{y}^{2} ) f _{xx} - 2 f _{x} f _{y} f _{x y} + ( 1 + f _{x}^{2} ) f _{y y}}{2 ( 1 + f _{x}^{2} + f _{y}^{2} ) ^{3/2}}$

例：放物面と鞍面

$z = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}$ の原点で計算します。 $f_{x} = f_{y} = 0$ 、 $f_{xx} = f_{y y} = 1$ 、 $f_{x y} = 0$ 。

$K = \frac{1 \cdot 1 - 0}{1} = 1$

$z = x y$ の原点では $f_{xx} = f_{y y} = 0$ 、 $f_{x y} = 1$ なので $K = - 1$ 。

椀の形なら正、鞍の形なら負。 $2$ つの主方向が同じ側へ曲がるか、反対側へ曲がるかで決まります^[4]。

例：懸垂面

$r (u, v) = (a cosh \frac{v}{a} cos u, a cosh \frac{v}{a} sin u, v)$ をとります。石鹸膜の形です。

計算すると $H = 0$ になります。平均曲率が消える曲面が極小曲面です^[2]。

$K = - \frac{1}{a ^{2} cosh ^{4} ( v / a )}$

$H = 0$ なら $κ_{1} = - κ_{2}$ なので、 $K = κ_{1} κ_{2} \leq 0$ 。極小曲面のガウス曲率は正になりません^[2]。

主曲率に戻す

$K$ と $H$ が出れば、主曲率は $2$ 次方程式の解として求まります。

$κ = H \pm H^{2} - K$

根号の中は $H^{2} - K = \frac{1}{4} (κ_{1} - κ_{2})^{2}$ なので、いつでも $0$ 以上です^[2]。

等号になるのは $κ_{1} = κ_{2}$ の点、つまり臍点です。球面ではどの点も臍点になります。

驚異の定理

ここまで $K$ を第二基本形式から出しました。ところが $K$ は第一基本形式だけで決まります^[1,3,4]。

Gauss の驚異の定理です。曲げても伸ばさない変形では $K$ が変わりません。

円柱の $K = 0$ が平面と同じなのはこのためです。紙を丸めても、紙の上の長さは変わらない。

逆に、球面を平面に広げることはできません。 $K$ が違うので、長さを保つ写像が存在しない。地図に必ず歪みが出る理由です。

直交座標での近道

$F = 0$ にとれる座標では、第一基本形式だけで書ける短い式があります^[4]。

$K = - \frac{1}{2 E G} [\frac{\partial}{\partial v} (\frac{E _{v}}{E G}) + \frac{\partial}{\partial u} (\frac{G _{u}}{E G})]$

法線も第二基本形式も要りません。計量だけを見れば済みます。

例：球面でもう一度

$u = θ$ 、 $v = φ$ として $E = a^{2}$ 、 $G = a^{2} sin^{2} θ$ を入れます。 $E G = a^{2} sin θ$ 。

$E_{v} = 0$ なので第 1 項は消えます。 $G_{u} = 2 a^{2} sin θ cos θ$ なので、次のようになる。

$\frac{G _{u}}{E G} = 2 cos θ, \frac{\partial}{\partial θ} (2 cos θ) = - 2 sin θ$

$K = - \frac{1}{2 a ^{2} sin θ} \cdot (- 2 sin θ) = \frac{1}{a ^{2}}$

第二基本形式から出した値と一致しました。

検算のしかた

出た値が正しいかどうかは、 $3$ つの見方で確かめられます。

$K$ の次元は長さの $- 2$ 乗です。半径 $a$ の球面なら $1/ a^{2}$ のように、必ず長さの $2$ 乗が分母に来ます。単位が合わなければ計算違いです。

極限をとる方法もあります。トーラスで $R \to \infty$ とすると $K \to cos u / (a R) \to 0$ で、細い円柱に近づく。

主曲率に戻して直接確かめる手もあります。 $K = κ_{1} κ_{2}$ と $H = (κ_{1} + κ_{2}) /2$ の両方が合えば、まず間違いありません。

円柱のガウス曲率が $0$ になる理由として正しいのはどれですか。

円柱がどこでも平らだから
第二基本形式の 2 つの主曲率のうち片方が $0$ だから
法線の向きを選び直すと符号が消えるから

__RESULT__

母線の方向には曲がっていないので $κ_{2} = 0$ 、円周の方向には $κ_{1} = - 1/ a$ です。積が $0$ になります。平均曲率は $- 1/ (2 a)$ で $0$ ではないので、円柱は平らではありません。

$E, F, G$ を作り、法線を作り、 $L, M, N$ を作る。分数を $1$ 本組めば、どの曲面でも同じ手順で $K$ が出ます。

参考文献

Gaussian Curvature. MathWorld.

Mean Curvature. MathWorld.

Gaussian curvature. Encyclopedia of Mathematics.

Gaußsche Krümmung. Wikipedia（ドイツ語）.

*Chapter 5. The Second Fundamental Form*. Differential Geometry 講義ノート, University of Miami.

$K = (LN - M^2)/(EG - F^2)$ に入れるだけです。$E, F, G$ は接ベクトルの内積、$L, M, N$ は 2 階微分と単位法ベクトルの内積。半径 $a$ の球面なら $1/a^2$、円柱なら $0$、トーラスなら $\cos u/(a(R + a\cos u))$ で外側が正、内側が負になる。グラフ $z = f(x,y)$ ならヘッセ行列式を $(1 + f_x^2 + f_y^2)^2$ で割るだけ。驚異の定理から $K$ は第一基本形式だけで決まり、$F = 0$ の座標では法線を使わない短い式も使えます。主曲率は $H \pm \sqrt{H^2 - K}$ で戻せます。