ガウス曲率は第一基本形式と第二基本形式の 6 つの数から出せる

ガウス曲率は $6$ つの数から出ます。第一基本形式の $E,F,G$ と、第二基本形式の $L,M,N$ です。

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$

半径 $a$ の球面なら $1/a^2$、円柱なら $0$、トーラスなら場所によって符号が変わる。順に計算します。

出すのは 2 つの数

曲面の各点で、方向を変えながら曲がり具合を測ると、最大値と最小値が現れます。これを主曲率 ${\kappa }_1$、${\kappa }_2$ といいます。

その積がガウス曲率です^[1,4]。

$$K={\kappa }_1{\kappa }_2,H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$$

$H$ が平均曲率です^[2]。$K$ は曲面の内側だけで決まり、$H$ は外の空間への入り方で決まります。

第一基本形式

曲面を $\mathbf{r}(u,v)$ とパラメータ表示します。${\mathbf{r}}_u$ と ${\mathbf{r}}_v$ が接ベクトルです。

内積を並べたものが第一基本形式の係数になります^[3]。

$$E={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_u,F={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_v,G={\mathbf{r}}_v\cdot {\mathbf{r}}_v$$

線素は $d{s}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$。曲面に入る計量そのものです。

正則なら $EG-F^2>0$。分母になるので、この値は $0$ になりません。

単位法ベクトル

第二基本形式には法線が要ります。外積で作ります。

$$\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v}{|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|}$$

$|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|=\sqrt{EG-F^2}$ なので、分母は計算済みの値が使えます。

向きを逆にとると $L,M,N$ の符号がそろって反転します。$K$ は $2$ 次なので変わらず、$H$ だけ符号が変わる。

第二基本形式

$2$ 階偏導関数と法線の内積です^[3,5]。

$$L=\mathbf{n}\cdot {\mathbf{r}}_{uu},M=\mathbf{n}\cdot {\mathbf{r}}_{uv},N=\mathbf{n}\cdot {\mathbf{r}}_{vv}$$

偏微分の順序が交換するので $M$ は $1$ 通りです^[5]。第二基本形式は対称になります。

意味としては法曲率を測っています。曲面上の曲線の加速度のうち、法線方向の成分です^[5]。

同じ接方向をもつ曲線は、どれも同じ法曲率になります^[5]。だから方向だけの関数として扱えます。

例：半径 a の球面

$\mathbf{r}(\theta ,\phi )=a(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$ とします。

微分すると $|{\mathbf{r}}_{\theta }|=a$、$|{\mathbf{r}}_{\phi }|=a\sin \theta$ で、たがいに直交します。

$$E=a^2,F=0,G=a^2{\sin }^2\theta$$

法線は $\mathbf{n}=-\mathbf{r}/a$（内向き）にとります。$2$ 階微分と組むと $L=a$、$M=0$、$N=a{\sin }^2\theta$。

$$K=\frac{a\cdot a{\sin }^2\theta -0}{a^2\cdot a^2{\sin }^2\theta }=\frac{1}{a^2}$$

どの点でも同じ値です^[4]。半径が大きいほど平らに近づく、という感覚と合っています。

例：円柱

$\mathbf{r}(u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)$ をとります。$E=a^2$、$F=0$、$G=1$。

外向き法線は $\mathbf{n}=(\cos u,\sin u,0)$。${\mathbf{r}}_{uu}=(-a\cos u,-a\sin u,0)$ なので $L=-a$。

${\mathbf{r}}_{uv}={\mathbf{r}}_{vv}=0$ なので $M=N=0$。分子が $0$ になります。

$$K=0,H=\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}=-\frac{1}{2a}$$

曲がって見えるのに $K=0$。紙を丸めただけで、伸び縮みがないからです^[4]。展開可能面と呼ばれます。

例：トーラス

$\mathbf{r}(u,v)=((R+a\cos u)\cos v,(R+a\cos u)\sin v,a\sin u)$、$0<a<R$ とします。

$E=a^2$、$F=0$、$G=(R+a\cos u{)}^2$。第二基本形式は $L=a$、$M=0$、$N=\cos u(R+a\cos u)$。

$$K=\frac{a\cos u(R+a\cos u)}{a^2(R+a\cos u{)}^2}=\frac{\cos u}{a(R+a\cos u)}$$

符号は $\cos u$ だけで決まります。外側の赤道 $u=0$ で $K=\frac{1}{a(R+a)}>0$。

内側の $u=\pi$ では $K=-\frac{1}{a(R-a)}<0$。上下の $u=\pm \pi /2$ でちょうど $0$^[4]。

例：グラフで表された曲面

$z=f(x,y)$ の形なら、公式がもっと短くなります^[1]。

$$K=\frac{f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2{)}^2}$$

分子はヘッセ行列の行列式です。臨界点では分母が $1$ になり、$K$ がそのままヘッセ行列式になります。

平均曲率も書けます^[2]。

$$H=\frac{(1+f_y^2)f_{xx}-2f_x{f}_y{f}_{xy}+(1+f_x^2)f_{yy}}{2(1+f_x^2+f_y^2{)}^{3/2}}$$

例：放物面と鞍面

$z=\frac{x^2+y^2}{2}$ の原点で計算します。$f_x=f_y=0$、$f_{xx}=f_{yy}=1$、$f_{xy}=0$。

$$K=\frac{1\cdot 1-0}{1}=1$$

$z=xy$ の原点では $f_{xx}=f_{yy}=0$、$f_{xy}=1$ なので $K=-1$。

椀の形なら正、鞍の形なら負。$2$ つの主方向が同じ側へ曲がるか、反対側へ曲がるかで決まります^[4]。

例：懸垂面

$\mathbf{r}(u,v)=(a\cosh \frac{v}{a}\cos u,a\cosh \frac{v}{a}\sin u,v)$ をとります。石鹸膜の形です。

計算すると $H=0$ になります。平均曲率が消える曲面が極小曲面です^[2]。

$$K=-\frac{1}{a^2{\cosh }^4(v/a)}$$

$H=0$ なら ${\kappa }_1=-{\kappa }_2$ なので、$K={\kappa }_1{\kappa }_2\le 0$。極小曲面のガウス曲率は正になりません^[2]。

主曲率に戻す

$K$ と $H$ が出れば、主曲率は $2$ 次方程式の解として求まります。

$$\kappa =H\pm \sqrt{H^2-K}$$

根号の中は $H^2-K=\frac{1}{4}({\kappa }_1-{\kappa }_2{)}^2$ なので、いつでも $0$ 以上です^[2]。

等号になるのは ${\kappa }_1={\kappa }_2$ の点、つまり臍点です。球面ではどの点も臍点になります。

驚異の定理

ここまで $K$ を第二基本形式から出しました。ところが $K$ は第一基本形式だけで決まります^[1,3,4]。

Gauss の驚異の定理です。曲げても伸ばさない変形では $K$ が変わりません。

円柱の $K=0$ が平面と同じなのはこのためです。紙を丸めても、紙の上の長さは変わらない。

逆に、球面を平面に広げることはできません。$K$ が違うので、長さを保つ写像が存在しない。地図に必ず歪みが出る理由です。

直交座標での近道

$F=0$ にとれる座標では、第一基本形式だけで書ける短い式があります^[4]。

$$K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left[\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)+\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)\right]$$

法線も第二基本形式も要りません。計量だけを見れば済みます。

例：球面でもう一度

$u=\theta$、$v=\phi$ として $E=a^2$、$G=a^2{\sin }^2\theta$ を入れます。$\sqrt{EG}=a^2\sin \theta$。

$E_v=0$ なので第 1 項は消えます。$G_u=2a^2\sin \theta \cos \theta$ なので、次のようになる。

$$\frac{G_u}{\sqrt{EG}}=2\cos \theta ,\frac{\partial }{\partial \theta }(2\cos \theta )=-2\sin \theta$$

$$K=-\frac{1}{2a^2\sin \theta }\cdot (-2\sin \theta )=\frac{1}{a^2}$$

第二基本形式から出した値と一致しました。

検算のしかた

出た値が正しいかどうかは、$3$ つの見方で確かめられます。

$K$ の次元は長さの $-2$ 乗です。半径 $a$ の球面なら $1/a^2$ のように、必ず長さの $2$ 乗が分母に来ます。単位が合わなければ計算違いです。

極限をとる方法もあります。トーラスで $R\to \infty$ とすると $K\to \cos u/(aR)\to 0$ で、細い円柱に近づく。

主曲率に戻して直接確かめる手もあります。$K={\kappa }_1{\kappa }_2$ と $H=({\kappa }_1+{\kappa }_2)/2$ の両方が合えば、まず間違いありません。

$E,F,G$ を作り、法線を作り、$L,M,N$ を作る。分数を $1$ 本組めば、どの曲面でも同じ手順で $K$ が出ます。

参考文献