平面をつないでも曲面にならない、フロベニウスの定理と葉層

各点に平面を 1 枚ずつ配ると、その平面を接平面とする曲面が見つかることもあれば、どうやっても見つからないこともあります。

分かれ目は 1 つだけ。平面に沿う 2 つのベクトル場のリー括弧が、同じ平面の中に残るかどうかで決まります^[1]。

残れば空間全体が曲面の層に分かれ、残らなければ 1 枚も作れない。これがフロベニウスの定理です。

各点に部分空間を配る

$n$ 次元多様体 $M$ の各点 $p$ に、接空間 $T_{p} M$ の $k$ 次元部分空間 $Δ_{p}$ を 1 つずつ与えます。点を動かしたときに滑らかに変わるものを $k$ 次元の分布といいます^[1]。

滑らかというのは、各点のまわりでベクトル場 $X_{1}, \dots, X_{k}$ がとれて、どこでも $Δ$ を張るという意味です。接束の部分束になっている、と言ってもいい。

$k = 1$ なら各点に直線を 1 本ずつ置いたもの。 $k = n - 1$ なら超平面を 1 枚ずつ置いたものになります。

積分多様体

部分多様体 $N \subset M$ がどの点でも $T_{p} N = Δ_{p}$ を満たすとき、 $N$ を $Δ$ の積分多様体といいます。分布に接する曲面のことです。

どの点を通る積分多様体も局所的にとれるとき、分布は可積分だといいます^[1]。

$k = 1$ なら常微分方程式の解がそのまま積分曲線になります。初期値問題が解けるので、1 次元の分布はいつでも可積分。

問題は $k \geq 2$ からです。ここで、解ける場合と解けない場合に分かれます。

例：平面が層になる場合

$R^{3}$ で $Δ = span {\partial_{x}, \partial_{y}}$ とします。 $z$ を止めた水平面が、そのまま積分多様体です。

空間全体が $z$ 一定の平面で埋まります。1 点を通る積分多様体は、その点を含む水平面ただ 1 枚。

もう少し曲がった例もあります。 $C^{1}$ 関数 $f (x, y)$ に対して $Δ = span {\partial_{x} + f_{x} \partial_{z}, \partial_{y} + f_{y} \partial_{z}}$ とおくと、グラフ $z = f (x, y) + r$ の族が積分多様体になります^[2]。

$r$ を動かせば空間全体が覆われる。どのグラフも交わらず、平行にずれていくだけです。

例：どこにも面がない場合

同じ $R^{3}$ で、各点に $\partial_{y}$ と $\partial_{x} + y \partial_{z}$ が張る平面を置きます。見た目は前の例とほとんど変わりません。

それでも、この平面の場に接する曲面は 1 枚も存在しない^[2]。

理由は道をたどると見えます。 $x y$ 平面で辺の長さが $r$ と $s$ の長方形を 1 周し、そのあいだ平面に接したまま高さを変えていく。

戻ってきたとき、高さは $r s$ だけずれています。出発点に帰れないので、閉じた曲面には乗せられません。

ずれは囲んだ面積そのもの

このずれは正確に測れます。平面の場を 1 形式 $ω = d z - y d x$ の核として書くと、接する条件は $d z = y d x$ になる。

道 $γ$ に沿って積分すると、高さの変化が影の面積で表せます^[3]。

$z (γ (b)) - z (γ (a)) = \int_{γ} d z = \int_{γ} y d x = - Area (\overset{γ}{ˉ})$

$\overset{γ}{ˉ}$ は $x y$ 平面へ落とした影です。閉じた道では、高さのずれが囲んだ符号つき面積そのものになります。

面積が $0$ でない道を選べば必ずずれる。曲面に乗るには、どんな閉じた道でもずれが $0$ でなければならず、そうはなりません。

リー括弧が測っているもの

1 周のずれを式で拾う道具がリー括弧です。 $X$ の流れで進み、 $Y$ の流れで進み、それぞれ逆にたどって戻る。帰り着かないぶんが $[X, Y]$ です。

さきほどの例で計算します。 $X = \partial_{y}$ 、 $Y = \partial_{x} + y \partial_{z}$ とおくと、次のようになる。

$[X, Y] = \partial_{y} (y) \partial_{z} = \partial_{z}$

$\partial_{z}$ は $Δ$ に入っていません。平面からはみ出した方向が、そのまま高さのずれの向きになっています。

水平面の例では $[\partial_{x}, \partial_{y}] = 0$ 。グラフの例でも $f$ の 2 階偏導関数が交換するので括弧は消え、どちらもはみ出しません。

対合的という条件

$Δ$ の切断どうしのリー括弧が、また $Δ$ の切断になるとき、 $Δ$ は対合的だといいます^[4]。

確かめるのは枠だけで足ります。 $Δ$ を張る $X_{1}, \dots, X_{k}$ について $[X_{i}, X_{j}]$ がすべて $Δ$ に入れば、任意の切断でも成り立つ。

括弧が $Δ$ の外へ出る方向を持たない。条件はそれだけです。

対合的な分布

括弧が中に残る。空間が曲面の層に分かれ、1 点を通る葉が 1 枚に決まる

対合的でない分布

括弧が外へ出る。接する曲面は 1 枚もなく、閉じた道をたどると高さがずれる

フロベニウスの定理

主張はこうです^[1,4]。分布 $Δ$ が可積分であることと、 $Δ$ が対合的であることは同値である。

一方は曲面が存在するという幾何の言明で、もう一方は括弧を計算するだけの代数の条件。存在の問題が、有限回の微分で片づきます。

1877 年に Frobenius が証明しました^[5]。Pfaff の問題を、ある行列式が消える場合について扱った論文です。

平らな座標に化ける

可積分な分布は、座標をうまくとると完全に平らになります^[1]。点 $p$ のまわりに座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ がとれて、次の形になる。

$Δ = span {\frac{\partial}{\partial x ^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x ^{k}}}$

この座標では、 $x^{k + 1}, \dots, x^{n}$ を止めた集合がそのまま積分多様体です。曲がって見えていた平面の場が、座標を替えるだけで水平な板の重なりになります。

定理の実質はこの正規形にあります。可積分という言葉が、座標の存在に置きかわった。

易しいほうの向き

可積分なら対合的、という向きは短く済みます。平らな座標で書けば終わり^[1]。

$X = \sum_{i} X^{i} \partial_{i}$ 、 $Y = \sum_{i} Y^{i} \partial_{i}$ を $Δ$ の切断とすると、和は $i \leq k$ の範囲だけです。

$[X, Y] = i, j \sum (X^{i} \partial_{i} Y^{j} - Y^{i} \partial_{i} X^{j}) \partial_{j}$

現れる $\partial_{j}$ も $j \leq k$ に限られます。だから $[X, Y]$ はまた $Δ$ の切断。

難しいほうの筋

対合的なら可積分、という向きが本体です。山は、交換する枠を作れるかどうかにあります^[1]。

$Δ$ を張る枠 $v_{1}, \dots, v_{k}$ を、たがいに交換するように選び直す。 $[v_{i}, v_{j}] = 0$ にできます。

交換する場が選べたら、流れ $φ_{1}^{t}, \dots, φ_{k}^{t}$ もたがいに交換します。そこで写像を組みます。

$Ψ (t_{1}, \dots, t_{k}, x) = φ_{1}^{t_{1}} \circ \dots \circ φ_{k}^{t_{k}} (ψ (x))$

$ψ$ は $Δ$ を補う向きへの写像です。 $Ψ$ が局所的に微分同相になり、その逆写像が求める平らな座標を与えます。

例：交換する枠にとり替える

枠を選び直せる理由を見ます。 $Δ$ を補う向きの座標 $φ$ をとり、 $d φ^{i} v_{j} = δ_{j}^{i}$ となるように $v_{1}, \dots, v_{k}$ を決める^[1]。

対合性から $[v_{i}, v_{j}] = \sum_{k} c_{ij}^{k} v_{k}$ と書けます。両辺に $d φ_{k}$ を当てると、係数が計算できる。

$c_{ij}^{k} = [v_{i}, v_{j}] φ_{k} = v_{i} v_{j} φ_{k} - v_{j} v_{i} φ_{k} = 0$

$v_{j} φ_{k}$ が定数だからです。係数がすべて消えて、枠は交換するものになりました。

対合性がここで効いています。括弧が $Δ$ の中に留まるからこそ、係数 $c_{ij}^{k}$ という形に書けて、それが $0$ だと分かる。

外へ出る成分があると、 $d φ_{k}$ を当てた値が残ってしまい、枠を交換するようには選べない。

微分形式で書きかえる

余次元 $q$ の分布は、1 形式 $ω^{1}, \dots, ω^{q}$ の共通の核として書けます。対合性は、この形式の言葉に翻訳できる^[4]。

$d ω^{α} = β \sum ω^{β} \land ω_{β}^{α}$

外微分が、もとの形式が生成するイデアルの中に落ちるという条件です。ベクトル場を持ち出さずに判定できます。

余次元 $1$ ならもっと簡単になります。 $Δ = ker ω$ が可積分であることと $d ω ∣_{Δ} = 0$ が同値^[3]。

例：余次元 1 で判定する

$ω = d z - y d x$ をとります。外微分は $d ω = d x \land d y$ で、 $Δ$ の上で消えません。

$ω \land d ω = d z \land d x \land d y \neq = 0$

可積分ではありません^[3]。長方形のずれと同じことを、別の言葉で言っています。

比べる相手として $ω = d z - x d x$ を見ます。 $d ω = 0$ なので可積分で、葉は $z - \frac{x ^{2}}{2}$ が一定の面。

判定に使ったのは $d ω$ だけです。式を 1 回微分すれば答えが出る。

分布を張る枠をとる

たがいの括弧を計算する

分布の中に残るかどうかを見る

空間が葉に分かれる

可積分な分布は、多様体を葉層に分けます。葉層とは、 $M$ を交わらない連結な部分多様体で覆う分け方のこと^[6]。

平らな座標の中では、板がきれいに積み重なって見えます。この 1 枚ずつをプラークと呼ぶ。

プラークをつなげてできる極大の連結部分が葉です。葉は $M$ の中で単射はめ込みになりますが、埋め込みとは限りません^[1]。

例：トーラスの傾いた葉層

$R^{2}$ を傾き一定の直線で埋め、 $(s, t) \mapsto (e^{2 π i s}, e^{2 π i t})$ でトーラスへ落とします^[6]。

傾きが有理数なら、直線は 1 周して閉じます。葉はすべて円周になる。

傾きが無理数だと、曲線は決して閉じません。葉は 1 本ずつが $R$ の複製で、しかもトーラスの中で稠密です^[6]。

葉としては 1 次元多様体でも、部分空間の位相を入れると多様体になりません。埋め込みでない例がここに出ます。

例：球面に余次元 1 の葉層はない

$S^{2}$ を曲線の族に分けることはできません^[1]。

葉層があれば、葉に接する消えないベクトル場が作れます。ところが $χ (S^{2}) = 2 \neq = 0$ なので、そんな場は存在しない。向き付けできない葉層なら、向き付け被覆へ持ち上げれば同じ話になります。

可積分性は各点のまわりだけの条件です。それでも、葉層が全体として存在するかどうかは大域の問題になります。

例：3 次元多様体にはいつでもある

次元を 1 つ上げると事情が変わります。閉じた向き付け可能な 3 次元多様体は、どれも余次元 1 の葉層を持ちます^[6]。

作り方の鍵はリーブ葉層です。中身の入ったトーラス $S^{1} \times D^{2}$ を、境界のトーラス 1 枚と、無限に積み重なる面で分ける。

$S^{3}$ は中身の入ったトーラス 2 つの貼り合わせなので、両方をリーブ葉層で分ければ $S^{3}$ の葉層ができます^[6]。

存在するだけでは何も分からない、という状況です。葉層から情報を引き出すには、リーブ成分を持たないなどの条件を足すことになります。

反対の極端

対合性を最大限に破る分布もあります。 $λ \land (d λ)^{n - 1} \neq = 0$ を満たす 1 形式 $λ$ の核は接触構造と呼ばれ、極大に非可積分といわれる^[3]。

$R^{3}$ の $λ = d z - y d x$ がその標準形です^[3]。積分曲面が 1 枚もないだけでなく、どの方向へずらしても面に近づけません。

括弧が完全に中へ残る場合と、完全に外へ出る場合。分布はこの両端のあいだに並びます。

$R^{3}$ で $Δ = ker (d z - x d y)$ とします。この分布について正しいのはどれですか。

対合的なので、空間が曲面の層に分かれる
対合的でないので、接する曲面が 1 枚もない
対合的かどうかは点によって変わる

__RESULT__

$d ω = d x \land d y$ なので $ω \land d ω = d z \land d x \land d y \neq = 0$ です。枠でも同じで、 $\partial_{x}$ と $\partial_{y} + x \partial_{z}$ の括弧が $\partial_{z}$ になり、分布の外へ出ます。対合性は式で決まるので、点によって変わることもありません。

よくある誤り

1 次元の場合と同じに考える。積分曲線はいつでもありますが、積分曲面は条件を満たすときだけです。

枠のうち 1 組だけ括弧を確かめて済ませる。

k

次元なら

k (k - 1) /2

組すべてを見ます。

括弧が

0

になることを条件だと思う。

Δ

の中に入れば足りて、

0

である必要はありません。

座標が平らになるのを大域の主張ととる。正規形が言えるのは各点のまわりだけです。

葉を埋め込まれた部分多様体と決めつける。稠密に巻きつく葉があります。

葉層が存在すれば多様体が分かると思う。3 次元では必ず存在するので、それだけでは何も言えません。

括弧が外へ出るか、中に残るか。1 回の計算で、曲面が存在するかどうかが決まります。

参考文献

Erik van den Ban. *Notes for the course Foliation theory*. Utrecht University, 2006.

Ben A. Sherwood. *Frobenius' Theorem*. University of Chicago REU, 2011.

Michael Hutchings, notes by Jackson Van Dyke. *Lecture 6: Contact Structures*. Math 242, 2019.

Involutive distribution. Encyclopedia of Mathematics.

Satz von Frobenius (Differentialtopologie)). Wikipedia（ドイツ語）.

Rachel Roberts, notes by Joan Licata. *Lecture 2*. Institute for Advanced Study, 2008.

各点に平面を 1 枚ずつ置いても、その平面を接平面とする曲面が見つかるとは限りません。$\partial_y$ と $\partial_x + y\partial_z$ が張る平面の場では、長方形を 1 周して戻ると高さが $rs$ だけずれる。ずれの正体は囲んだ面積で、リー括弧が $\partial_z$ という外向きの成分を出していることに対応します。括弧が中に残れば曲面が存在し、座標をとり替えれば水平な板の重なりに化ける。これがフロベニウスの定理です。微分形式なら $d\omega|_\Delta = 0$ で判定でき、可積分な分布は多様体を葉に分ける。トーラスに稠密に巻きつく葉、球面には作れないこと、3 次元多様体なら必ず作れることまで。