sinA = cosB はどう処理するか？型ごとの三角方程式

$\sin 3\theta =\sin \theta$ のように、同じ関数どうしが等しい方程式には近道があります。

角どうしの関係だけで書けます。$\sin$ の値が等しくなるのは、角が等しいか、$\pi$ から引いた関係にあるとき。

$$\begin{array}{rl}\sin A& =\sin B⟺A\\ & =B+2n\pi \text{または}A\\ & =\pi -B+2n\pi \end{array}$$

$\cos$ と $\tan$ には別の形があり、$\sin A=\cos B$ のように関数が違う場合はひと手間入ります。

4 つの型として整理しておくと、迷わずに済みます。

sin どうし

$\sin A=\sin B$ は、単位円で高さが同じ 2 点を探す問題です^[1]。

高さが同じになるのは、同じ点にいるか、$y$ 軸について対称な位置にいるかのどちらか。

前者が $A=B+2n\pi$、後者が $A=\pi -B+2n\pi$ です。

$\sin 3\theta =\sin \theta$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。

$3\theta =\theta +2n\pi$ から $\theta =n\pi$、範囲内では $0$ と $\pi$。

$3\theta =\pi -\theta +2n\pi$ から $4\theta =\pi +2n\pi$、$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}$。

範囲内では $\frac{\pi }{4}$、$\frac{3}{4}\pi$、$\frac{5}{4}\pi$、$\frac{7}{4}\pi$ の 4 個。

合わせて 6 個です。和積で $2\cos 2\theta \sin \theta =0$ に直しても同じ 6 個になります^[2]。

cos どうしと tan どうし

$\cos A=\cos B$ は、横の座標が同じ 2 点です。$x$ 軸について対称の位置にあります。

$$\begin{array}{rl}\cos A& =\cos B⟺A\\ & =\pm B+2n\pi \end{array}$$

$\pm$ ひとつで書けるのは、対称の相手が $-B$ だからです。$\sin$ のように 2 行に分ける必要がありません。

$\tan A=\tan B$ は、原点について対称の位置でも値が同じになります。

$$\begin{array}{rl}\tan A& =\tan B⟺A\\ & =B+n\pi \end{array}$$

$2n\pi$ ではなく $n\pi$。$\tan$ の周期が $\pi$ だからです^[3]。

関数が違う場合

$\sin A=\cos B$ では、そのまま角の関係を書けません。まず関数をそろえます。

誘導公式を使います。$\cos B=\sin \left(\frac{\pi }{2}-B\right)$ です^[3]。

これで $\sin A=\sin \left(\frac{\pi }{2}-B\right)$ となり、$\sin$ どうしの型に乗りました。

$$A=\frac{\pi }{2}-B+2n\pi \text{または}A=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-B\right)+2n\pi =\frac{\pi }{2}+B+2n\pi$$

$\sin$ を $\cos$ に直しても同じ結果になります。どちらへそろえても答えは変わりません。

例：cos2θ = sinθ

$0\le \theta <2\pi$ で解きます。関数が違うので、まずそろえる。

$\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ と直して、$\cos 2\theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$。

$\cos$ の型なので $2\theta =\pm \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)+2n\pi$。

プラスのほうは $3\theta =\frac{\pi }{2}+2n\pi$、$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2n\pi }{3}$。範囲内では $\frac{\pi }{6}$、$\frac{5}{6}\pi$、$\frac{3}{2}\pi$。

マイナスのほうは $\theta =-\frac{\pi }{2}+2n\pi$、範囲内では $\frac{3}{2}\pi$。

重なりを除いて 3 個です。

2 倍角で解いても確かめられます。$1-2{\sin }^2\theta =\sin \theta$ から $(2\sin \theta -1)(\sin \theta +1)=0$。

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ で $\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5}{6}\pi$、$\sin \theta =-1$ で $\frac{3}{2}\pi$。同じ 3 個です。

どちらの道を選ぶか

同じ問題が 2 通りで解けるので、短いほうを選びます。

角の関係で書く道は、$\sin 5\theta =\sin 3\theta$ のように中身の次数が高いときに強い。

2 倍角や和積で開く道は、$\cos 2\theta =\sin \theta$ のように 2 倍角が使える形で強い。

見分けの目安があります。中身が $\theta$ の定数倍だけなら角の関係、係数が小さくて公式が当たるなら開く。

$\sin 7\theta =\sin 2\theta$ を和積で開くと $2\cos \frac{9\theta }{2}\sin \frac{5\theta }{2}=0$ になり、これはこれで解けます。好きなほうを選べます。

一般解と範囲つきの解

範囲の指定がなければ、$n$ を整数として一般解の形で答えます。

$\sin 3\theta =\sin \theta$ なら $\theta =n\pi$ と $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}$ の 2 系統です。

範囲があるときは、$n$ に整数を順に入れて拾います。

$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}$ に $n=0,1,2,3$ を入れると 4 個。$n=4$ では $\frac{9}{4}\pi$ で範囲を超えます。

刻み幅を見れば、範囲に何個入るかも先に読めます。刻みが $\frac{\pi }{2}$ なら $2\pi$ に 4 個です。

まちがえやすい点

$\sin$ の型で 2 行目を落とす誤りが最も多い。$A=\pi -B+2n\pi$ のほうです。

$\cos$ の型を $A=B+2n\pi$ だけにする誤りも同じ原因です。$\pm$ が要ります。

$\tan$ の型で $2n\pi$ と書く誤りもよく出ます。周期が $\pi$ なので $n\pi$。

$\sin A=\cos B$ をそのまま角の関係にする形も見ます。まず関数をそろえます。

$n$ を代入する範囲を絞りすぎる誤りもあります。負の $n$ で範囲に入る解が出ることがあります。

関数をそろえる型も確かめます。

対称の軸が $y$ 軸か $x$ 軸か原点か。3 つの型はそこから出て、関数が違えばそろえてから当てます。

参考