三角形の 3 つの角のサインを足すと、正三角形で最大になる

三角形の 3 つの内角について、$\sin A+\sin B+\sin C$ の最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ です。正三角形のときで、$3\sin 60^{\circ }=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}$、およそ $2.598$ になります。

角は $A+B+C=\pi$ でつながっているので、3 つを別々には動かせません。1 つ止めて残りの 2 つを見るところから始めます。

2 つだけ動かしてみる

$C$ を固定します。$A+B$ も $\pi -C$ で固定されますが、$A$ と $B$ の内訳は自由です。

このとき $\sin A+\sin B$ を和積で開きます^[1]。

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

$\frac{A+B}{2}$ は固定なので、前半は定数です。動くのは $\cos \frac{A-B}{2}$ だけ。

$\cos$ の最大は $1$ で、$A=B$ のときに実現します。

$\frac{A+B}{2}$ は $0$ と $\frac{\pi }{2}$ のあいだにあるので $\sin \frac{A+B}{2}>0$。掛ける相手が正なので、$\cos$ が最大のとき全体も最大です。

つまり $C$ を止めたまま考えると、$A=B$ にそろえたときがいちばん大きい。

3 つそろう

同じことが、どの 2 つについても言えます。

$A$ を止めれば $B=C$ が最大、$B$ を止めれば $C=A$ が最大。

最大になっている状態では、この 3 つが同時に成り立っていなければなりません。

そうでなければ、まだ大きくできる余地が残っているからです。

$A=B$ かつ $B=C$ なら $A=B=C=\frac{\pi }{3}$。正三角形です。

値は $3\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

周の長さとして読む

正弦定理を使うと、この和には別の意味が見えます^[2]。

$\sin A=\frac{a}{2R}$ などを入れます。

$$\sin A+\sin B+\sin C=\frac{a+b+c}{2R}$$

分子は三角形の周の長さです。外接円の半径 $R$ を固定すれば、和は周に比例します。

つまり「外接円が同じ三角形のうち、周が最も長いのはどれか」という問題と同じこと。

答えが正三角形になるのは直観とも合っていて、いちばん丸い形がいちばん長い周を持ちます。

半径 $1$ の円なら、周の最大は $2\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。正三角形の 1 辺 $\sqrt{3}$ の 3 倍です。

cos の和にも同じ手

$\cos A+\cos B+\cos C$ の最大も、同じ議論で出ます。

$C$ を止めて和積を当てます。$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$。

$\frac{A+B}{2}$ は $\frac{\pi }{2}$ より小さいので $\cos \frac{A+B}{2}>0$。掛ける相手が正です。

だから $\cos \frac{A-B}{2}$ が最大、つまり $A=B$ のときに全体も最大。

3 つそろえて正三角形。値は $3\cos \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}$ です。

$$\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}$$

$\sin$ のときと符号の扱いが同じなので、議論をそのまま流用できます。

どれも正三角形で最大になります。対称な式が対称な形で極値をとる、という見方もできます。

積のとき

$\sin A\sin B\sin C$ も同じ手が使えます。今度は積和のほうです。

$C$ を止めて $\sin A\sin B$ を開きます^[3]。

$$\sin A\sin B=\frac{1}{2}\left\{\cos (A-B)-\cos (A+B)\right\}$$

$\cos (A+B)$ は固定なので、動くのは $\cos (A-B)$ だけ。最大は $A=B$ のときの $1$。

$\sin C$ が正なので、掛けても向きは変わりません。やはり $A=B$ で最大。

3 つそろえて ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{8}\fallingdotseq 0.6495$。

和なら和積、積なら積和。開いてから「固定される部分」と「動く部分」に分けるのが共通の手です。

3 辺の和のとりうる範囲

外接円の半径が $1$ の三角形で、周の長さ $a+b+c$ の範囲を出します。

$a+b+c=2(\sin A+\sin B+\sin C)$ です。

最大は $2\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\fallingdotseq 5.196$ で、正三角形のときです。

最小はどうでしょう。三角形がつぶれていく形を考えます。

$C\to 0$ とすると $A+B\to \pi$ で、$\sin A+\sin B\to 2\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{A-B}{2}$。

$A\to \pi$、$B\to 0$ なら $\cos \frac{A-B}{2}\to 0$ で、和は $0$ に近づきます。

ただし $0$ にはなりません。三角形がつぶれてしまうためです。範囲は $0<a+b+c\le 3\sqrt{3}$。

最小値は存在しません。上には最大がありますが、下は限りなく $0$ に近づくだけで、そこに届く三角形がないためです。

まちがえやすい点

$\sin \frac{A+B}{2}$ が正であることの確認を飛ばす誤りが多い。負なら不等号の向きが逆になります。

$A+B=\pi -C<\pi$ なので $\frac{A+B}{2}<\frac{\pi }{2}$。だから $\sin$ も $\cos$ も正です。

$A=B$ を 1 回示しただけで正三角形と結論する形もよく見ます。3 通りとも言えて初めて決まります。

$\cos$ の和で $A+B+C=\pi$ を使い忘れる誤りもあります。角は 3 つとも自由ではありません。

最小値を $0$ と答える誤りも起きます。三角形として成立しない位置なので、達成されません。

議論の道具も確かめます。

$C$ を止めて和積で開くと $A=B$ が出ます。3 通りとも言えば、形は正三角形に決まります。

参考