三角形の 3 つの角のサインを足すと、正三角形で最大になる

三角形の 3 つの内角について、 $sin A + sin B + sin C$ の最大値は $\frac{3 3}{2}$ です。正三角形のときで、 $3 sin 6 0^{\circ} = 3 \times \frac{3}{2}$ 、およそ $2.598$ になります。

角は $A + B + C = π$ でつながっているので、3 つを別々には動かせません。1 つ止めて残りの 2 つを見るところから始めます。

2 つだけ動かしてみる

$C$ を固定します。 $A + B$ も $π - C$ で固定されますが、 $A$ と $B$ の内訳は自由です。

このとき $sin A + sin B$ を和積で開きます^[1]。

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$

$\frac{A + B}{2}$ は固定なので、前半は定数です。動くのは $cos \frac{A - B}{2}$ だけ。

$cos$ の最大は $1$ で、 $A = B$ のときに実現します。

$\frac{A + B}{2}$ は $0$ と $\frac{π}{2}$ のあいだにあるので $sin \frac{A + B}{2} > 0$ 。掛ける相手が正なので、 $cos$ が最大のとき全体も最大です。

つまり $C$ を止めたまま考えると、 $A = B$ にそろえたときがいちばん大きい。

3 つそろう

同じことが、どの 2 つについても言えます。

$A$ を止めれば $B = C$ が最大、 $B$ を止めれば $C = A$ が最大。

最大になっている状態では、この 3 つが同時に成り立っていなければなりません。

そうでなければ、まだ大きくできる余地が残っているからです。

$A = B$ かつ $B = C$ なら $A = B = C = \frac{π}{3}$ 。正三角形です。

値は $3 sin \frac{π}{3} = \frac{3 3}{2}$ 。

周の長さとして読む

正弦定理を使うと、この和には別の意味が見えます^[2]。

$sin A = \frac{a}{2 R}$ などを入れます。

$sin A + sin B + sin C = \frac{a + b + c}{2 R}$

分子は三角形の周の長さです。外接円の半径 $R$ を固定すれば、和は周に比例します。

つまり「外接円が同じ三角形のうち、周が最も長いのはどれか」という問題と同じこと。

答えが正三角形になるのは直観とも合っていて、いちばん丸い形がいちばん長い周を持ちます。

半径 $1$ の円なら、周の最大は $2 \times \frac{3 3}{2} = 33$ 。正三角形の 1 辺 $3$ の 3 倍です。

cos の和にも同じ手

$cos A + cos B + cos C$ の最大も、同じ議論で出ます。

$C$ を止めて和積を当てます。 $cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ 。

$\frac{A + B}{2}$ は $\frac{π}{2}$ より小さいので $cos \frac{A + B}{2} > 0$ 。掛ける相手が正です。

だから $cos \frac{A - B}{2}$ が最大、つまり $A = B$ のときに全体も最大。

3 つそろえて正三角形。値は $3 cos \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ です。

$cos A + cos B + cos C \leq \frac{3}{2}$

$sin$ のときと符号の扱いが同じなので、議論をそのまま流用できます。

$sin A + sin B + sin C$	最大 $\frac{3 3}{2}$
$cos A + cos B + cos C$	最大 $\frac{3}{2}$
$sin A sin B sin C$	最大 $\frac{3 3}{8}$
$sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} sin \frac{C}{2}$	最大 $\frac{1}{8}$

どれも正三角形で最大になります。対称な式が対称な形で極値をとる、という見方もできます。

積のとき

$sin A sin B sin C$ も同じ手が使えます。今度は積和のほうです。

$C$ を止めて $sin A sin B$ を開きます^[3]。

$sin A sin B = \frac{1}{2} {cos (A - B) - cos (A + B)}$

$cos (A + B)$ は固定なので、動くのは $cos (A - B)$ だけ。最大は $A = B$ のときの $1$ 。

$sin C$ が正なので、掛けても向きは変わりません。やはり $A = B$ で最大。

3 つそろえて $(\frac{3}{2})^{3} = \frac{3 3}{8} ≒ 0.6495$ 。

和なら和積、積なら積和。開いてから「固定される部分」と「動く部分」に分けるのが共通の手です。

3 辺の和のとりうる範囲

外接円の半径が $1$ の三角形で、周の長さ $a + b + c$ の範囲を出します。

$a + b + c = 2 (sin A + sin B + sin C)$ です。

最大は $2 \times \frac{3 3}{2} = 33 ≒ 5.196$ で、正三角形のときです。

最小はどうでしょう。三角形がつぶれていく形を考えます。

$C \to 0$ とすると $A + B \to π$ で、 $sin A + sin B \to 2 sin \frac{π}{2} cos \frac{A - B}{2}$ 。

$A \to π$ 、 $B \to 0$ なら $cos \frac{A - B}{2} \to 0$ で、和は $0$ に近づきます。

ただし $0$ にはなりません。三角形がつぶれてしまうためです。範囲は $0 < a + b + c \leq 33$ 。

最小値は存在しません。上には最大がありますが、下は限りなく $0$ に近づくだけで、そこに届く三角形がないためです。

最大はあるのに最小がないのは、つぶれた三角形が仲間に入らないからです。

$A = π$ 、 $B = C = 0$ は三角形ではありません。境目が除かれているので、そこでの値は達成されません。

まちがえやすい点

$sin \frac{A + B}{2}$ が正であることの確認を飛ばす誤りが多い。負なら不等号の向きが逆になります。

$A + B = π - C < π$ なので $\frac{A + B}{2} < \frac{π}{2}$ 。だから $sin$ も $cos$ も正です。

$A = B$ を 1 回示しただけで正三角形と結論する形もよく見ます。3 通りとも言えて初めて決まります。

$cos$ の和で $A + B + C = π$ を使い忘れる誤りもあります。角は 3 つとも自由ではありません。

最小値を $0$ と答える誤りも起きます。三角形として成立しない位置なので、達成されません。

外接円の半径が $1$ の三角形で、周の長さの最大値はどれですか。

$33$
$2 π$
$6$

__RESULT__

正弦定理より $a + b + c = 2 (sin A + sin B + sin C)$ で、和の最大は $\frac{3 3}{2}$ です。 $2$ を掛けて $33 ≒ 5.196$ になります。 $2 π ≒ 6.28$ は円周そのもので、内接する三角形の周より長くなります。

議論の道具も確かめます。

$C$ を固定したとき、 $sin A + sin B$ が最大になるのはどんなときですか。

$A$ が最大のとき
$A = B$ のとき
$A - B = \frac{π}{2}$ のとき

__RESULT__

和積で $2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ と開くと、 $C$ が固定なら前半は定数です。動くのは $cos \frac{A - B}{2}$ だけで、最大は $A - B = 0$ のときの $1$ になります。前半が正なので、向きも変わりません。

$C$ を止めて和積で開くと $A = B$ が出ます。3 通りとも言えば、形は正三角形に決まります。

参考

Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（和積）.

Non-right Triangles: Law of Sines. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（

sin A = \frac{a}{2 R}

）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.8 の注（積和の 3 本）.

$\sin A + \sin B + \sin C$ の最大は $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ です。$C$ を止めて和積で開くと $2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$ となり、前半が定数なので $A = B$ のとき最大。同じことがどの 2 つについても言えるので、3 つそろって正三角形に決まります。正弦定理を使えば、この和は外接円を固定したときの周の長さそのもの。$\cos$ の和にも $\sin$ の積にも同じ手が効きます。周の長さには最大がありますが、下は $0$ に近づくだけで最小がありません。