式ひとつで三角形の形が決まる、辺と角のどちらにそろえるか

$sin A = 2 sin B cos C$ という条件だけで、三角形は $b = c$ の二等辺三角形に決まります。

どんな三角形でも $sin A = sin B cos C + cos B sin C$ が成り立ちます。条件式と見比べると、右辺に並ぶ 2 つの項が等しいと分かる。

$sin B cos C + cos B sin C sin C cos B - cos C sin B sin (C - B) = 2 sin B cos C = 0 = 0$

$B$ も $C$ も $0$ と $π$ のあいだにあるため、 $C - B$ の動く範囲は $- π$ から $π$ まで。この範囲で $sin$ が $0$ になるのは $C - B = 0$ のときだけです。

$B = C$ なら向かい合う辺も等しくなり、 $b = c$ 。頂点 $A$ を頂角とする二等辺三角形。

どの三角形でも成り立つ式

$A + B + C = π$ から $A = π - (B + C)$ 。両辺の $sin$ をとると $sin A = sin (B + C)$ になる。右辺を加法定理でばらしたものが、冒頭で使った式です。

$sin A = sin B cos C + cos B sin C$

正弦定理は $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ です。 $sin A = \frac{a}{2 R}$ と書けるので、上の式の 3 か所を辺に直す。

$\frac{a}{2 R} a = \frac{b}{2 R} cos C + cos B \cdot \frac{c}{2 R} = b cos C + c cos B$

両辺を $2 R$ 倍しただけで、この式と $sin A = sin B cos C + cos B sin C$ は 1 つの同じ式です。

$a = b cos C + c cos B$ は図でも読めます。頂点 $A$ から $BC$ へ高さを下ろす。

直角三角形 $ABH$ で $BH = AB cos B = c cos B$ 。同じように $HC = b cos C$ です。

$B$ が鈍角なら、 $H$ は線分 $BC$ の外に出る。このとき $cos B$ が負のため、 $c cos B$ も負になり、式はそのまま成り立つ。

条件の式から三角形の形を決める問題では、角にそろえるか辺にそろえるかを先に決めます。

例 1： $sin A = 2 sin B cos C$ を辺で解く

同じ条件を今度は辺にそろえて解く。 $sin A = \frac{a}{2 R}$ 、 $sin B = \frac{b}{2 R}$ 、余弦定理から $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ 。

$\frac{a}{2 R} = 2 \cdot \frac{b}{2 R} \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

先頭の $2$ が $2 R$ の $2$ と打ち消し合い、 $b$ も約分される。

$2 \cdot \frac{b}{2 R} \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{b}{R} \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 R a}$

左辺と並べて、両辺に $2 R a$ をかけます。

$\frac{a}{2 R} a^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 R a} = a^{2} + b^{2} - c^{2}$

$b^{2} = c^{2}$ になり、辺の長さは正だから $b = c$ 。冒頭と同じ答えです。

例 2： $sin^{2} A = sin^{2} B + sin^{2} C$

$sin$ の 2 乗しか使われていない形です。 $sin A = \frac{a}{2 R}$ を 2 乗して入れる。

$\frac{a ^{2}}{4 R ^{2}} = \frac{b ^{2}}{4 R ^{2}} + \frac{c ^{2}}{4 R ^{2}}$

どの項も $4 R^{2}$ で割った形です。両辺を $4 R^{2}$ 倍する。

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

三平方の定理の形になり、 $A = 9 0^{\circ}$ の直角三角形。 $a$ が斜辺です。

角にそろえても同じ答えにたどり着く。 $sin A = sin (B + C)$ を入れると、左辺は $sin^{2} (B + C)$ になります。

展開して整理すると $2 sin B sin C cos (B + C) = 0$ 。 $sin B$ も $sin C$ も $0$ ではないので、 $B + C = \frac{π}{2}$ になる。

ただし 2 乗を展開してから $sin B sin C$ でくくる手順が入る。

例 3： $a cos A = b cos B$

正弦定理で $a = 2 R sin A$ 、 $b = 2 R sin B$ とすると、両辺の $2 R$ が消える。

$sin A cos A = sin B cos B$

2 倍角の公式で $sin A cos A = \frac{1}{2} sin 2 A$ 。両辺を 2 倍すると $sin 2 A = sin 2 B$ になる。

$2 A = 2 B$ と $2 A = π - 2 B$ の 2 通りに分ける手もあります。片側へ寄せて和積の公式をあてれば、場合を自分で数えなくても積が $0$ の形に分かれる。

$sin 2 A - sin 2 B = 2 cos (A + B) sin (A - B) = - 2 cos C sin (A - B)$

$A + B = π - C$ から、 $cos (A + B)$ を $- cos C$ と書きかえました。積が $0$ になるため、 $cos C = 0$ か $sin (A - B) = 0$ のどちらかです。

$0 < C < π$ で $cos C = 0$ になるのは $C = \frac{π}{2}$ 。 $- π < A - B < π$ で $sin (A - B) = 0$ になるのは $A = B$ 。

答えは $a = b$ の二等辺三角形、または $C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形です。二等辺とだけ書くと、どの 2 辺が等しいかまでは伝わりません。

例 4： $a cos A = b cos B$ を辺で解く

例 3 と同じ条件に、今度は余弦定理を入れる。

$a \cdot \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = b \cdot \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$

両辺を $2 ab c$ 倍します。

$a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4} a^{2} c^{2} - a^{4} = b^{2} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) = a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} - b^{4} = b^{2} c^{2} - b^{4}$

左辺へ寄せます。 $a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})$ だから、 $a^{2} - b^{2}$ が共通の因数になる。

$a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} - a^{4} + b^{4} c^{2} (a^{2} - b^{2}) - (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) (a^{2} - b^{2}) (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 0 = 0 = 0$

$a^{2} = b^{2}$ から $a = b$ 、 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ から $C = 9 0^{\circ}$ 。例 3 と同じ 2 つに分かれました。

割ると答えが 1 つ消える

例 4 の最後は $(a^{2} - b^{2}) (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 0$ でした。ここで $a^{2} - b^{2}$ で割ると、 $c^{2} - a^{2} - b^{2} = 0$ だけが残ります。

$a = b$ の三角形では $a^{2} - b^{2} = 0$ です。 $0$ で割ったことになり、二等辺三角形の答えは消えている。

積が $0$ という形のままにすれば、 $a^{2} - b^{2} = 0$ と $c^{2} - a^{2} - b^{2} = 0$ が並んだまま残る。

角にそろえた場合も同じです。例 3 の $- 2 cos C sin (A - B) = 0$ を $sin (A - B)$ で割れば、 $A = B$ が落ちる。

例 5：形が決まらない式

$sin A = sin B cos C + cos B sin C$ が条件として与えられたとします。

右辺は加法定理で $sin (B + C)$ にまとまる。 $B + C = π - A$ だから $sin (B + C) = sin A$ 。

$sin A = sin A$

左辺と右辺はいつでも等しく、形は 1 つに絞られません。すべての三角形が条件を満たします。

条件式が恒等式そのものだと、この形になる。 $a = b cos C + c cos B$ を辺のまま与えられたときも変わりません。

式を見てどちらにそろえるか決める

$sin A$ を $\frac{a}{2 R}$ に置きかえると、 $2 R$ がどの項にもついてきます。 $sin$ だけで書かれた式なら、両辺を $2 R$ 倍すれば $a$ 、 $b$ 、 $c$ だけの式になる。 $sin$ が 2 乗のときは $4 R^{2}$ 倍になる。

$cos$ の混ざる式を辺に直すと、余弦定理の分数が入って次数も上がる。角にそろえるほうは、加法定理や 2 倍角で角の個数が減っていく。

角にそろえる

$sin A = sin B cos C + cos B sin C$ と見比べる。加法定理で $A$ を消し、2 倍角と和積で $sin$ の積を 1 つの $sin$ にまとめる

辺にそろえる

$a = b cos C + c cos B$ と見比べる。正弦定理と余弦定理で $a$ 、 $b$ 、 $c$ だけの式にして、因数分解する

条件式に cos が混ざるかどうかを見る

sin だけなら正弦定理で辺にそろえる

cos が混ざるなら角にそろえて加法定理か 2 倍角をあてる

積が 0 の形まで因数分解して、等しい辺と角を読む

ここまでの例を並べます。

$sin A = 2 sin B cos C$	恒等式の右辺の 2 項が等しいと読む
$sin^{2} A = sin^{2} B + sin^{2} C$	辺に直し、両辺を $4 R^{2}$ 倍する
$a cos A = b cos B$	2 倍角と和積で $cos C sin (A - B) = 0$ へ
同じ式を辺にそろえると	$(a^{2} - b^{2}) (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 0$ へ
$sin A = sin (B + C)$ と同じ式	恒等式なので形は決まらない

$sin^{2} A + sin^{2} B = sin^{2} C$ を満たす三角形はどれですか。

$a = b$ の二等辺三角形
$C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形
正三角形

__RESULT__

$sin$ の 2 乗だけなので辺に直します。 $\frac{a ^{2}}{4 R ^{2}} + \frac{b ^{2}}{4 R ^{2}} = \frac{c ^{2}}{4 R ^{2}}$ の両辺を $4 R^{2}$ 倍すると $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ になり、 $c$ を斜辺とする直角三角形です。

$a cos B = b cos A$ を満たす三角形はどれですか。

$a = b$ の二等辺三角形だけ
$a = b$ の二等辺三角形、または $C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形
すべての三角形

__RESULT__

正弦定理で $sin A cos B = sin B cos A$ 、移項して $sin (A - B) = 0$ なので $A = B$ だけが残ります。例 3 の $a cos A = b cos B$ は辺と角の文字がそろっているため $sin 2 A = sin 2 B$ になり、そちらは 2 通りに分かれます。

$sin$ の積を 1 つの $sin$ にまとめるか、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ だけの式にして因数分解するか。どちらも $A + B + C = π$ を書き直しているところは同じです。

$\sin A = 2\sin B\cos C$ という条件だけで、三角形は $b = c$ の二等辺三角形に決まります。どんな三角形でも $\sin A = \sin B\cos C + \cos B\sin C$ が成り立つので、条件式と見比べれば右辺の 2 項が等しいと分かる。両辺を $2R$ 倍すると $a = b\cos C + c\cos B$、辺だけで書いた同じ式です。角にそろえても辺にそろえても、行き着く先は変わらない。$a\cos A = b\cos B$ のように答えが 2 通りに分かれる型と、$a^2 - b^2$ で割ると二等辺三角形の答えが消えるところまで。

式ひとつで三角形の形が決まる、辺と角のどちらにそろえるか

どの三角形でも成り立つ式

例 1：sinA=2sinBcosC を辺で解く

例 2：sin2A=sin2B+sin2C

例 3：acosA=bcosB

例 4：acosA=bcosB を辺で解く