正 n 角形の面積と 1 辺の長さ（外接円の半径から出す）

半径 $1$ の円に内接する正十二角形の面積は、ちょうど $3$ です。

正 $n$ 角形の面積は、外接円の半径 $R$ だけで決まります^[1]。

$$S=\frac{1}{2}n{R}^2\sin \frac{2\pi }{n}$$

$n=12$、$R=1$ を入れると $\frac{1}{2}\times 12\times \sin \frac{\pi }{6}=6\times \frac{1}{2}=3$。

角の数が増えるほど円に近づき、面積は $\pi$ へ寄っていきます。$n=12$ で $3$ というのは、その途中の値です。

二等辺三角形 n 個に分ける

正 $n$ 角形の中心と、各頂点を結びます。合同な二等辺三角形が $n$ 個できます。

1 つの三角形の 2 辺は、どちらも外接円の半径 $R$。挟む角は中心を $n$ 等分した $\frac{2\pi }{n}$ です。

2 辺と挟む角があるので、面積の公式がそのまま使えます^[2]。

$$\text{三角形 1 個}=\frac{1}{2}{R}^2\sin \frac{2\pi }{n}$$

これを $n$ 個ぶん足したものが、冒頭の式です。導出はこれだけ。

$n=6$ なら中心角は $\frac{\pi }{3}$ で、三角形は正三角形になります。正六角形が特別に扱いやすい理由です。

1 辺の長さ

二等辺三角形の底辺が、正 $n$ 角形の 1 辺です。

頂角 $\frac{2\pi }{n}$ を二等分する線を引くと、直角三角形が 2 つできます。

半分の角は $\frac{\pi }{n}$、斜辺は $R$。底辺の半分は $R\sin \frac{\pi }{n}$ です。

$$a=2R\sin \frac{\pi }{n}$$

$n=6$、$R=1$ なら $2\sin \frac{\pi }{6}=1$。正六角形の 1 辺は半径と同じ長さになります^[1]。

$n=4$ なら $2\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$。半径 $1$ の円に内接する正方形の 1 辺です。

同じ直角三角形から、中心と辺の中点との距離も出ます。$R\cos \frac{\pi }{n}$ で、内接円の半径です。

内角の大きさだけは三角関数を使いません。内角の和 $(n-2)\pi$ を $n$ で割った値です^[1]。

例：3 つ並べてみる

$R=1$ で計算します。

正三角形は $\frac{1}{2}\times 3\times \sin \frac{2\pi }{3}=\frac{3}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\fallingdotseq 1.299$。

正方形は $\frac{1}{2}\times 4\times \sin \frac{\pi }{2}=2$。

正六角形は $\frac{1}{2}\times 6\times \sin \frac{\pi }{3}=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\fallingdotseq 2.598$。

正八角形は $\frac{1}{2}\times 8\times \sin \frac{\pi }{4}=4\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\fallingdotseq 2.828$。

正十二角形は $3$ ちょうど。$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ という有名角が効いて、根号が消えます。

円の面積は $\pi \fallingdotseq 3.1416$。$n$ が増えるほど、この値へ下から近づいていきます。

n を大きくすると円になる

面積の式を書き換えてみます。$\frac{2\pi }{n}$ を 1 かたまりと見ます。

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}n{R}^2\sin \frac{2\pi }{n}\\ & =\pi R^2\cdot \frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{\frac{2\pi }{n}}\end{array}$$

$\frac{1}{2}n=\frac{\pi }{2\pi /n}$ を使って、$\pi R^2$ を外に出した形です。

$n$ を大きくすると $\frac{2\pi }{n}$ は $0$ へ向かいます。残った分数は $\frac{\sin x}{x}$ の形。

この値は $1$ に近づくので、$S$ は $\pi R^2$ へ向かいます^[3]。円の面積そのものです。

周の長さでも同じことが起きます。$2nR\sin \frac{\pi }{n}=2\pi R\cdot \frac{\sin \frac{\pi }{n}}{\frac{\pi }{n}}\to 2\pi R$。

正 $n$ 角形の公式は、$n\to \infty$ で円の公式に化ける。両者は地続きです。

内接円の側から測る場合

外接円ではなく、内接円の半径 $r$ が与えられる問題もあります。

$r=R\cos \frac{\pi }{n}$ なので $R=\frac{r}{\cos \frac{\pi }{n}}$。これを面積の式に入れます。

整理すると次の形になります。

$$S=n{r}^2\tan \frac{\pi }{n},a=2r\tan \frac{\pi }{n}$$

$\sin$ が $\tan$ に変わりました。中心と辺の中点を結ぶ直角三角形で、$r$ が隣辺になるためです。

$n=4$、$r=1$ なら $S=4\tan \frac{\pi }{4}=4$。1 辺 $2$ の正方形で、確かに面積 $4$ です。

$n=6$、$r=1$ なら $S=6\tan \frac{\pi }{6}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\fallingdotseq 3.464$。

外接円のときより大きくなります。多角形が円の外側にあるためです。

まちがえやすい点

面積の式で $\sin \frac{\pi }{n}$ と $\sin \frac{2\pi }{n}$ をとりちがえる誤りが最も多い。

面積は中心角そのものなので $\frac{2\pi }{n}$、1 辺はそれを半分にした $\frac{\pi }{n}$ です。

$\frac{1}{2}$ を落とす誤りもよく起きます。三角形 1 個の面積が $\frac{1}{2}{R}^2\sin \theta$ です。

外接円と内接円をとりちがえる形も見ます。頂点を通るのが外接円、辺に接するのが内接円。

$n$ を大きくすれば面積が円を超える、と考える誤りもあります。内接している限り、超えません。

1 辺のほうも確かめます。

中心から頂点へ引いて二等辺三角形 $n$ 個に分ける。正多角形の公式は、そこから全部出ます。

出典