正 n 角形の面積と 1 辺の長さ（外接円の半径から出す）

半径 $1$ の円に内接する正十二角形の面積は、ちょうど $3$ です。

正 $n$ 角形の面積は、外接円の半径 $R$ だけで決まります^[1]。

$S = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{2 π}{n}$

$n = 12$ 、 $R = 1$ を入れると $\frac{1}{2} \times 12 \times sin \frac{π}{6} = 6 \times \frac{1}{2} = 3$ 。

角の数が増えるほど円に近づき、面積は $π$ へ寄っていきます。 $n = 12$ で $3$ というのは、その途中の値です。

二等辺三角形 n 個に分ける

正 $n$ 角形の中心と、各頂点を結びます。合同な二等辺三角形が $n$ 個できます。

1 つの三角形の 2 辺は、どちらも外接円の半径 $R$ 。挟む角は中心を $n$ 等分した $\frac{2 π}{n}$ です。

2 辺と挟む角があるので、面積の公式がそのまま使えます^[2]。

$三角形 1 個 = \frac{1}{2} R^{2} sin \frac{2 π}{n}$

これを $n$ 個ぶん足したものが、冒頭の式です。導出はこれだけ。

$n = 6$ なら中心角は $\frac{π}{3}$ で、三角形は正三角形になります。正六角形が特別に扱いやすい理由です。

1 辺の長さ

二等辺三角形の底辺が、正 $n$ 角形の 1 辺です。

頂角 $\frac{2 π}{n}$ を二等分する線を引くと、直角三角形が 2 つできます。

半分の角は $\frac{π}{n}$ 、斜辺は $R$ 。底辺の半分は $R sin \frac{π}{n}$ です。

$a = 2 R sin \frac{π}{n}$

$n = 6$ 、 $R = 1$ なら $2 sin \frac{π}{6} = 1$ 。正六角形の 1 辺は半径と同じ長さになります^[1]。

$n = 4$ なら $2 sin \frac{π}{4} = 2$ 。半径 $1$ の円に内接する正方形の 1 辺です。

同じ直角三角形から、中心と辺の中点との距離も出ます。 $R cos \frac{π}{n}$ で、内接円の半径です。

中心角	$\frac{2 π}{n}$
1 辺	$2 R sin \frac{π}{n}$
内接円の半径	$R cos \frac{π}{n}$
面積	$\frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{2 π}{n}$
周の長さ	$2 n R sin \frac{π}{n}$
1 つの内角	$\frac{( n - 2 ) π}{n}$

内角の大きさだけは三角関数を使いません。内角の和 $(n - 2) π$ を $n$ で割った値です^[1]。

例：3 つ並べてみる

$R = 1$ で計算します。

正三角形は $\frac{1}{2} \times 3 \times sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3 3}{4} ≒ 1.299$ 。

正方形は $\frac{1}{2} \times 4 \times sin \frac{π}{2} = 2$ 。

正六角形は $\frac{1}{2} \times 6 \times sin \frac{π}{3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2} ≒ 2.598$ 。

正八角形は $\frac{1}{2} \times 8 \times sin \frac{π}{4} = 4 \times \frac{2}{2} = 22 ≒ 2.828$ 。

正十二角形は $3$ ちょうど。 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ という有名角が効いて、根号が消えます。

円の面積は $π ≒ 3.1416$ 。 $n$ が増えるほど、この値へ下から近づいていきます。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

n を大きくすると円になる

面積の式を書き換えてみます。 $\frac{2 π}{n}$ を 1 かたまりと見ます。

$S = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{2 π}{n} = π R^{2} \cdot \frac{sin \frac{2 π}{n}}{\frac{2 π}{n}}$

$\frac{1}{2} n = \frac{π}{2 π / n}$ を使って、 $π R^{2}$ を外に出した形です。

$n$ を大きくすると $\frac{2 π}{n}$ は $0$ へ向かいます。残った分数は $\frac{sin x}{x}$ の形。

この値は $1$ に近づくので、 $S$ は $π R^{2}$ へ向かいます^[3]。円の面積そのものです。

周の長さでも同じことが起きます。 $2 n R sin \frac{π}{n} = 2 π R \cdot \frac{sin \frac{π}{n}}{\frac{π}{n}} \to 2 π R$ 。

正 $n$ 角形の公式は、 $n \to \infty$ で円の公式に化ける。両者は地続きです。

$\frac{sin x}{x} \to 1$ が効くのは、角をラジアンで測っているからです。

度で測ると $\frac{π}{180}$ が残り、面積が $π R^{2}$ になりません。ここでも弧度法が式を通しています。

内接円の側から測る場合

外接円ではなく、内接円の半径 $r$ が与えられる問題もあります。

$r = R cos \frac{π}{n}$ なので $R = \frac{r}{cos \frac{π}{n}}$ 。これを面積の式に入れます。

整理すると次の形になります。

$S = n r^{2} tan \frac{π}{n}, a = 2 r tan \frac{π}{n}$

$sin$ が $tan$ に変わりました。中心と辺の中点を結ぶ直角三角形で、 $r$ が隣辺になるためです。

$n = 4$ 、 $r = 1$ なら $S = 4 tan \frac{π}{4} = 4$ 。1 辺 $2$ の正方形で、確かに面積 $4$ です。

$n = 6$ 、 $r = 1$ なら $S = 6 tan \frac{π}{6} = \frac{6}{3} = 23 ≒ 3.464$ 。

外接円のときより大きくなります。多角形が円の外側にあるためです。

まちがえやすい点

面積の式で $sin \frac{π}{n}$ と $sin \frac{2 π}{n}$ をとりちがえる誤りが最も多い。

面積は中心角そのものなので $\frac{2 π}{n}$ 、1 辺はそれを半分にした $\frac{π}{n}$ です。

$\frac{1}{2}$ を落とす誤りもよく起きます。三角形 1 個の面積が $\frac{1}{2} R^{2} sin θ$ です。

外接円と内接円をとりちがえる形も見ます。頂点を通るのが外接円、辺に接するのが内接円。

$n$ を大きくすれば面積が円を超える、と考える誤りもあります。内接している限り、超えません。

半径 $1$ の円に内接する正六角形の面積はどれですか。

$3$
$\frac{3 3}{2}$
$23$

__RESULT__

$\frac{1}{2} \times 6 \times 1^{2} \times sin \frac{2 π}{6} = 3 sin \frac{π}{3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2}$ です。およそ $2.598$ 。 $3$ は正十二角形の面積、 $23$ は内接円の半径が $1$ の場合の値です。

1 辺のほうも確かめます。

半径 $R$ の円に内接する正八角形の 1 辺の長さはどれですか。

$2 R sin \frac{π}{8}$
$2 R sin \frac{π}{4}$
$R sin \frac{2 π}{8}$

__RESULT__

1 辺は $2 R sin \frac{π}{n}$ で、 $n = 8$ なので $2 R sin \frac{π}{8}$ です。中心角 $\frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}$ を二等分した角が $\frac{π}{8}$ で、その $sin$ に半径を掛けたものが底辺の半分になります。

中心から頂点へ引いて二等辺三角形 $n$ 個に分ける。正多角形の公式は、そこから全部出ます。

出典

Regular Polygon. MathWorld（

a = 2 R sin \frac{π}{n}

、

A = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{2 π}{n}

、

r = R cos \frac{π}{n}

、内角の和）.

Non-right Triangles: Law of Sines. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（2 辺と挟む角による面積公式）.

Proof of Trig Limits. Paul's Online Notes, Lamar University（

\frac{s i n x}{x} \to 1

）.

半径 $1$ の円に内接する正十二角形の面積は、ちょうど $3$ です。$\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ が効いて根号が消えます。導き方は単純で、中心から頂点へ引いて合同な二等辺三角形 $n$ 個に分けるだけ。1 個の面積が $\dfrac{1}{2}R^2\sin\dfrac{2\pi}{n}$ なので、$n$ 倍すれば全体が出ます。1 辺は $2R\sin\dfrac{\pi}{n}$、内接円の半径は $R\cos\dfrac{\pi}{n}$。面積の式を $\pi R^2 \cdot \dfrac{\sin x}{x}$ の形に書き直すと、$n \to \infty$ で円の公式に化けます。内接円の側から測る $nr^2\tan\dfrac{\pi}{n}$ まで。