$2\sin^2\theta - 2\sin\theta + a = 0$ の解は、$a$ の値で $0$ 個から $4$ 個まで変わります。$t = \sin\theta$ と置いて 2 次方程式にしても、それだけでは決まりません。数え方が二段構えだからです。$t$ が何個出るか、その各 $t$ から $\theta$ が何個出るか。$-1 < t < 1$ なら $\theta$ は 2 個ですが、$t = \pm 1$ では 1 個。ここで奇数が生まれます。$a$ を分離して放物線と横線の交点として数える手順と、存在条件だけなら値域を出すだけで済む話まで。