解が何個あるかは置きかえた先の範囲で決まる（解の個数と存在条件）

$2{\sin }^2\theta -2\sin \theta +a=0$ の解の個数は、$a$ の値で $0$ 個から $4$ 個まで変わります。

$t=\sin \theta$ と置けば 2 次方程式です。ただし、解の個数はそれで決まりません。

数え方が二段構えになるためです。$t$ が何個出るか。その各 $t$ から $\theta$ が何個出るか。

2 段目を忘れると、答えが半分になります。

1 つの t から θ は何個出るか

$\sin \theta =t$ を $0\le \theta <2\pi$ で解いたときの個数を先に押さえます^[1]。

単位円に横線 $y=t$ を引いて、交点を数えるだけです。

$-1<t<1$ なら交点は 2 個。$t=1$ と $t=-1$ では 1 個。$|t|>1$ なら $0$ 個。

境目の $t=\pm 1$ だけ個数が半分になります。横線が円の頂点や底に接するためです。

この 1 個と 2 個の切り替わりが、あとの場合分けをすべて生みます。

a を分離する

$2{\sin }^2\theta -2\sin \theta +a=0$ に戻ります。$t=\sin \theta$ と置くと $2t^2-2t+a=0$。

$a$ について解きます。$a=-2t^2+2t$。

こうすると、$a$ が定数の横線、$-2t^2+2t$ が放物線になります。交点の個数を数える形です^[2]。

平方完成して $a=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$。上に凸で、頂点は $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。

$t$ の範囲は $-1\le t\le 1$ です。この区間だけを描きます。

区間の端の値を出します。$t=-1$ で $a=-4$、$t=1$ で $a=0$。

左端から頂点まで上がり、頂点から右端まで下がる。左右で高さが違う山になっています。

場合分け

横線 $a$ を上から下ろしていきます。

$a>\frac{1}{2}$ では放物線と交わりません。$t$ が存在しないので $\theta$ も $0$ 個。

$a=\frac{1}{2}$ では頂点で接します。$t=\frac{1}{2}$ の 1 個で、$-1<t<1$ なので $\theta$ は 2 個。

$0<a<\frac{1}{2}$ では 2 点で交わります。どちらも $0<t<1$ に入るので、$\theta$ は $2\times 2=4$ 個。

$a=0$ では $t=0$ と $t=1$ が出ます。前者から $\theta$ が 2 個、後者から 1 個で、合わせて 3 個。

$-4<a<0$ では交点が 2 つ出ますが、片方の $t$ が $1$ を超えて範囲の外です。生きるのは 1 個で、$\theta$ は 2 個。

$a=-4$ では $t=-1$ の 1 個だけ。$\theta$ は 1 個です。

$a<-4$ では交わらず $0$ 個。

$a=0$ のところだけ奇数になります。$t=1$ という端の値が混じるためです。

存在条件だけを聞かれたら

「解を持つ $a$ の範囲」なら、個数まで数える必要はありません。

放物線が $-1\le t\le 1$ でとる値の範囲を出すだけです。

最小は $t=-1$ での $-4$、最大は頂点での $\frac{1}{2}$。

$$-4\le a\le \frac{1}{2}$$

この範囲なら横線が放物線と必ず交わり、$t$ が存在します。$t$ が範囲内なら $\theta$ も必ずある。

個数の場合分けに比べて、ずっと軽く済みます。何を聞かれているかを先に読みます。

cos に置きかえる場合

$\cos$ でも手順は同じですが、端の扱いが少し違います。

$\cos \theta =t$ の解の個数は、$-1<t<1$ で 2 個、$t=1$ で 1 個（$\theta =0$）、$t=-1$ で 1 個（$\theta =\pi$）。

$\sin$ と同じ数え方に見えますが、対応する $\theta$ の位置が違います。

$\sin \theta =1$ は $\theta =\frac{\pi }{2}$、$\cos \theta =1$ は $\theta =0$ です。

範囲が $0\le \theta <2\pi$ でなく $0<\theta \le 2\pi$ のような形だと、この差が効いてきます。

範囲の端が開いているか閉じているかを、毎回確かめます。

2θ が入る場合

$\sin 2\theta$ が入っていると、もう一段増えます。

$0\le \theta <2\pi$ なら $0\le 2\theta <4\pi$ で、$\sin 2\theta =t$ の解は $-1<t<1$ のとき 4 個。

$t=\pm 1$ なら 2 個です。1 周あたりの個数が、そのまま 2 周ぶんになります。

置きかえの段数が増えるほど、数え方も掛け算で増えていく。どの段でいくつ出るかを順に書きます。

まちがえやすい点

$t$ の個数を答えて終わる誤りが最も多い。聞かれているのは $\theta$ の個数です。

$t$ の範囲 $-1\le t\le 1$ を書き忘れる誤りも同じくらい起きます。範囲外の $t$ は捨てます。

端の $t=\pm 1$ で個数が 1 個になることを見落とす形もよく見ます。ここで奇数が生まれます。

$a$ を分離せずに判別式で処理しようとすると、範囲の条件が別に要って重くなります。分離するほうが速い。

放物線を全区間で描いてしまう誤りもあります。$-1\le t\le 1$ だけを描きます。

存在条件も確かめます。

$t$ が何個、その $t$ から $\theta$ が何個。二段に分けて数えれば、個数の問題は落ち着きます。

出典