tan のグラフと周期 π｜漸近線でちぎれる関数

$y=\tan x$ のグラフは、1 本につながっていません。等間隔にちぎれています。

$\sin$ や $\cos$ が滑らかに続くのとは、見た目からして別物です。

理由は定義にあります。$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\cos x=0$ の場所では値がない^[1]。

そこに縦の漸近線が立ち、グラフはそこで切れて次の区間へ移ります。

周期も違います。$\sin$ と $\cos$ が $2\pi$ で戻るのに対し、$\tan$ は $\pi$ で戻る。

半周で戻る理由

$\theta$ の点と $\theta +\pi$ の点は、原点について対称の位置にあります。

座標でいえば $(\cos \theta ,\sin \theta )$ と $(-\cos \theta ,-\sin \theta )$。両方の符号が変わります。

$\tan$ はこの 2 つの比です。$\frac{-\sin \theta }{-\cos \theta }=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$。

分母分子で符号が打ち消し合って、値が変わりません^[2]。

$$\tan (\theta +\pi )=\tan \theta$$

$\sin$ や $\cos$ は片方の符号しか使わないので、こうはなりません。比をとる $\tan$ だけの性質です。

だから $\tan$ の周期は $\pi$。$2\pi$ ではなく、その半分で足ります。

漸近線は π ごとに立つ

$\cos x=0$ になるのは $x=\frac{\pi }{2}$、$\frac{3}{2}\pi$、$-\frac{\pi }{2}$ など。

まとめて書けば $x=\frac{\pi }{2}+n\pi$ です。$n$ は整数^[1]。

この位置に縦の漸近線が立ちます。グラフは近づきますが、決して触れません。

漸近線と漸近線のあいだが 1 区間で、幅は $\pi$。ここに周期 $\pi$ が現れています。

区間の中では、グラフは左下から右上へ上がり続けます。$-\infty$ から $+\infty$ まで、途切れずに。

定義域は $x\ne \frac{\pi }{2}+n\pi$、値域はすべての実数です^[1]。

$\sin$ や $\cos$ に値域の壁があるのと対照的。$\tan$ には上限も下限もありません。

区間の中では増え続ける

$-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ の区間を見ます。ここで $\tan$ は増加し続けます。

単位円で確かめられます。$x=1$ の縦線を引き、原点と円上の点を結ぶ直線が切る高さが $\tan$ でした。

角が大きくなるほど直線は反時計回りに倒れ、切る高さは上がっていきます。

$\frac{\pi }{2}$ に近づくと直線がほぼ縦になり、交点は上へ飛んでいく。だから値が際限なく大きくなります。

$-\frac{\pi }{2}$ 側では逆に下へ飛ぶ。区間の両端で $-\infty$ と $+\infty$ につながっています。

増え続けるので、この区間では同じ値が 2 回出てきません。1 対 1 に対応します。

平行移動と伸縮

$y=\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ は、$y=\tan x$ を右へ $\frac{\pi }{4}$ 動かした形です。

漸近線も一緒に動きます。中身が $\frac{\pi }{2}+n\pi$ になる $x$ を探す。

$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+n\pi$ から $x=\frac{3}{4}\pi +n\pi$。$\frac{\pi }{4}$ ぶん右へずれました。

$y=\tan 2x$ なら横に $\frac{1}{2}$ 倍に縮みます。周期は $\frac{\pi }{2}$。

一般形は $y=A\tan (Bx-C)+D$ で、周期は $\frac{\pi }{|B|}$ です^[1]。

$\sin$ や $\cos$ の $\frac{2\pi }{|B|}$ と違い、分子が $\pi$ になります。もとの周期が $\pi$ だからです。

$A$ は振幅ではありません。$\tan$ に値域の壁がないので、縦に伸ばしても「高さ」が決まらない。

値から角を拾う

$\tan x=1$ を $0\le x<2\pi$ で解きます。

$\tan$ の周期が $\pi$ なので、この範囲には解が 2 つ入ります。

$\tan \frac{\pi }{4}=1$ が 1 つ。もう 1 つは $\pi$ を足して $\frac{5}{4}\pi$。

$\sin$ や $\cos$ の方程式では、2 解が $y$ 軸や $x$ 軸について対称に並びました。$\tan$ では原点対称です。

範囲の指定がなければ $x=\frac{\pi }{4}+n\pi$ とまとめます。$2n\pi$ ではありません。

$\tan x=k$ は、$k$ がどんな実数でも必ず解を持ちます。値域が実数全体だからです。

$\sin x=2$ が解なしになるのとは違います。$\tan x=100$ にも $\tan x=-0.001$ にも解がある。

まちがえやすい点

周期を $2\pi$ とする誤りが最も多い。$\tan$ だけ $\pi$ です。

一般解を $\frac{\pi }{4}+2n\pi$ と書く誤りも、同じ原因から出ます。$n\pi$ が正しい。

漸近線を $x=n\pi$ とする誤りもよく見ます。立つのは $\cos$ が $0$ になる $\frac{\pi }{2}+n\pi$ のほうです。

$y=\tan 2x$ の周期を $\frac{2\pi }{2}=\pi$ とする形も起きます。分子は $\pi$ なので $\frac{\pi }{2}$。

グラフを漸近線でつないで 1 本に描く誤りもあります。値が飛んでいるので、つながりません。

漸近線の位置も確かめます。

比をとるから符号が消え、$\cos$ が $0$ になるから切れる。$\tan$ のグラフの特徴は、この 2 つから出ます。

出典