誘導公式は覚える必要があるのか？単位円で作り直す

誘導公式は 12 本あります。全部覚えるつもりなら、まず挫折します。

覚えるのは 2 行で足ります。

$π$ をまたぐ形では関数名が変わらず、符号だけが動く。 $\frac{π}{2}$ をまたぐ形では $sin$ と $cos$ が入れ替わる。

符号は最後に決めます。 $θ$ を鋭角だと思って、移った先がどの象限かを見るだけ^[1]。

12 本を並べてみる

角	$sin$	$cos$
$- θ$	$- sin θ$	$cos θ$
$π - θ$	$sin θ$	$- cos θ$
$π + θ$	$- sin θ$	$- cos θ$
$\frac{π}{2} - θ$	$cos θ$	$sin θ$
$\frac{π}{2} + θ$	$cos θ$	$- sin θ$

上の 3 行では、右側に出てくるのが $sin$ なら左も $sin$ です。関数名が保たれている。

下の 2 行では入れ替わっています。 $sin$ を入れたのに $cos$ が出てくる。

境目は $\frac{π}{2}$ です。 $\frac{π}{2}$ の奇数倍だけずらすと入れ替わり、偶数倍なら変わりません。

$tan$ は $\frac{sin}{cos}$ なので、2 つを割れば自動的に出ます。別に覚える必要はありません。

符号は象限で決める

$sin (\frac{π}{2} + θ)$ を出してみます。まず関数名。 $\frac{π}{2}$ をまたぐので $cos$ に変わります。

次に符号です。 $θ$ を鋭角、たとえば $3 0^{\circ}$ だと思ってみる。

$\frac{π}{2} + θ$ は $12 0^{\circ}$ で、第 2 象限にあります。第 2 象限では $sin$ が正。

だからもとの $sin (\frac{π}{2} + θ)$ は正の値です。答えは $+ cos θ$ 。

$cos (\frac{π}{2} + θ)$ なら、第 2 象限で $cos$ は負なので $- sin θ$ になります。

見るのは移った先の象限で、その象限における「もとの関数」の符号です。ここをとりちがえません。

符号を決めるとき、 $θ$ を鋭角だと仮定してよい理由があります。

誘導公式はすべての $θ$ で成り立つ等式なので、成り立つかどうかを鋭角 1 つで確かめれば足ります。仮定は符号を思い出すための道具です。

単位円で見ると対称移動

なぜこうなるのかは、単位円を見れば一目です。

$- θ$ は、 $θ$ の点を $x$ 軸で折り返した位置。 $x$ 座標はそのまま、 $y$ 座標だけ符号が変わります^[1]。

$x$ が $cos$ 、 $y$ が $sin$ なので、 $cos (- θ) = cos θ$ 、 $sin (- θ) = - sin θ$ 。

$π - θ$ は $y$ 軸で折り返した位置です。今度は $x$ だけ符号が変わる。

$π + θ$ は原点について対称な位置。両方の符号が変わります。

公式を思い出せなくても、点をどこへ動かすかを描けば、その場で作れます。

π/2 は直線 y = x で折り返す

$\frac{π}{2} - θ$ の点はどこにあるでしょう。

$θ$ の点を、直線 $y = x$ で折り返した位置です。この折り返しでは $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わります。

だから $cos$ と $sin$ も入れ替わる。 $sin (\frac{π}{2} - θ) = cos θ$ 、 $cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ$ です^[1]。

$θ$ と $\frac{π}{2} - θ$ を足すと $\frac{π}{2}$ 。互いに余角の関係にあります。

$sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ が成り立つのはこのため。座標の入れ替えが、そのまま関数名の入れ替えになります。

$\frac{π}{2} + θ$ のほうは、 $y = x$ で折り返してから $y$ 軸でもう一度折り返した位置。 $x$ の符号だけ余分に変わります。

2π を足しても変わらない

$θ$ に $2 π$ を足すと、円を 1 周して同じ点に戻ります。

$sin (θ + 2 nπ) = sin θ, cos (θ + 2 nπ) = cos θ$

$n$ は整数です。負でも成り立ちます。

$sin \frac{13}{6} π$ なら、 $\frac{13}{6} π = 2 π + \frac{π}{6}$ なので $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ 。

大きい角が出てきたら、まず $2 π$ で割った余りに直します。 $0$ から $2 π$ に収めてから公式を当てる。

$tan$ だけは $π$ で戻ります。 $tan (θ + nπ) = tan θ$ です^[2]。

例：まとめて処理する

$sin \frac{17}{6} π$ を求めます。まず $2 π$ を引いて $\frac{17}{6} π - 2 π = \frac{5}{6} π$ 。

$\frac{5}{6} π = π - \frac{π}{6}$ なので、 $π - θ$ の形です。関数名は変わりません。

$\frac{5}{6} π$ は第 2 象限で $sin$ は正。したがって $sin \frac{5}{6} π = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ 。

$cos (- \frac{2}{3} π)$ も見ます。 $cos$ は偶関数なので $cos \frac{2}{3} π$ 。

$\frac{2}{3} π = π - \frac{π}{3}$ で第 2 象限、 $cos$ は負。 $- cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ です。

手順は毎回同じ。 $2 π$ で余りにする、 $\frac{π}{2}$ の何倍ぶんずれているか見る、象限で符号を決める。

2π で割った余りに直す

π/2 の奇数倍ずれていれば関数名を入れ替える

移った先の象限で符号を決める

式を簡単にする型

$sin (\frac{π}{2} + θ) + cos (π - θ)$ を簡単にします。

前半は $\frac{π}{2}$ をまたぐので $cos$ へ。第 2 象限で $sin$ は正なので $+ cos θ$ 。

後半は $π$ をまたぐので $cos$ のまま。第 2 象限で $cos$ は負なので $- cos θ$ 。

足すと $cos θ - cos θ = 0$ 。 $θ$ によらず $0$ になりました。

こうした形は、方程式の途中で式を短くするために出てきます。値が消えると計算が一気に軽くなる。

まちがえやすい点

$\frac{π}{2}$ をまたぐのに関数名を変えない誤りが最も多い。 $sin (\frac{π}{2} + θ) = sin θ$ ではありません。

符号を決めるとき、もとの $θ$ の象限を見てしまう誤りも起きます。見るのは移った先です。

$π - θ$ と $π + θ$ の混同もよくあります。前者は $y$ 軸対称、後者は原点対称。

$sin$ の符号だけ覚えて $cos$ に当てはめる形も見ます。 $π - θ$ では $sin$ が正、 $cos$ が負で、向きが違います。

$tan$ の周期を $2 π$ とする誤りもあります。 $tan$ は $π$ で戻ります。

$cos (\frac{π}{2} + θ)$ を $θ$ の式で書くとどれですか。

$cos θ$
$- sin θ$
$sin θ$

__RESULT__

$\frac{π}{2}$ をまたぐので関数名は $sin$ に入れ替わります。 $θ$ を鋭角と見ると $\frac{π}{2} + θ$ は第 2 象限で、そこでは $cos$ が負です。したがって $- sin θ$ になります。

大きい角も確かめます。

$sin \frac{11}{6} π$ の値はどれですか。

$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{3}{2}$

__RESULT__

$\frac{11}{6} π = 2 π - \frac{π}{6}$ なので $- \frac{π}{6}$ と同じ位置、第 4 象限です。 $sin$ は奇関数なので $sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ になります。第 4 象限で $sin$ が負である点とも合います。

覚えるのは 2 行。 $π$ をまたげば符号だけ、 $\frac{π}{2}$ をまたげば関数名も。あとは象限で決まります。

参考文献

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.4（

- x

、

π \pm x

、

\frac{π}{2} \pm x

の一覧と、単位円で読む証明）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.5（

tan

の変換と周期

π

）.

12 本を全部覚えるつもりなら、まず挫折します。覚えるのは 2 行で足りる。$\pi$ をまたぐ形では関数名が変わらず符号だけが動き、$\dfrac{\pi}{2}$ をまたぐ形では $\sin$ と $\cos$ が入れ替わります。符号は $\theta$ を鋭角と見て、移った先の象限を読むだけ。単位円では $-\theta$ が $x$ 軸、$\pi-\theta$ が $y$ 軸、$\pi+\theta$ が原点についての対称移動で、$\dfrac{\pi}{2}-\theta$ だけ直線 $y=x$ の折り返しになります。座標が入れ替わるから関数名も入れ替わる。$\sin\dfrac{17}{6}\pi$ のような大きい角の処理まで。