誘導公式は覚える必要があるのか？単位円で作り直す

誘導公式は 12 本あります。全部覚えるつもりなら、まず挫折します。

覚えるのは 2 行で足ります。

$\pi$ をまたぐ形では関数名が変わらず、符号だけが動く。$\frac{\pi }{2}$ をまたぐ形では $\sin$ と $\cos$ が入れ替わる。

符号は最後に決めます。$\theta$ を鋭角だと思って、移った先がどの象限かを見るだけ^[1]。

12 本を並べてみる

上の 3 行では、右側に出てくるのが $\sin$ なら左も $\sin$ です。関数名が保たれている。

下の 2 行では入れ替わっています。$\sin$ を入れたのに $\cos$ が出てくる。

境目は $\frac{\pi }{2}$ です。$\frac{\pi }{2}$ の奇数倍だけずらすと入れ替わり、偶数倍なら変わりません。

$\tan$ は $\frac{\sin }{\cos }$ なので、2 つを割れば自動的に出ます。別に覚える必要はありません。

符号は象限で決める

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$ を出してみます。まず関数名。$\frac{\pi }{2}$ をまたぐので $\cos$ に変わります。

次に符号です。$\theta$ を鋭角、たとえば $30^{\circ }$ だと思ってみる。

$\frac{\pi }{2}+\theta$ は $120^{\circ }$ で、第 2 象限にあります。第 2 象限では $\sin$ が正。

だからもとの $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$ は正の値です。答えは $+\cos \theta$。

$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$ なら、第 2 象限で $\cos$ は負なので $-\sin \theta$ になります。

見るのは移った先の象限で、その象限における「もとの関数」の符号です。ここをとりちがえません。

単位円で見ると対称移動

なぜこうなるのかは、単位円を見れば一目です。

$-\theta$ は、$\theta$ の点を $x$ 軸で折り返した位置。$x$ 座標はそのまま、$y$ 座標だけ符号が変わります^[1]。

$x$ が $\cos$、$y$ が $\sin$ なので、$\cos (-\theta )=\cos \theta$、$\sin (-\theta )=-\sin \theta$。

$\pi -\theta$ は $y$ 軸で折り返した位置です。今度は $x$ だけ符号が変わる。

$\pi +\theta$ は原点について対称な位置。両方の符号が変わります。

公式を思い出せなくても、点をどこへ動かすかを描けば、その場で作れます。

π/2 は直線 y = x で折り返す

$\frac{\pi }{2}-\theta$ の点はどこにあるでしょう。

$\theta$ の点を、直線 $y=x$ で折り返した位置です。この折り返しでは $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わります。

だから $\cos$ と $\sin$ も入れ替わる。$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\cos \theta$、$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\sin \theta$ です^[1]。

$\theta$ と $\frac{\pi }{2}-\theta$ を足すと $\frac{\pi }{2}$。互いに余角の関係にあります。

$\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }$ が成り立つのはこのため。座標の入れ替えが、そのまま関数名の入れ替えになります。

$\frac{\pi }{2}+\theta$ のほうは、$y=x$ で折り返してから $y$ 軸でもう一度折り返した位置。$x$ の符号だけ余分に変わります。

2π を足しても変わらない

$\theta$ に $2\pi$ を足すと、円を 1 周して同じ点に戻ります。

$$\sin (\theta +2n\pi )=\sin \theta ,\cos (\theta +2n\pi )=\cos \theta$$

$n$ は整数です。負でも成り立ちます。

$\sin \frac{13}{6}\pi$ なら、$\frac{13}{6}\pi =2\pi +\frac{\pi }{6}$ なので $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。

大きい角が出てきたら、まず $2\pi$ で割った余りに直します。$0$ から $2\pi$ に収めてから公式を当てる。

$\tan$ だけは $\pi$ で戻ります。$\tan (\theta +n\pi )=\tan \theta$ です^[2]。

例：まとめて処理する

$\sin \frac{17}{6}\pi$ を求めます。まず $2\pi$ を引いて $\frac{17}{6}\pi -2\pi =\frac{5}{6}\pi$。

$\frac{5}{6}\pi =\pi -\frac{\pi }{6}$ なので、$\pi -\theta$ の形です。関数名は変わりません。

$\frac{5}{6}\pi$ は第 2 象限で $\sin$ は正。したがって $\sin \frac{5}{6}\pi =\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。

$\cos \left(-\frac{2}{3}\pi \right)$ も見ます。$\cos$ は偶関数なので $\cos \frac{2}{3}\pi$。

$\frac{2}{3}\pi =\pi -\frac{\pi }{3}$ で第 2 象限、$\cos$ は負。$-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ です。

手順は毎回同じ。$2\pi$ で余りにする、$\frac{\pi }{2}$ の何倍ぶんずれているか見る、象限で符号を決める。

式を簡単にする型

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)+\cos (\pi -\theta )$ を簡単にします。

前半は $\frac{\pi }{2}$ をまたぐので $\cos$ へ。第 2 象限で $\sin$ は正なので $+\cos \theta$。

後半は $\pi$ をまたぐので $\cos$ のまま。第 2 象限で $\cos$ は負なので $-\cos \theta$。

足すと $\cos \theta -\cos \theta =0$。$\theta$ によらず $0$ になりました。

こうした形は、方程式の途中で式を短くするために出てきます。値が消えると計算が一気に軽くなる。

まちがえやすい点

$\frac{\pi }{2}$ をまたぐのに関数名を変えない誤りが最も多い。$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)=\sin \theta$ ではありません。

符号を決めるとき、もとの $\theta$ の象限を見てしまう誤りも起きます。見るのは移った先です。

$\pi -\theta$ と $\pi +\theta$ の混同もよくあります。前者は $y$ 軸対称、後者は原点対称。

$\sin$ の符号だけ覚えて $\cos$ に当てはめる形も見ます。$\pi -\theta$ では $\sin$ が正、$\cos$ が負で、向きが違います。

$\tan$ の周期を $2\pi$ とする誤りもあります。$\tan$ は $\pi$ で戻ります。

大きい角も確かめます。

覚えるのは 2 行。$\pi$ をまたげば符号だけ、$\frac{\pi }{2}$ をまたげば関数名も。あとは象限で決まります。

参考文献