円に内接する長方形の面積を角の式で最大にする

半径 $1$ の円に内接する長方形のうち、面積が最大になるのは正方形です。そのとき面積は $2$。

頂点を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ に置くと、面積は $2\sin 2\theta$ の 1 行になります。$\sin$ の最大が $1$ だから、面積の最大は $2$。

$2\theta =\frac{\pi }{2}$ から $\theta =\frac{\pi }{4}$ と、形まで決まる。

角を変数にとる

円の中心を原点に置きます。長方形は中心について対称だから、頂点の 1 つを $(\cos \theta ,\sin \theta )$ とすれば足りる。

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ とします。残りの 3 頂点は、符号を変えた位置に決まる。

横の辺は $-\cos \theta$ から $\cos \theta$ までで、長さは $2\cos \theta$。縦の辺は $2\sin \theta$ になる。

$$\begin{array}{rl}S& =2\cos \theta \times 2\sin \theta \\ & =4\sin \theta \cos \theta \\ & =2\sin 2\theta \end{array}$$

2 倍角がここで効きました。積の形のままでは最大値を読めませんが、$\sin 2\theta$ なら読める。

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ より $0<2\theta <\pi$ で、この範囲に $\frac{\pi }{2}$ が入っています。

$\sin 2\theta =1$ を実現できるため、最大値は $2$。$\theta =\frac{\pi }{4}$ なら辺は $\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ で、正方形になる。

長さを変数にとるとどうなるか

横の辺の半分を $x$、縦の辺の半分を $y$ とします。頂点が単位円の上にあるため $x^2+y^2=1$。

面積は $S=4xy$ で、$y=\sqrt{1-x^2}$ を入れると根号が残る。

$$S=4x\sqrt{1-x^2}$$

このままでは扱いにくいので、2 乗します。$S^2=16x^2(1-x^2)$。

$t=x^2$ と置くと $S^2=16t(1-t)$ で、$t$ についての 2 次関数です。

$t=\frac{1}{2}$ のとき $S^2$ が最大で、$16\times \frac{1}{4}=4$。$S=2$ になる。

同じ答えにたどり着きますが、置きかえを 2 回はさみました。角を変数にとれば $2\sin 2\theta$ の 1 行で済む。

周の長さを最大にする

同じ長方形で、今度は周の長さを考えます。

周は $2(2\cos \theta )+2(2\sin \theta )=4(\sin \theta +\cos \theta )$。$\sin$ と $\cos$ が 1 次で混ざっています。ここで合成を使う。

$$4(\sin \theta +\cos \theta )=4\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ より $\frac{\pi }{4}<\theta +\frac{\pi }{4}<\frac{3}{4}\pi$。$\frac{\pi }{2}$ はこの中にあります。

最大は $4\sqrt{2}$、およそ $5.66$ で、$\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき。ここでも正方形になる。

面積のときは 2 倍角、周のときは合成。同じ図形でも、聞かれる量で使う道具が変わる。

半円に内接する長方形

半径 $1$ の半円で、底辺が直径の上に乗る長方形を考えます。

上の 2 頂点を $(\pm \cos \theta ,\sin \theta )$ とすると、幅は $2\cos \theta$、高さは $\sin \theta$。

$$\begin{array}{rl}S& =2\cos \theta \times \sin \theta \\ & =\sin 2\theta \end{array}$$

最大は $1$ で、やはり $\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき。ただし形は正方形になりません。

幅は $2\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$、高さは $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ で、横長の長方形になる。

角の値が同じでも、行き着く形は問題ごとに違う。

扇形で周が一定のとき

長さ $L$ のひもで扇形を作ります。半径を $r$、中心角を $\theta$ ラジアンとする。

周は 2 本の半径と弧で、$L=2r+r\theta$ になる。

面積は $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$。$\theta$ を消すため、周の式から $\theta =\frac{L-2r}{r}$。

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}{r}^2\cdot \frac{L-2r}{r}\\ & =\frac{1}{2}r(L-2r)\\ & =-r^2+\frac{L}{2}r\end{array}$$

$r$ の 2 次関数になりました。頂点は $r=\frac{L}{4}$ で、最大値は $\frac{L^2}{16}$。

このとき $\theta =\frac{L-L/2}{L/4}=2$ です。中心角は $2$ ラジアン、およそ $114.6^{\circ }$ になる。

例：面積を指定された値にする

同じ長方形で、面積が $\sqrt{3}$ になる角を求めます。

$2\sin 2\theta =\sqrt{3}$ から $\sin 2\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$。$0<2\theta <\pi$ の範囲で解く。

$$2\theta =\frac{\pi }{3},\frac{2}{3}\pi$$

$\theta =\frac{\pi }{6}$ と $\theta =\frac{\pi }{3}$ の 2 つ。最大のときと違い、答えが 1 つに決まりません。

$\theta =\frac{\pi }{6}$ なら辺は $2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$ と $2\sin \frac{\pi }{6}=1$。$\theta =\frac{\pi }{3}$ なら $1$ と $\sqrt{3}$ で、縦横が入れかわるだけです。

同じ長方形を $90^{\circ }$ 回した形で、図形としては 1 つ。角の答えが 2 つになるのは、置き方を 2 通り数えているからです。

式を読める形に直す

角を 1 つ選んで変数にする。求めたい量をその角で書く。そこから先は、式の形で分かれます。

積の形なら 2 倍角、和の形なら合成、$\cos$ だけの式になれば置きかえて 2 次関数。

角を変数にとり、2 倍角か合成でまとめる。円が絡む最大最小は、この 2 手で見通せます。