絵はどこから見るといちばん大きく見えるか〜見込む角の最大

壁に絵が掛かっています。下端が目の高さより $1$ メートル上、上端が $4$ メートル上。

どこに立つと、絵がいちばん大きく見えるでしょうか。

近づけば絵は大きく見えますが、真下では見上げる角が狭くなります。離れすぎても小さい。

答えは壁から $2$ メートル。$\sqrt{1\times 4}=2$ で、2 つの高さの相乗平均です。

三角関数と相加相乗だけで出せます。

見込む角を式にする

壁からの距離を $x$、下端の高さを $a$、上端の高さを $b$ とします。$0<a<b$。

目の位置から上端を見上げる角を $\beta$、下端を見上げる角を $\alpha$ とすると、絵を見込む角は $\theta =\beta -\alpha$。

$\tan \beta =\frac{b}{x}$、$\tan \alpha =\frac{a}{x}$ です。どちらも直角三角形から読めます。

$\theta$ を直接扱うのは大変なので、$\tan \theta$ を考えます。$\theta$ は鋭角なので、$\tan \theta$ が最大になる位置で $\theta$ も最大になる^[1]。

tan の加法定理の引き算の形を当てます。

$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }\\ & =\frac{\frac{b}{x}-\frac{a}{x}}{1+\frac{ab}{x^2}}\end{array}$$

分母分子に $x$ を掛けて整理します。

$$\tan \theta =\frac{b-a}{x+\frac{ab}{x}}$$

分子は定数です。動くのは分母だけになりました。

分母を最小にする

$\tan \theta$ を最大にするには、分母 $x+\frac{ab}{x}$ を最小にします。

$x>0$、$\frac{ab}{x}>0$ なので、相加平均と相乗平均の関係が使えます。

$$x+\frac{ab}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}$$

等号が成り立つのは $x=\frac{ab}{x}$、つまり $x^2=ab$ のとき。$x=\sqrt{ab}$ です。

$$\tan \theta \le \frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$$

$a=1$、$b=4$ なら $x=2$、$\tan \theta =\frac{3}{4}$。$\theta \fallingdotseq 36.9^{\circ }$ です。

2 つの高さの相乗平均。それが最適な距離になります。

図で見ると円が現れる

計算しなくても、図だけで答えが出る道があります^[2]。

絵の上端と下端を通る円を考えます。そういう円は無数にありますが、目の高さの線に接するものが 1 つだけあります。

その接点が最適な位置です。

理由は円周角の定理にあります。円周上の点から弦を見込む角は、どこでも同じ大きさ。

接点より前や後ろに立つと、その点は円の外に出ます。円の外から弦を見込む角は、円周上から見るより小さくなる。

だから接点にいるときが最大です。接する円は 1 つしかないので、最適な位置も 1 つに決まります。

接点までの距離は、方べきの定理から出ます。$x^2=ab$ となり、計算の道と同じ答えになりました。

相加相乗が効く形

$x+\frac{ab}{x}$ という形が出たら、相加相乗の合図です。

2 つの項を掛けると $x$ が消えて定数になる。これが条件です。

$x+\frac{4}{x}$ なら積が $4$ で、最小は $2\sqrt{4}=4$。等号は $x=2$。

$x+\frac{1}{x}$ なら積が $1$ で、最小は $2$。等号は $x=1$。

積が定数にならない形では使えません。$x+\frac{1}{x^2}$ は積が $\frac{1}{x}$ で、$x$ が残ります。

三角関数の問題でこの形が出るのは、$\tan$ の加法定理を通ったときが多い。分母に $x$ と $\frac{ab}{x}$ が並びます。

目の高さが絵より上にあるとき

絵の上端が目より下にあるなら、話が逆になります。見下ろす角です。

$a$ と $b$ を目の高さから測った深さと読み替えれば、式はそのまま使えます。

答えも同じ $x=\sqrt{ab}$。上か下かは、符号を測り直せば吸収されます。

やっかいなのは、目の高さが絵の途中にある場合です。上端が上、下端が下にある。

このとき見込む角は $\beta +\alpha$ で、和になります。$x$ を小さくするほど両方が大きくなるので、壁に近づくほど角は広がる。

最大値がありません。壁にくっつくと $180^{\circ }$ に近づきます。式の形が変わる点を見落とさないようにします。

例：数を変えてみる

下端が $2$ メートル、上端が $8$ メートルなら、最適な距離は $\sqrt{2\times 8}=4$ メートル。

$\tan \theta =\frac{8-2}{2\times 4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ です。さきほどと同じ値になりました。

高さを両方 2 倍にすると、距離も 2 倍になり、角は変わらない。図形が相似になるためです。

下端が $0$、つまり絵の下端が目の高さと同じなら $x=\sqrt{0\times b}=0$。

壁にくっつくのが最適という答えになります。実際、下端が目の高さなら、近いほど上端を見上げる角が広がります。

まちがえやすい点

$\tan \theta$ の最大と $\theta$ の最大を、確かめずに同じ扱いにする誤りが多い。鋭角である断りが要ります。

$\tan$ の加法定理の分母の符号もまちがえやすい。引き算の形では $1+\tan \beta \tan \alpha$ です。

相加相乗で等号の条件を書き忘れる形もよく出ます。$x=\sqrt{ab}$ が答えそのものなので、落とすと結論になりません。

積が定数になっていないのに相加相乗を当てる誤りもあります。掛けて $x$ が消えるかを先に確かめます。

目の高さが絵の途中にある場合を同じ式で処理する形も見ます。角が和になり、最大値が存在しません。

式の形も確かめます。

$\tan$ で書き、分母に相加相乗を当てる。あるいは接する円を描く。どちらも相乗平均に着きます。

参考文献