単位円と直線の交点で解く - 三角方程式の図形的な見方

$sin θ > cos θ$ を解くのに、計算はほとんど要りません。

$x = cos θ$ 、 $y = sin θ$ と置きます。点 $(x, y)$ は単位円の上にあります^[1]。

不等式は $y > x$ 、つまり直線 $y = x$ より上側という意味です。

単位円のうち直線の上にある弧を読めば、 $\frac{π}{4} < θ < \frac{5}{4} π$ と出ます。

式を変形して解く道とは別に、こういう見方があります。 $sin$ と $cos$ が混ざる問題ほど効きます。

座標に置き換える

単位円上の点は $(cos θ, sin θ)$ でした。 $θ$ が $0$ から $2 π$ まで動くと、点は円周を 1 周します。

だから $sin θ$ と $cos θ$ の式は、円周上の点の座標についての式に読み替えられます。

$a cos θ + b sin θ = k$ なら、 $a x + b y = k$ という直線です。

方程式なら「円と直線が交わるか」、不等式なら「円のどちら側の弧か」という問いになります。

角の話が、位置の話に変わりました。図が描ければ、そこから先は目で読めます。

解を持つ条件が距離で読める

$cos θ + 2 sin θ = k$ が解を持つ $k$ の範囲を求めます。

直線 $x + 2 y = k$ が単位円と共有点を持つ条件です。原点からの距離が $1$ 以下であればよい。

$\frac{∣ k ∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} \leq 1$

$∣ k ∣ \leq 5$ です。合成すると振幅が $1 + 4 = 5$ なので、同じ答えになります^[2]。

図の道と式の道が一致するのは偶然ではありません。合成の振幅 $a^{2} + b^{2}$ と、点と直線の距離の分母が同じ形だからです。

距離がちょうど $1$ のとき、直線は接します。解は 1 個。距離が $1$ 未満なら交点は 2 個です。

例：不等式の弧を読む

$sin θ + cos θ \geq 1$ を $0 \leq θ < 2 π$ で解きます。

$x + y \geq 1$ なので、直線 $x + y = 1$ の上側です。

この直線は点 $(1, 0)$ と $(0, 1)$ を通ります。どちらも単位円の上にある点です。

つまり直線は円を $θ = 0$ と $θ = \frac{π}{2}$ で切っています。

上側にあるのは、その 2 点にはさまれた短いほうの弧。答えは $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ です。

計算では合成して範囲を動かす手順が要りますが、図なら交点が有名角なので一目で決まります。

sin θ を y、cos θ を x と置く

式を直線や領域として描く

単位円のどの弧が条件を満たすか読む

弧の両端の角を答える

例：直線 y = x で切る

冒頭の $sin θ > cos θ$ に戻ります。直線 $y = x$ の上側です。

$y = x$ は単位円を $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ と $(- \frac{2}{2}, - \frac{2}{2})$ で切ります。

角でいえば $\frac{π}{4}$ と $\frac{5}{4} π$ 。この 2 点が境目です。

上側の弧は $\frac{π}{4}$ から $\frac{5}{4} π$ まで。左回りに進む側です。

答えは $\frac{π}{4} < θ < \frac{5}{4} π$ 。等号がないので両端は含みません。

合成で解いても同じです。 $sin θ - cos θ = 2 sin (θ - \frac{π}{4}) > 0$ から、中身が $0$ と $π$ のあいだ。

点の動く範囲として読む

視点を変えると、別の問題も解けます。

$θ$ が $0$ から $\frac{π}{2}$ まで動くとき、点 $(cos θ, sin θ)$ はどこを動くか。

単位円の第 1 象限の部分、四分の一の弧です。 $θ$ の範囲が弧の範囲に対応します。

これを使うと、 $2 cos θ + sin θ$ の最大値も図で出せます。

$2 x + y = k$ の直線を平行に動かし、四分の一の弧に触れる位置を探す。 $k$ が大きいほど直線は右上へ動きます。

弧の上で $2 x + y$ が最大になる点を探せば、それが答えです。合成で解くのと同じ結論に着きます。

$θ$ の範囲が限られると、点は弧の一部しか動けません。

最大最小の位置が弧の端に来ることがあり、そのときは接点ではなく端点が答えになります。合成で範囲を動かす手順と同じことです。

2 つの角が出てくる問題

$sin α + cos β$ のように角が 2 つあると、点も 2 つになります。

$P (cos α, sin α)$ と $Q (cos β, sin β)$ が、それぞれ独立に円周を動く。

このとき $sin α$ の最大は $1$ 、 $cos β$ の最大も $1$ で、別々に決められます。和の最大は $2$ 。

角が 1 つのときとは違います。 $sin θ + cos θ$ なら点が 1 つなので、最大は $2$ でした。

同じ点か違う点か。図で見ると、この差がはっきりします。

まちがえやすい点

$x$ と $y$ を逆に置く誤りが最も多い。 $x = cos θ$ 、 $y = sin θ$ です。

$cos$ が横、 $sin$ が縦。 $sin θ > cos θ$ を $x > y$ と読むと、答えの弧が反対側になります。

不等号の向きと弧の側もとりちがえやすい。試しに $θ = \frac{π}{2}$ を入れて確かめます。

$sin \frac{π}{2} = 1 > 0 = cos \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{π}{2}$ は答えに入ります。上側で合っています。

範囲が $0 \leq θ < 2 π$ でないときに、弧をそのまま答える誤りもあります。範囲外の弧は切り落とします。

$0 \leq θ < 2 π$ で $cos θ \geq sin θ$ の解はどれですか。

$0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ と $\frac{5}{4} π \leq θ < 2 π$
$\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{5}{4} π$
$0 \leq θ \leq \frac{5}{4} π$

__RESULT__

$x \geq y$ なので直線 $y = x$ の下側です。境目は $\frac{π}{4}$ と $\frac{5}{4} π$ で、下側の弧は $0$ をまたぎます。範囲が $0$ から $2 π$ なので、2 つに分けて書くことになります。

存在条件も確かめます。

$3 cos θ + 4 sin θ = k$ が解を持つ $k$ の範囲はどれですか。

$∣ k ∣ \leq 7$
$∣ k ∣ \leq 5$
$∣ k ∣ \leq 12$

__RESULT__

直線 $3 x + 4 y = k$ が単位円と共有点を持つ条件は $\frac{∣ k ∣}{9 + 16} \leq 1$ です。 $∣ k ∣ \leq 5$ になります。合成すると振幅が $3^{2} + 4^{2} = 5$ で、同じ答えです。 $7$ は $3 + 4$ をそのまま足した値です。

$cos$ を $x$ 、 $sin$ を $y$ に置きかえる。それだけで、方程式は直線に、不等式は半平面に変わります。

参考文献

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Définition 1.2 と 1.3（単位円上の点の座標と、そこで方程式を読む例）.

Harmonic Addition Theorem. MathWorld（合成の振幅

a^{2} + b^{2}

）.

$\sin\theta > \cos\theta$ は、$x = \cos\theta$、$y = \sin\theta$ と置けば $y > x$、つまり直線の上側という意味になります。円周のうち上にある弧を読むだけで $\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{5}{4}\pi$ が出る。方程式は直線、不等式は半平面に変わります。$\cos\theta + 2\sin\theta = k$ が解を持つ条件は、直線と原点の距離が $1$ 以下という条件そのもの。合成の振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$ と距離の分母が同じ形なので、式の道と図の道は必ず一致します。角が 2 つある場合の違いまで。