cos nθ が cosθ の n 次式になる（多項式に化ける三角関数）

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ 、 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ 。

どちらも $cos θ$ だけの式になっています。 $sin θ$ が 1 つも残りません。

これは偶然ではありません。 $cos n θ$ は、どんな $n$ でも $cos θ$ の $n$ 次式になります。

$x = cos θ$ と置けば、 $cos 4 θ = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ 、 $cos 5 θ = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ 。

三角関数が多項式に化ける。この事実は、次数の低いところを作るだけで確かめられます。

1 つ前と 2 つ前でつながる

作り方の鍵は、和積の 1 本にあります^[1]。

$cos (n + 1) θ + cos (n - 1) θ = 2 cos n θ cos θ$

$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ に $A = (n + 1) θ$ 、 $B = (n - 1) θ$ を入れた形です。

平均が $n θ$ 、差の半分が $θ$ になります。

移項すると、 $cos (n + 1) θ$ が 1 つ前と 2 つ前で書けます。

$cos (n + 1) θ = 2 cos θ cos n θ - cos (n - 1) θ$

$cos n θ$ が $x$ の $n$ 次式で、 $cos (n - 1) θ$ が $n - 1$ 次式なら、右辺は $n + 1$ 次式です。

$2 x$ を掛けると次数が 1 上がるためです。出発点は $cos 0 = 1$ と $cos θ = x$ 。

数学的帰納法の形がそろいました。 $n$ 次式になることが、これで示せます。

順に作ってみる

$n = 1$ からたどります。 $T_{1} = x$ 、 $T_{0} = 1$ と書くことにします。

$T_{2} = 2 x \cdot x - 1 = 2 x^{2} - 1$ 。 $cos 2 θ$ の式と合っています^[2]。

$T_{3} = 2 x (2 x^{2} - 1) - x = 4 x^{3} - 2 x - x = 4 x^{3} - 3 x$ 。3 倍角の公式です。

$T_{4} = 2 x (4 x^{3} - 3 x) - (2 x^{2} - 1) = 8 x^{4} - 6 x^{2} - 2 x^{2} + 1 = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ 。

$T_{5} = 2 x (8 x^{4} - 8 x^{2} + 1) - (4 x^{3} - 3 x) = 16 x^{5} - 16 x^{3} + 2 x - 4 x^{3} + 3 x = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ 。

検算します。 $θ = 0$ なら $x = 1$ で、どの $T_{n}$ も $1$ になるはずです。

$T_{4}$ は $8 - 8 + 1 = 1$ 、 $T_{5}$ は $16 - 20 + 5 = 1$ 。合いました。

$T_{1}$	$x$
$T_{2}$	$2 x^{2} - 1$
$T_{3}$	$4 x^{3} - 3 x$
$T_{4}$	$8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$
$T_{5}$	$16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$

先頭の係数を並べると $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ 。 $2^{n - 1}$ です。

漸化式で毎回 $2 x$ を掛けるので、 $2$ が 1 つずつ積み上がります。

sin のほうはどうか

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ には $cos$ が残ります。 $sin θ$ だけの式にはなりません。

$sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ はなります。 $n$ が奇数のときだけ、 $sin θ$ の多項式になる。

理由は偶奇にあります。 $sin (π - θ) = sin θ$ なので、 $θ$ と $π - θ$ で $sin θ$ は同じ値です。

$n$ が偶数だと $sin n (π - θ) = sin (nπ - n θ) = - sin n θ$ となり、符号が変わります。

同じ入力に違う出力が対応するので、 $sin θ$ だけの式では書けません。

$cos$ にはこの問題が起きません。 $cos (- θ) = cos θ$ で、 $cos n (- θ) = cos n θ$ も成り立つためです。

cos の場合

どんな $n$ でも $cos θ$ の $n$ 次式になる。偶関数どうしなので矛盾が出ない

sin の場合

$n$ が奇数のときだけ $sin θ$ の多項式になる。偶数では符号の食い違いが起きる

方程式の解が cos の値になる

$T_{n} (x) = 0$ を解きます。 $cos n θ = 0$ と同じことです。

$n θ = \frac{π}{2} + k π$ から $θ = \frac{( 2 k + 1 ) π}{2 n}$ 。

$x = cos θ$ に戻すと、解は $cos \frac{( 2 k + 1 ) π}{2 n}$ の形になります。 $k = 0$ から $n - 1$ までで $n$ 個。

$n = 3$ で確かめます。 $4 x^{3} - 3 x = 0$ から $x (4 x^{2} - 3) = 0$ 、解は $0$ と $\pm \frac{3}{2}$ 。

公式では $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ 、 $cos \frac{π}{2} = 0$ 、 $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ 。一致しました。

$n$ 次方程式が $n$ 個の実数解を持ち、しかもすべて $- 1$ と $1$ のあいだにある。めずらしい多項式です。

cos 20 度が満たす方程式

$T_{3} (x) = cos 3 θ$ に $θ = 2 0^{\circ}$ を入れます。 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ です。

$4 x^{3} - 3 x = \frac{1}{2}$

両辺を 2 倍して $8 x^{3} - 6 x - 1 = 0$ 。 $x = cos 2 0^{\circ} ≒ 0.9397$ がこの方程式の解です。

$x = \pm 1$ 、 $\pm \frac{1}{2}$ 、 $\pm \frac{1}{4}$ 、 $\pm \frac{1}{8}$ を入れても $0$ になりません。分数の解を持たない 3 次方程式です。

$3 0^{\circ}$ や $4 5^{\circ}$ の値が根号で書けるのに、 $2 0^{\circ}$ が書けない。その境目が、この方程式に現れています。

同じ手で $cos 4 0^{\circ}$ や $cos 8 0^{\circ}$ も出せます。 $3 \times 40 = 120$ 、 $3 \times 80 = 240$ なので、どちらも $cos 3 θ = - \frac{1}{2}$ 。

$8 x^{3} - 6 x + 1 = 0$ の解が $cos 4 0^{\circ}$ 、 $cos 8 0^{\circ}$ 、 $cos 16 0^{\circ}$ の 3 つです。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… ldRows[index][0] …)

値が -1 と 1 のあいだに収まる

$T_{n} (x)$ は $n$ 次式なので、 $x$ を大きくすればいくらでも大きくなります。

ところが $- 1 \leq x \leq 1$ に限ると、値も $- 1$ と $1$ のあいだから出ません。

$x = cos θ$ と書けるので、 $T_{n} (x) = cos n θ$ になるためです。 $cos$ の値域そのもの。

$T_{5} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ は、先頭の係数が $16$ もあります。それでも $1$ を超えません。

$x = 1$ で $16 - 20 + 5 = 1$ 。ぎりぎり $1$ に届いて、そこで止まります。

高い次数の項と低い次数の項が、うまく打ち消し合っている。多項式としては特別な性質です。

$T_{n}$ が $- 1$ と $1$ のあいだで暴れないことは、近似の道具としての価値につながります。

高校では扱いませんが、関数を多項式で近づけるときにこの性質が使われます。ここでは $cos n θ$ の書き換えとして見ておけば足ります。

まちがえやすい点

漸化式の符号をまちがえる誤りが多い。 $- T_{n - 1}$ で、引き算です。

$T_{4}$ を作るとき $2 x \cdot T_{3}$ だけで止める形もよく見ます。 $T_{2}$ を引くところまでが 1 手です。

$sin n θ$ も $sin θ$ の多項式になると思い込む誤りもあります。奇数のときだけです。

$T_{n} (x) = 0$ の解を求めるとき、 $k$ の範囲を書き忘れる形も起きます。 $0$ から $n - 1$ までで $n$ 個。

$x = cos θ$ と置いたあと、 $x$ の範囲を落とす誤りもあります。 $- 1 \leq x \leq 1$ です。

$T_{4} (x) = 2 x T_{3} (x) - T_{2} (x)$ を計算するとどれになりますか。

$8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$
$8 x^{4} - 6 x^{2}$
$8 x^{4} - 8 x^{2} - 1$

__RESULT__

$2 x (4 x^{3} - 3 x) = 8 x^{4} - 6 x^{2}$ から $2 x^{2} - 1$ を引きます。 $8 x^{4} - 6 x^{2} - 2 x^{2} + 1 = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ です。 $x = 1$ を入れると $8 - 8 + 1 = 1$ で、 $cos 0 = 1$ と合います。

方程式の解も確かめます。

$8 x^{3} - 6 x - 1 = 0$ の解の 1 つはどれですか。

$cos 2 0^{\circ}$
$cos 3 0^{\circ}$
$cos 4 5^{\circ}$

__RESULT__

$4 x^{3} - 3 x = cos 3 θ$ で $x = cos θ$ です。 $8 x^{3} - 6 x = 1$ すなわち $4 x^{3} - 3 x = \frac{1}{2}$ なので $cos 3 θ = \frac{1}{2}$ 、 $3 θ = 6 0^{\circ}$ から $θ = 2 0^{\circ}$ になります。 $cos 3 0^{\circ}$ を入れても $0$ にはなりません。

和積の 1 本から漸化式が出て、そこから $n$ 次式が積み上がる。三角関数と多項式をつなぐ橋です。

参考文献

Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（

cos A + cos B

の和積）.

Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

）.

$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ にも $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ にも $\sin$ が残りません。偶然ではなく、$\cos n\theta$ はどんな $n$ でも $\cos\theta$ の $n$ 次式になります。鍵は和積の 1 本で、$\cos(n+1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta - \cos(n-1)\theta$。$2x$ を掛けるので次数が 1 ずつ上がり、先頭の係数は $2^{n-1}$ になります。$\sin$ が奇数のときしか多項式にならない理由、$8x^3-6x-1=0$ の解が $\cos 20^\circ$ になる仕組み、$n$ 個の解がすべて $\cos$ の値になる話まで。