sin の 2 乗と積が混ざった式は 1 次に落としてから合成する

$y=3{\sin }^2\theta +2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta$ の最大値は $4$、最小値は $0$ です。

2 乗と積が混ざっていて、そのままでは手が出ません。まず 1 次に落とします。

使うのは 3 本だけ。${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$、${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$、$\sin \theta \cos \theta =\frac{\sin 2\theta }{2}$ です^[1]。

入れ替えると角が $2\theta$ にそろい、次数が 1 になります。あとは合成して終わり。

3 本を当てる

一般形は $y=a{\sin }^2\theta +b\sin \theta \cos \theta +c{\cos }^2\theta$ です。すべての項が 2 次になっています。

3 本を代入します。

$$y=\frac{a+c}{2}+\frac{b}{2}\sin 2\theta +\frac{c-a}{2}\cos 2\theta$$

先頭の $\frac{a+c}{2}$ は定数です。動くのは後ろの 2 項だけ。

$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ が 1 次で混ざっているので、合成が使えます^[2]。

振幅は $\frac{1}{2}\sqrt{b^2+(c-a{)}^2}$。値の動く範囲は、定数を中心にこの幅で上下します。

$$\frac{a+c}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2+(c-a{)}^2}\le y\le \frac{a+c}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{b^2+(c-a{)}^2}$$

公式として覚えるより、毎回 3 本を代入するほうが確実です。

例：冒頭の式

$a=3$、$b=2\sqrt{3}$、$c=1$ です。

定数は $\frac{3+1}{2}=2$。$\sin 2\theta$ の係数は $\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。$\cos 2\theta$ の係数は $\frac{1-3}{2}=-1$。

$$y=2+\sqrt{3}\sin 2\theta -\cos 2\theta$$

合成します。振幅は $\sqrt{3+1}=2$。点 $(\sqrt{3},-1)$ の角は $-\frac{\pi }{6}$ です。

$y=2+2\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{6}\right)$。

$\sin$ の値は $-1$ から $1$ なので、$y$ は $0$ から $4$ まで。

最小の $0$ が実際にとれるかを確かめます。$2\theta -\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$ から $\theta =-\frac{\pi }{6}$。

もとの式に入れると $3\times \frac{1}{4}+2\sqrt{3}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=0$。合いました。

周期が半分になる

もとの式は $\theta$ で書かれていますが、直した式は $2\theta$ で書かれています。

つまり周期が $\pi$ です。$2\pi$ ではありません。

$0\le \theta <2\pi$ の範囲なら、山と谷が 2 回ずつ現れます。最大最小をとる $\theta$ も 2 個ずつ。

$\theta =-\frac{\pi }{6}$ で最小になるなら、$\pi$ を足した $\frac{5}{6}\pi$ でも最小です。

答えを聞かれたら、範囲内のものを全部並べます。1 つで止めると足りません。

定数が付いていたら先に 2 次へそろえる

$y={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +3{\cos }^2\theta$ のように、すべての項が 2 次なら手順どおりです。

$\frac{1+3}{2}=2$、$\sin 2\theta$ の係数は $1$、$\cos 2\theta$ の係数は $\frac{3-1}{2}=1$。

$y=2+\sin 2\theta +\cos 2\theta =2+\sqrt{2}\sin \left(2\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。

最大 $2+\sqrt{2}$、最小 $2-\sqrt{2}$ です。

では $y={\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +1$ のように定数項が混じったら。

$1={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$ と書き直します^[3]。これで全部が 2 次になりました。

$y=2{\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta$ となり、$a=2$、$b=1$、$c=1$ で同じ手順に乗ります。

1 次の項が混じる場合

$y={\sin }^2\theta +\sin \theta$ のように 2 次と 1 次が混ざると、話が変わります。

角をそろえられません。${\sin }^2\theta$ は $2\theta$ に、$\sin \theta$ は $\theta$ のまま。

こういう形では、$t=\sin \theta$ と置いて 2 次関数として扱います。$y=t^2+t$、$-1\le t\le 1$。

見分けは簡単です。全部が 2 次なら角をそろえる、次数が混ざるなら文字を置きかえる。

$\sin \theta \cos \theta$ が入っていると置きかえがうまくいかないので、そのときは 2 次にそろえる道を選びます。

例：範囲が付く場合

$y={\sin }^2\theta +2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta -{\cos }^2\theta$ を $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ で考えます。

$a=1$、$b=2\sqrt{3}$、$c=-1$。定数は $\frac{1+(-1)}{2}=0$ です。

$\sin 2\theta$ の係数は $\sqrt{3}$、$\cos 2\theta$ の係数は $\frac{-1-1}{2}=-1$。

$y=\sqrt{3}\sin 2\theta -\cos 2\theta =2\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{6}\right)$。

範囲を動かします。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ から $-\frac{\pi }{6}\le 2\theta -\frac{\pi }{6}\le \frac{5}{6}\pi$。

この区間に $\frac{\pi }{2}$ が入っているので、最大は $2$。$\theta =\frac{\pi }{3}$ のときです。

最小は端の値を比べます。$\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$、$\sin \frac{5}{6}\pi =\frac{1}{2}$。

小さいのは前者なので、最小は $2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。$\theta =0$ のときです。

まちがえやすい点

$\sin \theta \cos \theta$ を $\frac{\sin 2\theta }{2}$ とするところで、$2$ を掛けてしまう誤りが多い。割ります。

$\cos 2\theta$ の係数を $\frac{a-c}{2}$ とする符号の逆転もよく起きます。${\sin }^2$ 側にマイナスが付くので $\frac{c-a}{2}$ です。

$\theta =0$ を入れて確かめられます。もとの式は $c$、直した式は $\frac{a+c}{2}+\frac{c-a}{2}=c$。合います。

周期が $\pi$ になることを見落とす誤りもあります。最大最小をとる $\theta$ が 2 個ずつ出ます。

1 次の項が混ざっているのに 2 次へそろえようとする形も見ます。次数を先に確かめます。

範囲が付く形も確かめます。

3 本を代入して $2\theta$ にそろえ、合成する。2 次同次の形は、この手順から外れません。

参考文献