周期は最小公倍数で決まる、sin 2x + cos 3x のグラフ

$y = sin 2 x + cos 3 x$ の周期は $2 π$ です。 $π$ でも $\frac{2}{3} π$ でもありません。

$sin 2 x$ だけなら周期は $π$ 、 $cos 3 x$ だけなら $\frac{2}{3} π$ 。足した瞬間、どちらとも違う値になります。

両方が同時にもとへ戻る幅を探すことになるので、最小公倍数を計算します。

周期とは何か

関数 $f$ について、すべての $x$ で $f (x + T) = f (x)$ が成り立つ正の数 $T$ を周期と呼びます^[1]。

$T$ が周期なら $2 T$ も $3 T$ も周期です。 $T$ ずつずらしても戻るので、何回ずらしても戻る。

ふつう「周期」と言えば、そのうち最も小さいものを指します。

$y = sin x$ なら $2 π$ 、 $4 π$ 、 $6 π$ がすべて条件を満たしますが、周期は $2 π$ です。

和の周期は最小公倍数

$f$ の周期を $a$ 、 $g$ の周期を $b$ とします。 $f + g$ が $T$ ずらして戻るには、両方が同時に戻る必要があります。

$T$ が $a$ の倍数であり、同時に $b$ の倍数でもある。つまり $a$ と $b$ の公倍数です。

いちばん小さいものを探すので、最小公倍数になります。

$π$ と $\frac{2}{3} π$ の最小公倍数を出します。どちらも $π$ の何倍かで書けるので、係数だけ見ればよい。

$1$ と $\frac{2}{3}$ の最小公倍数です。分数の最小公倍数は、分子の最小公倍数を分母の最大公約数で割ります。

$\frac{lcm ( 1 , 2 )}{g cd ( 1 , 3 )} = \frac{2}{1} = 2$ なので、答えは $2 π$ 。

例：分母がそろわない場合

$y = sin \frac{x}{2} + sin \frac{x}{3}$ の周期を出します。

$sin \frac{x}{2}$ の周期は $\frac{2 π}{1/2} = 4 π$ 。 $sin \frac{x}{3}$ は $\frac{2 π}{1/3} = 6 π$ です。

$π$ の係数で見ると $4$ と $6$ 。最小公倍数は $12$ なので、周期は $12 π$ 。

確かめます。 $\frac{12 π}{2} = 6 π$ で $sin$ は $3$ 周ぶん、 $\frac{12 π}{3} = 4 π$ で $2$ 周ぶん。どちらも整数周です。

$\frac{2 π}{∣ B ∣}$ で個別の周期を出し、 $π$ の係数の最小公倍数をとる。手順はいつも同じです。

$sin 2 x$	周期 $π$
$cos 3 x$	周期 $\frac{2}{3} π$
$sin 2 x + cos 3 x$	周期 $2 π$
$sin \frac{x}{2} + sin \frac{x}{3}$	周期 $12 π$
$tan x + sin x$	周期 $2 π$

$tan$ が混ざる場合も同じです。 $tan x$ の周期は $π$ 、 $sin x$ は $2 π$ なので、最小公倍数は $2 π$ 。

周期が存在しないこともある

$y = sin x + sin 2 x$ には周期がありません。

$sin x$ の周期は $2 π$ 、 $sin 2 x$ は $\frac{2 π}{2} = 2 π$ です。

公倍数があるためには、 $m \cdot 2 π = n \cdot 2 π$ を満たす正の整数 $m$ 、 $n$ が要ります。

整理すると $2 = \frac{2 m}{n}$ 。左辺は無理数、右辺は有理数なので、成り立ちません。

2 つの周期の比が有理数でなければ、共通の周期は作れない。グラフは似た形を繰り返しますが、完全には戻りません。

周期の比が無理数の和は、いくら進んでも同じ形に戻らない曲線を描きます。

準周期的と呼ばれる振る舞いです。高校では扱いませんが、周期が最小公倍数で決まる理由を裏から照らしてくれます。

見落としやすい形

$y = sin^{2} x$ の周期は $2 π$ ではありません。 $π$ です。

半角で直すと分かります。 $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ 。中身が $2 x$ なので周期は $π$ ^[2]。

2 乗すると負の部分が正になり、山が 2 倍の頻度で現れます。だから周期が半分になる。

$y = ∣ sin x ∣$ も同じで周期は $π$ 。折り返して負を消した形です。

$y = sin x cos x$ も $\frac{1}{2} sin 2 x$ なので $π$ 。積の形は、開いてから周期を読みます。

そのまま $2 π$ と答えると外れます。式を変形してから $B$ を見る、という順を守ります。

グラフの描き方

$y = sin 2 x + cos 3 x$ を描くなら、まず $0$ から $2 π$ の 1 周期ぶんだけを丁寧に描きます。

あとはそれを左右にコピーすれば完成です。周期が分かっていれば、描く範囲を絞れる。

1 周期の中では、2 つの成分を足し合わせます。同じ $x$ での高さを縦に足していく。

山と山が重なるところで大きくなり、山と谷が重なるところで打ち消し合います。

$sin 2 x$ は 1 周期に山が 2 つ、 $cos 3 x$ は 3 つ。合わせて複雑な形になりますが、 $2 π$ ごとに必ず同じ形へ戻ります。

まちがえやすい点

個別の周期のうち大きいほうを答える誤りが最も多い。 $π$ と $\frac{2}{3} π$ なら $π$ ではなく $2 π$ です。

最大公約数と最小公倍数のとり違えもよく起きます。周期は公倍数のほう。

$sin^{2} x$ の周期を $2 π$ とする誤りも根強い。半角で直してから読みます。

$sin 2 x \cdot cos 3 x$ のような積を、和と同じ扱いにする誤りもあります。積和で開いてから判断します。

周期の比が無理数の場合に、むりに公倍数を出そうとする形も見ます。存在しないこともあります。

$y = cos 4 x + sin 6 x$ の周期はどれですか。

$π$
$\frac{π}{2}$
$2 π$

__RESULT__

$cos 4 x$ の周期は $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ 、 $sin 6 x$ は $\frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ です。 $π$ の係数 $\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{3}$ の最小公倍数は $\frac{lcm ( 1 , 1 )}{g cd ( 2 , 3 )} = 1$ なので、周期は $π$ になります。

変形が要る形も確かめます。

$y = cos^{2} 3 x$ の周期はどれですか。

$\frac{2 π}{3}$
$\frac{π}{3}$
$\frac{π}{6}$

__RESULT__

$cos^{2} 3 x = \frac{1 + cos 6 x}{2}$ と直します。中身が $6 x$ なので周期は $\frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ です。 $cos 3 x$ のままの周期 $\frac{2 π}{3}$ の半分になります。

個別の周期を $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ で出し、 $π$ の係数の最小公倍数をとる。2 乗や積は先に開きます。

参考

Graphs of the Sine and Cosine Functions. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（周期の定義と

\frac{2 π}{∣ B ∣}

）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.10 と 2.1（次数を下げる形と、

sin

、

cos

の周期）.

$\sin 2x$ の周期は $\pi$、$\cos 3x$ は $\dfrac{2}{3}\pi$ ですが、足すと $2\pi$ になります。両方が同時にもとへ戻る幅を探すので、公倍数のうち最も小さいものが答え。$\pi$ の係数だけ見て、分子の最小公倍数を分母の最大公約数で割ります。$\sin^2 x$ の周期が $2\pi$ ではなく $\pi$ になるのは、半角で直すと中身が $2x$ になるから。積や 2 乗は開いてから $B$ を読みます。$\sin x + \sin\sqrt{2}x$ のように、周期の比が無理数で公倍数が存在しない場合まで。