分数の形をした三角関数は、直線の傾きとして読む

$y=\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +3}$ の最大値と最小値を求めます。

分母にも分子にも三角関数が入っていて、合成も置きかえも効きません。

図で見ると一瞬で片づきます。この式は、点 $(-3,-2)$ と単位円上の点を結ぶ直線の傾きです。

$$y=\frac{\sin \theta -(-2)}{\cos \theta -(-3)}$$

$(x_1,y_1)$ と $(x_2,y_2)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。その形になっています。

傾きが最大や最小になるのは、直線が円に接するとき。あとは接する条件を書くだけです。

定点と円周上の点

単位円上の点は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ です。$\theta$ が動けば、点は円周をひと回りします^[1]。

定点 $(-3,-2)$ は円の外にあります。原点からの距離が $\sqrt{9+4}=\sqrt{13}>1$ だからです。

外の点から円を眺めると、結ぶ直線の傾きには上限と下限があります。

いちばん急な線と、いちばんゆるい線。どちらも円に接する位置で実現します。

接する 2 本のあいだの傾きは、すべて実現できます。円周が連続しているためです。

接する条件で解く

傾き $m$ で $(-3,-2)$ を通る直線を書きます。

$y+2=m(x+3)$、整理して $mx-y+3m-2=0$。

この直線が単位円に接するのは、原点からの距離が $1$ のときです。

$$\frac{|3m-2|}{\sqrt{m^2+1}}=1$$

両辺を 2 乗します。$(3m-2{)}^2=m^2+1$ から $9m^2-12m+4=m^2+1$。

整理して $8m^2-12m+3=0$。解の公式を当てます。

$$\begin{array}{rl}m& =\frac{12\pm \sqrt{144-96}}{16}\\ & =\frac{12\pm 4\sqrt{3}}{16}\\ & =\frac{3\pm \sqrt{3}}{4}\end{array}$$

最大値は $\frac{3+\sqrt{3}}{4}\fallingdotseq 1.183$、最小値は $\frac{3-\sqrt{3}}{4}\fallingdotseq 0.317$ です。

式だけで解く道

図を使わずに解くこともできます。答えは同じ 2 次方程式に着きます。

$y(\cos \theta +3)=\sin \theta +2$ と分母を払います。

$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を左に集めると $\sin \theta -y\cos \theta =3y-2$。

左辺は 1 次で混ざった形なので、合成できます^[2]。振幅は $\sqrt{1+y^2}$。

$$\sqrt{1+y^2}\sin (\theta -\alpha )=3y-2$$

$\sin$ の値は $-1$ から $1$ なので、右辺の絶対値が振幅を超えたら解がありません。

$|3y-2|\le \sqrt{1+y^2}$ が、$\theta$ が存在するための条件です。

2 乗して $9y^2-12y+4\le y^2+1$、つまり $8y^2-12y+3\le 0$。

図の道で出た方程式と、同じ式が現れました。不等号になっているぶん、範囲がそのまま読めます。

どちらの道も同じ形へ

2 つの道が同じ 2 次式に着くのは、偶然ではありません。

図の道では「接する」、式の道では「解が存在する」。どちらも境目を求めています。

接する位置が、$\theta$ が存在できる限界です。それを超えると直線は円と交わらず、対応する $\theta$ もなくなる。

言葉が違うだけで、見ているものは同じ。両方の道を知っていると検算になります。

定点が円の内側にある場合

$y=\frac{\sin \theta }{\cos \theta +2}$ なら定点は $(-2,0)$ で、これも円の外です。

では $y=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta }$ はどうでしょう。定点は $(0,1)$ で、円周上にあります。

このとき定点自身が円の上に乗るので、傾きに上限がありません。分母が $0$ になる $\theta$ があるためです。

$\theta =\frac{\pi }{2}$ では分母も分子も $0$ になり、式が定義されない点も出てきます。

定点の位置を先に確かめる。外なら接線が 2 本引けて答えが有限、円周上や内側なら別の扱いが要ります。

例：もう 1 問

$y=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta +2}$ を解きます。定点は $(-2,-1)$ で、距離は $\sqrt{5}>1$。外です。

式の道でいきます。$\sin \theta -y\cos \theta =2y-1$。

条件は $|2y-1|\le \sqrt{1+y^2}$。2 乗して $4y^2-4y+1\le y^2+1$。

$3y^2-4y\le 0$、つまり $y(3y-4)\le 0$。

$0\le y\le \frac{4}{3}$ です。最小 $0$、最大 $\frac{4}{3}$。

$y=0$ は $\sin \theta =-1$、つまり $\theta =\frac{3}{2}\pi$ のとき。分子が $0$ になる位置です。

まちがえやすい点

分母を払ったあと、$\cos \theta$ の係数の符号を落とす誤りが多い。$-y\cos \theta$ で、マイナスが付きます。

合成の振幅を $\sqrt{1+y^2}$ ではなく $1+y$ とする誤りもよく出ます。三平方の定理で合わせます。

不等号の向きを 2 乗のときに落とす形も見ます。両辺が $0$ 以上なので、この場合は向きが保たれます。

図の道では、定点の座標の符号をまちがえやすい。$\frac{\sin \theta +2}{\cos \theta +3}$ なら定点は $(-3,-2)$ です。

分母が $0$ になる $\theta$ があるかどうかも先に確かめます。あると式が定義されない点が出ます。

図の道でも確かめます。

分数の形が出たら、傾きだと思う。接する条件か、合成して値域と比べるか。どちらでも同じ式に着きます。

出典