三角関数の和を一気に求める - 和積で作る打ち消し合い

$\sin 1^{\circ }+\sin 2^{\circ }+\cdots +\sin 179^{\circ }$ は $114.5887\cdots$ です。179 個を足したわけではありません。

三角関数の和には、公式で一気に片づける手があります。

$$\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta =\frac{\sin \frac{n\theta }{2}\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$$

見た目は複雑ですが、作り方は素朴です。全体に $2\sin \frac{\theta }{2}$ を掛けるだけ。

掛けた瞬間、項どうしが打ち消し合って両端しか残りません。

2sin(θ/2) を掛ける

$\sin k\theta$ に $2\sin \frac{\theta }{2}$ を掛けます。積和の公式を当てる^[1]。

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left\{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\right\}$ で、$\alpha =k\theta$、$\beta =\frac{\theta }{2}$。

$$2\sin \frac{\theta }{2}\sin k\theta =\cos \frac{(2k-1)\theta }{2}-\cos \frac{(2k+1)\theta }{2}$$

右辺が差の形になりました。$k$ 番目の後ろの項と、$k+1$ 番目の前の項が同じ式です。

$k=1$ では $\cos \frac{\theta }{2}-\cos \frac{3\theta }{2}$、$k=2$ では $\cos \frac{3\theta }{2}-\cos \frac{5\theta }{2}$。

$\cos \frac{3\theta }{2}$ が符号を変えて 2 回現れ、足すと消えます。

これが $n$ 個ぶん続くので、生き残るのは最初と最後だけ。望遠鏡が縮むように、中身が畳まれます^[2]。

$$2\sin \frac{\theta }{2}\sum _{k=1}^n\sin k\theta =\cos \frac{\theta }{2}-\cos \frac{(2n+1)\theta }{2}$$

和積でもう一段きれいにする

$\cos \frac{\theta }{2}-\cos \frac{(2n+1)\theta }{2}$ を積の形に直します。

$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$ を当てます^[1]。

平均は $\frac{(n+1)\theta }{2}$、差の半分は $-\frac{n\theta }{2}$ です。

$\sin$ は奇関数なので、$-2\times \sin \frac{(n+1)\theta }{2}\times \left(-\sin \frac{n\theta }{2}\right)=2\sin \frac{(n+1)\theta }{2}\sin \frac{n\theta }{2}$。

両辺を $2\sin \frac{\theta }{2}$ で割れば、冒頭の公式が出ます。

$$\sum _{k=1}^n\sin k\theta =\frac{\sin \frac{n\theta }{2}\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$$

$\sin \frac{\theta }{2}=0$、つまり $\theta$ が $2\pi$ の整数倍のときは割れません。そのときは各項が $0$ なので、和も $0$ です。

例：n = 3、θ = π/3

素直に足してみます。$\sin \frac{\pi }{3}+\sin \frac{2\pi }{3}+\sin \pi =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0=\sqrt{3}$。

公式でも出します。$\frac{n\theta }{2}=\frac{\pi }{2}$、$\frac{(n+1)\theta }{2}=\frac{2\pi }{3}$、$\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{6}$。

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{2\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{6}}& =\frac{1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{3}\end{array}$$

一致しました。項が 3 つなら手で足すほうが速いですが、$n=179$ ではそうもいきません。

冒頭の 179 項を出す

$\theta =1^{\circ }$、$n=179$ とします。$\frac{n\theta }{2}=89.5^{\circ }$、$\frac{(n+1)\theta }{2}=90^{\circ }$、$\frac{\theta }{2}=0.5^{\circ }$。

$$\frac{\sin 89.5^{\circ }\times \sin 90^{\circ }}{\sin 0.5^{\circ }}=\frac{\sin 89.5^{\circ }}{\sin 0.5^{\circ }}$$

$\sin 89.5^{\circ }=\cos 0.5^{\circ }$ なので、これは $\frac{\cos 0.5^{\circ }}{\sin 0.5^{\circ }}=\frac{1}{\tan 0.5^{\circ }}$ です。

$\tan 0.5^{\circ }\fallingdotseq 0.0087269$ なので、和は $114.5887$。

$179$ 個の値を 1 つずつ足す代わりに、$\tan$ を 1 回計算するだけで済みました。

$\sin 90^{\circ }=1$ がうまく効いています。$n$ が奇数で $\theta =1^{\circ }$ という設定は、そこを狙ったものです。

和が 0 になる場合

$\theta =\frac{2\pi }{n}$ とすると、$\sin \frac{n\theta }{2}=\sin \pi =0$ です。

分子が $0$ なので、和も $0$ になります。

$$\sin \frac{2\pi }{n}+\sin \frac{4\pi }{n}+\cdots +\sin \frac{2n\pi }{n}=0$$

図で見ると当たり前です。単位円を $n$ 等分した点の $y$ 座標を全部足しているので、上下で釣り合います。

$\cos$ のほうを足しても $0$ になります。正 $n$ 角形の重心が中心にある、という事実の言い換えです。

cos の和も同じ手で出る

$\cos k\theta$ に $2\sin \frac{\theta }{2}$ を掛けます。今度は $\sin \alpha \cos \beta$ の積和を使う。

$$2\sin \frac{\theta }{2}\cos k\theta =\sin \frac{(2k+1)\theta }{2}-\sin \frac{(2k-1)\theta }{2}$$

やはり差の形です。足し合わせると、途中が消えて両端だけ残ります。

$$\sum _{k=1}^n\cos k\theta =\frac{\sin \frac{n\theta }{2}\cos \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$$

$\sin$ のときと比べると、分子の後ろが $\sin$ から $\cos$ に変わっただけです。

$n=1$ で確かめます。$\frac{\sin \frac{\theta }{2}\cos \theta }{\sin \frac{\theta }{2}}=\cos \theta$。合っています。

まちがえやすい点

掛ける相手を $\sin \theta$ とする誤りが多い。$2\sin \frac{\theta }{2}$ で、半分の角です。

半分でないと差の形が隣とつながりません。$\frac{(2k\pm 1)\theta }{2}$ という刻みが要ります。

最後に $2\sin \frac{\theta }{2}$ で割り忘れる形もよく出ます。掛けたものは戻します。

$\theta$ が $2\pi$ の整数倍の場合を確かめずに公式を当てる誤りもあります。分母が $0$ になります。

$\cos$ の和で分子の後ろを $\sin$ のままにする形も見ます。$\sin$ の和は $\sin \sin$、$\cos$ の和は $\sin \cos$ です。

和が消える場合も確かめます。

$2\sin \frac{\theta }{2}$ を掛けて差に変え、畳んで、割り戻す。三角関数の和は、この 3 手で閉じた形になります。

参考文献