sinθ + cosθ の値ひとつから積も差も 3 乗も出る〜対称式

$sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ と言われたら、 $sin θ$ も $cos θ$ も分かりません。

それでも $sin θ cos θ$ は出ます。 $- \frac{3}{8}$ です。

3 乗の和も 4 乗の和も出る。個々の値を知らないまま、組み合わせた量だけが決まります。

鍵は $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ が最初から手元にあることです。ふつうの対称式より 1 本多く材料があります。

2 乗すると積が出る

$s = sin θ + cos θ$ と置きます。両辺を 2 乗する。

$s^{2} = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = 1 + 2 sin θ cos θ$

$sin^{2} + cos^{2}$ が $1$ に化けました^[1]。残るのは積の項だけ。

$p = sin θ cos θ$ と書けば $p = \frac{s ^{2} - 1}{2}$ です。

$s = \frac{1}{2}$ なら $p = \frac{\frac{1}{4} - 1}{2} = - \frac{3}{8}$ 。

$p$ が負なので、 $sin θ$ と $cos θ$ は符号が違います。和が正なので、絶対値の大きいほうが正。

この時点で $θ$ が第 2 象限か第 4 象限かに絞れています。値を出す前に、位置が見えてきます。

差は符号が決まらない

$sin θ - cos θ$ も 2 乗すれば出ます。今度は真ん中の項が引き算になる。

$(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 p = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

平方根をとって $sin θ - cos θ = \pm \frac{7}{2}$ 。

$\pm$ が付いたまま残ります。2 乗した情報からは、どちらが大きいかが分からないためです。

決めるには $θ$ の範囲が要ります。 $0 < θ < π$ なら $sin θ > 0 > cos θ$ なので差は正。

範囲が与えられていなければ、両方を答えます。和と違い、差は対称式ではないので符号が残る。

和と積

$sin θ$ と $cos θ$ を入れ替えても変わらない。対称式なので符号が決まる

差

入れ替えると符号が反転する。交代式なので、範囲がないと $\pm$ が残る

3 乗も 4 乗も出る

$sin^{3} θ + cos^{3} θ$ は、因数分解の公式で $s$ と $p$ に落ちます。

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ で、 $a^{2} + b^{2} = 1$ なので次の形。

$sin^{3} θ + cos^{3} θ = s (1 - p) = \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{8}) = \frac{11}{16}$

4 乗の和は $s$ すら要りません。 $p$ だけで書けます。

$sin^{4} θ + cos^{4} θ = (sin^{2} θ + cos^{2} θ)^{2} - 2 sin^{2} θ cos^{2} θ = 1 - 2 p^{2}$ 。

$p = - \frac{3}{8}$ なので $1 - 2 \times \frac{9}{64} = 1 - \frac{9}{32} = \frac{23}{32}$ 。

偶数乗の和は $p$ の偶数乗で書けるので、 $p$ の符号にも左右されません。

$sin θ cos θ$	$\frac{s ^{2} - 1}{2}$
$sin θ - cos θ$	$\pm 1 - 2 p$
$sin^{3} θ + cos^{3} θ$	$s (1 - p)$
$sin^{4} θ + cos^{4} θ$	$1 - 2 p^{2}$
$tan θ + \frac{1}{tan θ}$	$\frac{1}{p}$

最後の 1 本も同じ発想です。通分すると $\frac{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{sin θ cos θ} = \frac{1}{p}$ 。

s のとれる値には限りがある

$s$ は好きな値をとれません。合成すると理由が見えます^[2]。

$s = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$

$sin$ の値は $- 1$ から $1$ なので、 $- 2 \leq s \leq 2$ です。

$s = 2$ という問題が出たら、その時点で解なし。 $2 > 2$ だからです。

$p$ の範囲も決まります。 $p = \frac{s ^{2} - 1}{2}$ に $0 \leq s^{2} \leq 2$ を入れて $- \frac{1}{2} \leq p \leq \frac{1}{2}$ 。

$sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ なので、 $sin 2 θ$ の範囲から直接読んでも同じ結果です。

積から和へ戻す

逆向きも解けます。 $sin θ cos θ = \frac{1}{4}$ のとき $sin θ + cos θ$ を求めます。

$s^{2} = 1 + 2 p = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ なので $s = \pm \frac{6}{2}$ 。

$\frac{6}{2} ≒ 1.2247$ で、 $2 ≒ 1.414$ より小さい。範囲に収まっています。

符号は決まりません。 $p > 0$ なので $sin θ$ と $cos θ$ は同符号ですが、両方正か両方負かは分からない。

第 1 象限なら $s$ は正、第 3 象限なら負です。範囲の指定がなければ両方を答えます。

値そのものを復元する

$s$ と $p$ が分かれば、 $sin θ$ と $cos θ$ は 2 次方程式の解として出ます。

和が $s$ 、積が $p$ の 2 数は $x^{2} - s x + p = 0$ の解です。

$s = \frac{1}{2}$ 、 $p = - \frac{3}{8}$ なら $x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{8} = 0$ 、両辺を 8 倍して $8 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 。

解の公式から $x = \frac{4 \pm 16 + 96}{16} = \frac{4 \pm 4 7}{16} = \frac{1 \pm 7}{4}$ 。

$\frac{1 + 7}{4} ≒ 0.911$ と $\frac{1 - 7}{4} ≒ - 0.412$ です。

どちらが $sin θ$ かは、範囲を見て決めます。 $0 < θ < π$ なら $sin θ$ が正なので $\frac{1 + 7}{4}$ 。

和と積から 2 数を復元するのは、解と係数の関係を逆に使う手です。

$x^{2} - s x + p = 0$ の 2 解が、ちょうど $sin θ$ と $cos θ$ になります。どちらがどちらかは、範囲が決めます。

方程式として解く

$sin θ + cos θ = 1$ を $0 \leq θ < 2 π$ で解きます。今度は $θ$ そのものが答えです。

合成して $2 sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$ 、つまり $sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}$ 。

範囲を動かします。 $\frac{π}{4} \leq θ + \frac{π}{4} < 2 π + \frac{π}{4}$ 。

$sin$ が $\frac{2}{2}$ になるのは $\frac{π}{4}$ と $\frac{3}{4} π$ 。両方この範囲に入ります。

$\frac{π}{4}$ を引いて $θ = 0, \frac{π}{2}$ 。

確かめます。 $θ = 0$ なら $0 + 1 = 1$ 、 $θ = \frac{π}{2}$ なら $1 + 0 = 1$ 。どちらも合っています。

まちがえやすい点

2 乗したとき $sin^{2} + cos^{2} = 1$ を使い忘れる誤りが多い。 $s^{2}$ を展開したら、必ずこの置き換えが入ります。

差の $\pm$ を勝手に片方に決める誤りも起きます。範囲がなければ両方残します。

$s$ の範囲を確かめずに進む形も見ます。 $∣ s ∣ > 2$ なら、そもそも解がありません。

$p$ を $\frac{s ^{2}}{2}$ とする誤りもよくあります。 $- 1$ を引いてから 2 で割ります。

3 乗の和で $a^{2} - ab + b^{2}$ の真ん中の符号をまちがえる形もあります。 $1 - p$ であって $1 + p$ ではない。

$sin θ + cos θ = \frac{3}{2}$ のとき、 $sin θ cos θ$ はどれですか。

$\frac{3}{8}$
$- \frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$

__RESULT__

$s^{2} = \frac{3}{4}$ です。 $p = \frac{s ^{2} - 1}{2} = \frac{\frac{3}{4} - 1}{2} = \frac{- \frac{1}{4}}{2} = - \frac{1}{8}$ になります。 $\frac{3}{8}$ は $- 1$ を引き忘れた値です。 $p$ が負なので、 $sin θ$ と $cos θ$ は符号が違うと分かります。

3 乗のほうも確かめます。

$sin θ + cos θ = 1$ のとき、 $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ はどれですか。

$1$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$

__RESULT__

$p = \frac{1 - 1}{2} = 0$ です。 $sin^{3} θ + cos^{3} θ = s (1 - p) = 1 \times 1 = 1$ になります。 $p = 0$ は $sin θ$ か $cos θ$ の一方が $0$ という意味で、 $θ = 0$ または $\frac{π}{2}$ 。どちらでも 3 乗の和は $1$ です。

2 乗して $1$ に化けさせる。和から積が出れば、あとの量はすべてそこから組み立てられます。

参考

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Prérequis と Proposition 1.9（

sin^{2} + cos^{2} = 1

と 2 倍角）.

Harmonic Addition Theorem. MathWorld（合成の振幅が

a^{2} + b^{2}

になること）.

$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ だけでは個々の値は分かりませんが、$\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$ は出ます。2 乗すると $\sin^2 + \cos^2$ が $1$ に化けて、積の項だけが残るから。ふつうの対称式より材料が 1 本多い。差のほうは交代式なので $\pm$ が残り、範囲がなければ決まりません。$s$ が $\sqrt{2}$ を超えられない理由は合成すれば見えます。$x^2 - sx + p = 0$ を解いて $\sin\theta$ と $\cos\theta$ そのものを復元する手順と、どちらがどちらかを範囲で決める話まで。