sin 1 と cos 1 と tan 1 の大小……ラジアンで比べる

$sin 1$ 、 $cos 1$ 、 $tan 1$ を小さい順に並べると、 $cos 1 < sin 1 < tan 1$ です。

電卓に頼らずに決められます。まず $1$ という角がどこにあるかを押さえます。

$1$ ラジアンはおよそ $57. 3^{\circ}$ 。 $\frac{π}{4} ≒ 0.785$ より大きく、 $\frac{π}{2} ≒ 1.571$ より小さい。

つまり $4 5^{\circ}$ と $9 0^{\circ}$ のあいだにあります。ここが分かれば、あとは順に決まる。

角が度で書かれていないときは、まずこの位置決めをします。

45 度をまたぐと sin が上に出る

$0 < θ < \frac{π}{4}$ では $cos θ > sin θ$ 、 $\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}$ では $sin θ > cos θ$ です。

単位円で見ると、直線 $y = x$ より上か下かの話になります^[1]。

$θ = \frac{π}{4}$ でちょうど等しく、そこを境に入れ替わる。

$1 > \frac{π}{4}$ なので $sin 1 > cos 1$ が決まります。

$tan 1$ はさらに上です。 $tan 1 = \frac{sin 1}{cos 1}$ で、 $0 < cos 1 < 1$ なので割ると大きくなります。

$cos 1 < sin 1 < tan 1$

数値では $0.5403 < 0.8415 < 1.5574$ 。予想どおりです。

1 をはさむ

もう 1 つ、便利な基準があります。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ では $sin θ < θ < tan θ$ が成り立ちます^[2]。

扇形の面積を三角形ではさんだときに出てくる不等式です。

$θ = 1$ を入れると $sin 1 < 1 < tan 1$ 。

$sin 1$ は $1$ より小さく、 $tan 1$ は $1$ より大きい。 $1$ が 2 つのあいだに入ります。

$cos 1$ は $sin 1$ より小さいと分かっているので、 $1$ より小さい。順序が確定しました。

$θ$ をはさむこの不等式は、大小比較でそのまま使えます。基準の $1$ が式の中にあるためです。

角が変わると順序も変わる

$sin 2$ 、 $cos 2$ 、 $tan 2$ を並べます。 $2$ ラジアンはおよそ $114. 6^{\circ}$ で、第 2 象限です。

第 2 象限では $sin$ が正、 $cos$ と $tan$ が負。

$tan 2 = \frac{sin 2}{cos 2}$ で、分子が正、分母が負なので $tan 2$ は負です。

$∣ cos 2∣ ≒ 0.416$ で $1$ より小さいので、割ると絶対値が大きくなります。 $tan 2$ は $cos 2$ より小さい。

$tan 2 < cos 2 < sin 2$

数値では $- 2.185 < - 0.416 < 0.909$ 。 $1$ のときとは順序が違います。

象限が変われば符号が変わり、順序も入れ替わる。角の位置決めを飛ばせません。

$1$ ラジアン	およそ $57. 3^{\circ}$ 、第 1 象限
$2$ ラジアン	およそ $114. 6^{\circ}$ 、第 2 象限
$3$ ラジアン	およそ $171. 9^{\circ}$ 、第 2 象限
$4$ ラジアン	およそ $229. 2^{\circ}$ 、第 3 象限
$5$ ラジアン	およそ $286. 5^{\circ}$ 、第 4 象限
$6$ ラジアン	およそ $343. 8^{\circ}$ 、第 4 象限

$1$ から $6$ まででちょうど 1 周します。 $2 π ≒ 6.283$ なので、 $6$ でまだ一周していません。

sin 1、sin 2、sin 3 を並べる

同じ関数の値どうしを比べる場合です。

$sin$ が最大になるのは $\frac{π}{2} ≒ 1.571$ のとき。ここからの距離で決まります。

$1$ との距離は $0.571$ 、 $2$ との距離は $0.429$ 、 $3$ との距離は $1.429$ 。

近いほど $sin$ が大きいので、 $sin 3 < sin 1 < sin 2$ です。

数値では $0.141 < 0.841 < 0.909$ 。合っています。

$cos$ のほうは単純です。 $0$ から $π$ まで減り続けるので、 $cos 1 > cos 2 > cos 3$ 。

$0.540 > - 0.416 > - 0.990$ です。 $cos$ は単調なので、角の大小がそのまま逆順になります。

cos の比較

$0$ から $π$ で減り続ける。角が大きいほど値は小さい

sin の比較

$\frac{π}{2}$ で折り返す。 $\frac{π}{2}$ にどれだけ近いかで決まる

有名角と比べる

$sin 1$ と $\frac{3}{2}$ ではどちらが大きいでしょう。

$\frac{3}{2} = sin \frac{π}{3}$ です。 $\frac{π}{3} ≒ 1.047$ 。

$1 < 1.047$ で、どちらも $\frac{π}{2}$ より小さい範囲にあります。この範囲では $sin$ が増加します。

だから $sin 1 < sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ 。

$0.8415 < 0.8660$ で合っています。

有名角をラジアンの数値に直しておくと、こうした比較がすぐできます。 $\frac{π}{6} ≒ 0.524$ 、 $\frac{π}{4} ≒ 0.785$ 、 $\frac{π}{3} ≒ 1.047$ 。

まちがえやすい点

$sin 1$ を $sin 1^{\circ}$ と読む誤りが最も多い。記号のない角はラジアンです。

$sin 1^{\circ} ≒ 0.0175$ 、 $sin 1 ≒ 0.8415$ 。桁がまるごと違います。

$π$ の値を思い出さずに位置を決めようとする形もよく見ます。 $π ≒ 3.14$ を使えば象限が読めます。

$tan$ の符号を $sin$ と同じにしてしまう誤りもあります。 $tan$ は第 1・第 3 象限で正です。

$sin$ の比較で角の大小をそのまま使う誤りも起きます。 $\frac{π}{2}$ で折り返すので、単調ではありません。

角がラジアンで与えられたら、まず $π$ の何倍かを見積もります。

$π ≒ 3.14$ 、 $\frac{π}{2} ≒ 1.57$ 。この 2 つを覚えておけば、象限はすぐ決まります。

まとめて確かめる

$sin 1$ 、 $sin 2$ 、 $cos 1$ 、 $cos 2$ の 4 つを並べます。

$cos 2$ は負、残りは正。まず $cos 2$ が最小です。

$cos 1 ≒ 0.540$ 、 $sin 1 ≒ 0.842$ 、 $sin 2 ≒ 0.909$ 。

$cos 1 < sin 1$ は $1 > \frac{π}{4}$ から。 $sin 1 < sin 2$ は $2$ のほうが $\frac{π}{2}$ に近いから。

$cos 2 < cos 1 < sin 1 < sin 2$

符号で振り分け、そのあと基準の角と比べる。この順で並べれば、数値を出さずに決まります。

$sin 3$ と $cos 3$ の大小はどちらですか。

$sin 3 > cos 3$
$sin 3 < cos 3$
等しい

__RESULT__

$3$ ラジアンはおよそ $171. 9^{\circ}$ で第 2 象限です。第 2 象限では $sin$ が正、 $cos$ が負なので、 $sin 3 > cos 3$ になります。値は $0.141$ と $- 0.990$ です。符号だけで決まる場合もあります。

同じ関数どうしも確かめます。

$cos 1$ 、 $cos 2$ 、 $cos 3$ を大きい順に並べるとどれですか。

$cos 1 > cos 2 > cos 3$
$cos 3 > cos 2 > cos 1$
$cos 2 > cos 1 > cos 3$

__RESULT__

$1$ 、 $2$ 、 $3$ はどれも $0$ と $π ≒ 3.14$ のあいだにあります。この区間で $cos$ は減り続けるので、角が大きいほど値は小さくなります。 $0.540 > - 0.416 > - 0.990$ です。

角がラジアンで来たら、まず何度かを見積もる。象限が決まれば符号が決まり、順序も決まります。

参考

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Définition 1.2 と Proposition 2.1（単位円上の位置と、

sin

、

cos

の増減）.

Proof of Trig Limits. Paul's Online Notes, Lamar University（

sin x < x < tan x

）.

$\cos 1 < \sin 1 < \tan 1$ です。電卓は要りません。$1$ ラジアンがおよそ $57.3^\circ$ で $\dfrac{\pi}{4}$ と $\dfrac{\pi}{2}$ のあいだにある、と押さえるところから始めます。$45^\circ$ をまたぐと $\sin$ が $\cos$ を追い越し、$\cos 1 < 1$ なので割ると $\tan$ はさらに上。$\sin\theta < \theta < \tan\theta$ を使えば基準の $1$ もはさめます。$2$ ラジアンでは第 2 象限に入って順序が $\tan 2 < \cos 2 < \sin 2$ と入れ替わる。$\sin$ の比較が $\dfrac{\pi}{2}$ からの距離で決まる話まで。