sin 1 と cos 1 と tan 1 の大小……ラジアンで比べる

$\sin 1$、$\cos 1$、$\tan 1$ を小さい順に並べると、$\cos 1<\sin 1<\tan 1$ です。

電卓に頼らずに決められます。まず $1$ という角がどこにあるかを押さえます。

$1$ ラジアンはおよそ $57.3^{\circ }$。$\frac{\pi }{4}\fallingdotseq 0.785$ より大きく、$\frac{\pi }{2}\fallingdotseq 1.571$ より小さい。

つまり $45^{\circ }$ と $90^{\circ }$ のあいだにあります。ここが分かれば、あとは順に決まる。

角が度で書かれていないときは、まずこの位置決めをします。

45 度をまたぐと sin が上に出る

$0<\theta <\frac{\pi }{4}$ では $\cos \theta >\sin \theta$、$\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{\pi }{2}$ では $\sin \theta >\cos \theta$ です。

単位円で見ると、直線 $y=x$ より上か下かの話になります^[1]。

$\theta =\frac{\pi }{4}$ でちょうど等しく、そこを境に入れ替わる。

$1>\frac{\pi }{4}$ なので $\sin 1>\cos 1$ が決まります。

$\tan 1$ はさらに上です。$\tan 1=\frac{\sin 1}{\cos 1}$ で、$0<\cos 1<1$ なので割ると大きくなります。

$$\cos 1<\sin 1<\tan 1$$

数値では $0.5403<0.8415<1.5574$。予想どおりです。

1 をはさむ

もう 1 つ、便利な基準があります。$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ では $\sin \theta <\theta <\tan \theta$ が成り立ちます^[2]。

扇形の面積を三角形ではさんだときに出てくる不等式です。

$\theta =1$ を入れると $\sin 1<1<\tan 1$。

$\sin 1$ は $1$ より小さく、$\tan 1$ は $1$ より大きい。$1$ が 2 つのあいだに入ります。

$\cos 1$ は $\sin 1$ より小さいと分かっているので、$1$ より小さい。順序が確定しました。

$\theta$ をはさむこの不等式は、大小比較でそのまま使えます。基準の $1$ が式の中にあるためです。

角が変わると順序も変わる

$\sin 2$、$\cos 2$、$\tan 2$ を並べます。$2$ ラジアンはおよそ $114.6^{\circ }$ で、第 2 象限です。

第 2 象限では $\sin$ が正、$\cos$ と $\tan$ が負。

$\tan 2=\frac{\sin 2}{\cos 2}$ で、分子が正、分母が負なので $\tan 2$ は負です。

$|\cos 2|\fallingdotseq 0.416$ で $1$ より小さいので、割ると絶対値が大きくなります。$\tan 2$ は $\cos 2$ より小さい。

$$\tan 2<\cos 2<\sin 2$$

数値では $-2.185<-0.416<0.909$。$1$ のときとは順序が違います。

象限が変われば符号が変わり、順序も入れ替わる。角の位置決めを飛ばせません。

$1$ から $6$ まででちょうど 1 周します。$2\pi \fallingdotseq 6.283$ なので、$6$ でまだ一周していません。

sin 1、sin 2、sin 3 を並べる

同じ関数の値どうしを比べる場合です。

$\sin$ が最大になるのは $\frac{\pi }{2}\fallingdotseq 1.571$ のとき。ここからの距離で決まります。

$1$ との距離は $0.571$、$2$ との距離は $0.429$、$3$ との距離は $1.429$。

近いほど $\sin$ が大きいので、$\sin 3<\sin 1<\sin 2$ です。

数値では $0.141<0.841<0.909$。合っています。

$\cos$ のほうは単純です。$0$ から $\pi$ まで減り続けるので、$\cos 1>\cos 2>\cos 3$。

$0.540>-0.416>-0.990$ です。$\cos$ は単調なので、角の大小がそのまま逆順になります。

有名角と比べる

$\sin 1$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ではどちらが大きいでしょう。

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ です。$\frac{\pi }{3}\fallingdotseq 1.047$。

$1<1.047$ で、どちらも $\frac{\pi }{2}$ より小さい範囲にあります。この範囲では $\sin$ が増加します。

だから $\sin 1<\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$0.8415<0.8660$ で合っています。

有名角をラジアンの数値に直しておくと、こうした比較がすぐできます。$\frac{\pi }{6}\fallingdotseq 0.524$、$\frac{\pi }{4}\fallingdotseq 0.785$、$\frac{\pi }{3}\fallingdotseq 1.047$。

まちがえやすい点

$\sin 1$ を $\sin 1^{\circ }$ と読む誤りが最も多い。記号のない角はラジアンです。

$\sin 1^{\circ }\fallingdotseq 0.0175$、$\sin 1\fallingdotseq 0.8415$。桁がまるごと違います。

$\pi$ の値を思い出さずに位置を決めようとする形もよく見ます。$\pi \fallingdotseq 3.14$ を使えば象限が読めます。

$\tan$ の符号を $\sin$ と同じにしてしまう誤りもあります。$\tan$ は第 1・第 3 象限で正です。

$\sin$ の比較で角の大小をそのまま使う誤りも起きます。$\frac{\pi }{2}$ で折り返すので、単調ではありません。

まとめて確かめる

$\sin 1$、$\sin 2$、$\cos 1$、$\cos 2$ の 4 つを並べます。

$\cos 2$ は負、残りは正。まず $\cos 2$ が最小です。

$\cos 1\fallingdotseq 0.540$、$\sin 1\fallingdotseq 0.842$、$\sin 2\fallingdotseq 0.909$。

$\cos 1<\sin 1$ は $1>\frac{\pi }{4}$ から。$\sin 1<\sin 2$ は $2$ のほうが $\frac{\pi }{2}$ に近いから。

$$\cos 2<\cos 1<\sin 1<\sin 2$$

符号で振り分け、そのあと基準の角と比べる。この順で並べれば、数値を出さずに決まります。

同じ関数どうしも確かめます。

角がラジアンで来たら、まず何度かを見積もる。象限が決まれば符号が決まり、順序も決まります。

参考