2 つの角が同時に出てくる連立三角方程式｜和積の使いどころ

$\sin x+\sin y=1$ と $\cos x+\cos y=\sqrt{3}$ を同時に満たす $x$、$y$ を求めます。

角が 2 つ、式が 2 本。どちらの式にも $x$ と $y$ が混ざっていて、片方を消せません。

道は 2 つあります。2 乗して足すか、和積で $\frac{x+y}{2}$ と $\frac{x-y}{2}$ に化けさせるか。

どちらでも $x=y=\frac{\pi }{6}$ に着きます。

2 乗して足す

いちばん短いのはこの手です。それぞれを 2 乗して足します。

$$\begin{array}{rl}(\sin x+\sin y{)}^2+(\cos x+\cos y{)}^2& =1+3\\ & =4\end{array}$$

左辺を展開します。${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$、${\sin }^{2}y+{\cos }^{2}y=1$ が出てきます。

残る交差項は $2\sin x\sin y+2\cos x\cos y$。これは $\cos$ の加法定理の形です^[1]。

$$2+2\cos (x-y)=4$$

$\cos (x-y)=1$ なので $x-y=2n\pi$。$0\le x,y<2\pi$ なら $x=y$ です。

あとは簡単。$2\sin x=1$、$2\cos x=\sqrt{3}$ から $\sin x=\frac{1}{2}$、$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$x=\frac{\pi }{6}$ で、$y$ も同じ値です。

2 乗して足すと、${\sin }^2+{\cos }^2$ が 2 回まとまり、加法定理が 1 回現れる。この 3 つの働きで一気に片づきます。

ベクトルとして読む

2 乗して足す計算には、図としての意味があります。

$(\cos x,\sin x)$ と $(\cos y,\sin y)$ は、どちらも長さ $1$ のベクトルです^[2]。

2 本の和が $(\sqrt{3},1)$ になる、というのが与えられた条件。

この和の長さは $\sqrt{3+1}=2$ です。

長さ $1$ のベクトル 2 本を足して長さ $2$ になるのは、2 本が同じ向きのときだけ。

だから $x=y$ が出ます。計算せずに結論が見えました。

和の長さが $2$ より小さければ、2 本は開いています。$0$ なら真反対を向いている。

和積で解く

もう 1 つの道です。それぞれの式に和積を当てます^[3]。

$$2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=1,2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=\sqrt{3}$$

どちらにも $\cos \frac{x-y}{2}$ が現れました。ここが要です。

割り算すると、その共通因子が消えます。

$$\tan \frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$\frac{x+y}{2}=\frac{\pi }{6}$ または $\frac{7}{6}\pi$ です。

2 乗して足すと、今度は ${\sin }^2+{\cos }^2$ がまとまります。

$4{\cos }^2\frac{x-y}{2}=1+3=4$ から $\cos \frac{x-y}{2}=\pm 1$。

$0\le x,y<2\pi$ なら $\frac{x-y}{2}$ は $-\pi$ と $\pi$ のあいだにあるので、$\cos =1$ すなわち $\frac{x-y}{2}=0$ だけが残ります。

$x=y$ となり、$\frac{x+y}{2}=x=\frac{\pi }{6}$。もう一方の候補 $\frac{7}{6}\pi$ は、代入すると符号が合わず消えます。

どちらの道を選ぶか

2 乗して足す道は速いですが、$x-y$ しか出ません。$x+y$ の情報が消えます。

さきほどの問題では $x=y$ が出たので、そのあと 1 本の式に戻せました。運がよかった形です。

$x-y$ が $0$ でない場合は、$x+y$ も要ります。そのときは和積の道です。

和積は $\frac{x+y}{2}$ と $\frac{x-y}{2}$ の両方を出してくれます。情報が落ちません。

まず 2 乗して足してみて、$x=y$ にならなければ和積へ移る。この順が実際的です。

例：差が 0 にならない場合

$\sin x+\sin y=1$、$\cos x+\cos y=1$ を $0\le x,y<2\pi$ で解きます。

2 乗して足すと $2+2\cos (x-y)=2$ なので $\cos (x-y)=0$。$x-y=\pm \frac{\pi }{2}$ です。

今度は $x=y$ になりません。$x+y$ も要るので、和積へ移ります。

$\tan \frac{x+y}{2}=\frac{1}{1}=1$ から $\frac{x+y}{2}=\frac{\pi }{4}$ または $\frac{5}{4}\pi$。

$\cos \frac{x-y}{2}$ のほうは $4{\cos }^2\frac{x-y}{2}=1+1=2$ から $\cos \frac{x-y}{2}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$\frac{x-y}{2}=\pm \frac{\pi }{4}$ となり、$x-y=\pm \frac{\pi }{2}$。2 乗して足した結果と合っています。

$\frac{x+y}{2}=\frac{\pi }{4}$、$\frac{x-y}{2}=\frac{\pi }{4}$ なら $x=\frac{\pi }{2}$、$y=0$。

確かめます。$\sin \frac{\pi }{2}+\sin 0=1$、$\cos \frac{\pi }{2}+\cos 0=1$。合いました。

$\frac{x-y}{2}=-\frac{\pi }{4}$ なら $x=0$、$y=\frac{\pi }{2}$ です。$x$ と $y$ を入れ替えた解になります。

まちがえやすい点

2 乗して足したあと、交差項を $\cos (x+y)$ とする誤りが多い。$\cos x\cos y+\sin x\sin y$ は差のほうです。

$\cos (x-y)=1$ から $x=y$ と結論するとき、範囲の確認を飛ばす形もよく出ます。一般には $x-y=2n\pi$ です。

和積で割り算するとき、$\cos \frac{x-y}{2}=0$ の場合を捨ててしまう誤りもあります。割る前に $0$ でないかを見ます。

$\frac{x+y}{2}$ の範囲を書き忘れる誤りも起きます。$0\le x,y<2\pi$ なら $0\le \frac{x+y}{2}<2\pi$ です。

出た候補を代入して確かめない形も見ます。$\tan$ から出した角には、符号が合わないものが混じります。

和積の道も確かめます。

まず 2 乗して足す。$x=y$ にならなければ和積へ。角が 2 つの連立は、この順で通ります。

参考文献