線形代数ってそもそもなに？ベクトルと行列をざっくりつかむ

線形代数が調べるのは「まっすぐな写像」だけです。曲がったものは扱いません。

まっすぐとは、次の 2 つを満たすこと。足してから送っても、送ってから足しても同じ。定数倍も同じように通り抜ける。

$$f(x+y)=f(x)+f(y),f(cx)=cf(x)$$

条件が厳しいぶん、分かることが多い。この 2 行から出てくるものを積み上げていく分野です^[3]。

ベクトルは矢印だけではない

高校では、ベクトルを「向きと大きさを持つ量」と習います。線形代数では定義が変わり、もっと広くなります。

足し算とスカラー倍ができて、次の 8 つが成り立つ集合。それがベクトル空間です^[1]。

新しい規則は 1 つもありません。数の計算でやっていたことを、そのまま持ってきただけ^[1]。

違うのは、何と何を掛けてよいかです。ベクトルどうしは掛けられず、ベクトルに数を足すこともできません。

例：ベクトル空間になるもの

${\mathbb{R}}^n$ の列ベクトルは、もちろんベクトル空間です。それ以外にもたくさんあります。

$2$ 次以下の多項式の全体は、足してもスカラー倍しても $2$ 次以下のまま。ベクトル空間になります。次元は $3$ で、基底は $1,x,x^2$。

$m\times n$ 行列の全体も同じです。次元は $mn$。行列という見かけを外すと、${\mathbb{R}}^{mn}$ と変わりません。

区間 $[0,1]$ 上の連続関数の全体もベクトル空間になります。こちらは有限個の基底では書けず、無限次元です。

線形写像

ベクトル空間からベクトル空間への写像で、冒頭の 2 つを満たすものを線形写像と呼びます^[3]。

${\mathbb{R}}^2$ の回転は線形です。$2$ 本の矢印を先に足してから回しても、別々に回してから足しても同じ結果になります。

平行移動は線形ではありません。$f(x)=x+a$ とすると $f(x+y)=x+y+a$ ですが、$f(x)+f(y)=x+y+2a$ で一致しない。

微分は線形です。$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$、$(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$。積分も同じ。だから微分方程式に線形代数が効きます。

基底の行き先だけで全部決まる

線形写像は、基底をどこへ送るかを決めれば、それ以上決めることがありません。ここが線形の強さです。

$V$ の基底を $e_1,\dots ,e_n$ とし、$v=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$ と書きます。$f$ を当てると、条件がそのまま使えます。

$$f(v)=f\left(\sum _i{x}_i{e}_i\right)=\sum _i{x}_{i}f(e_i)$$

右辺に出てくるのは $f(e_i)$ だけ。$n$ 個の行き先を決めれば、残りの無限個の点での値が自動で決まります。

2 つの線形写像 $f$、$g$ が基底で一致すれば、どこでも一致する。上の式で右辺が同じになるためです。

行列は座標での姿

$f(e_j)$ を行き先側の基底で書き、その座標を第 $j$ 列に立てて並べる。これが表現行列です^[3]。

$n$ 個の行き先を表にしただけのもの。だから行列は写像そのものではなく、基底を選んだあとの姿になります。

座標に直すと、写像の適用が行列の積になります。

$$\mathbf{y}=A\mathbf{x}$$

基底を選び直せば、同じ写像でも別の行列が出ます。どの基底を選ぶと簡単になるか、という問いが分野のあちこちに出てきます。

掛け算があの形をしている理由

行列の積の定義を、最初は覚えにくいと感じます。行と列を掛けて足す、という規則には理由があります。

写像を 2 回続けるとどうなるかを、座標で書くだけです。$\mathbf{x}$ が $A\mathbf{x}$ へ移り、それが $B(A\mathbf{x})$ へ移る。

$$B(A\mathbf{x})=(BA)\mathbf{x}$$

この $BA$ が積の定義になります。写像の合成が先にあり、それに合わせて積を定めた、という順番^[3]。

積の順番を入れ替えられないのも、ここから分かります。回してから伸ばすのと、伸ばしてから回すのは、結果が違うためです。

連立方程式は 1 本の式になる

$n$ 元 $m$ 本の連立一次方程式は、行列を使えば 1 行で書けます。

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

$A$ は係数を並べた $m\times n$ 行列。方程式を解くことは、$\mathbf{b}$ へ移るような $\mathbf{x}$ を探すことになります。

解の個数は、$0$ 個か $1$ 個か無限個のどれかです。「ちょうど $2$ 個」は起こりません。

理由は線形性から出ます。${\mathbf{x}}_1$、${\mathbf{x}}_2$ が両方とも解なら、差 $\mathbf{d}={\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2$ は $A\mathbf{d}=0$ を満たす。

すると ${\mathbf{x}}_1+t\mathbf{d}$ もすべて解になります。$\mathbf{d}\ne 0$ なら、$t$ の数だけ解が並ぶ。

行列式は面積の変化率

$2$ 次の行列式 $\det A$ は、単位正方形が移った先の面積を表します。符号は向きが裏返ったかどうか。

$A=\mathrm{diag}(2,3)$ なら、正方形が $2\times 3$ の長方形になり、面積は $6$。$\det A=6$ と一致します。

せん断は面積を変えません。傾けても底辺と高さが同じなので、$\det =1$ のままです。

$\det A=0$ になるのは、正方形がつぶれて線分や点になるとき。このとき $A$ は逆行列を持ちません。

$3$ 次なら体積、一般の $n$ 次なら $n$ 次元の体積の変化率になります^[3]。

固有ベクトルは向きの変わらない方向

写像を当てても向きが変わらず、伸び縮みするだけの方向があります。そういう方向が固有ベクトルです。

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

$\lambda$ が固有値で、何倍に伸びるかを表します。$\lambda$ が負なら、向きが逆になって伸びる。

次の $A$ で試します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$(1,1)$ を送ると $(3,3)$ で $3$ 倍、$(1,-1)$ を送ると $(1,-1)$ でそのまま。伸び方が方向ごとに違います。

固有ベクトルを基底にとると、行列が対角行列になります。方向ごとの伸び縮みだけになるので、$100$ 乗のような計算も簡単に済みます。

内積を入れると長さと角度が出る

ここまでの話に、長さも角度も出てきませんでした。ベクトル空間の公理には入っていないためです。

あとから内積を入れると、長さが $\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$ で決まります。角度も内積から決まる。

内積を変えれば、何が直角かも変わります。長さと角度は、空間にもとから備わったものではありません。

直交する基底をとると計算が軽くなるので、そこを目指す手順がいくつも用意されています。

なぜ線形だけで足りるのか

世の中の現象は、たいてい線形ではありません。それでも線形代数が効くのは、微分が線形近似だからです。

$1$ 変数なら $f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)h$。$h$ について線形な項で、もとの関数を近似しています。

多変数でも同じで、微分にあたるものはヤコビ行列という線形写像です。曲がった関数を、点ごとにまっすぐな写像で置き換えている。

だから微分が使える場面では、必ず線形代数が下敷きになります。曲がったものを扱う分野ほど、線形代数を土台に据えることになる。

この先に出てくるもの

分野の地図をざっと並べておきます。どれも、ここまでの言葉で書けるものです^[2]。

順番は教科書によって変わりますが、土台はどれも同じです。ベクトル空間と線形写像、その 2 つだけ。

決まり方も確かめます。

まっすぐな写像だけを扱う。その代わり、基底の行き先という有限個の情報で写像を完全に押さえられる。線形代数の見通しのよさは、この交換から来ています。

参考