固有値と固有ベクトルの計算方法と意味

行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$

固有値 $\lambda$ を求めるには、次の方程式を解きます。

$$\text{det}(A-\lambda I)=0$$

$I$ は単位行列。この方程式の解が固有値です。その後、固有値を使って固有ベクトルを求めます。

$$\text{det}(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|$$

$$\begin{array}{rl}\text{det}(A-\lambda I)& =(4-\lambda )(3-\lambda )-2\\ & \\ & =12-4\lambda -3\lambda +{\lambda }^2-2\\ & \\ & ={\lambda }^2-7\lambda +10\end{array}$$

$${\lambda }^2-7\lambda +10=0$$

$${\lambda }_1=\frac{7+3}{2}=5,{\lambda }_2=\frac{7-3}{2}=2$$

固有値は ${\lambda }_1=5$, ${\lambda }_2=2$ となります。

続いて、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。ここでは固有値 ${\lambda }_2=2$ の固有ベクトルを求めるにとどめます。

まず

$$(A-2I)v=0$$

という式をつくる。

$$A-2I=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

$$2x+y=0$$

$$y=-2x$$

したがって、固有ベクトルは

$$v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$$

となります。

固有値と固有ベクトルの意味

固有ベクトルは、行列 $A$ の作用によって方向が変わらないベクトルです。

そもそも行列はベクトルを別のベクトルに変換する「作用」でした。

行列 $A$ をその固有ベクトルに作用させると、スカラー $\lambda$ 倍になるだけで、ベクトルの方向は変わらない。

つまり！　固有値は、その固有ベクトルがその行列でどのくらい伸びるか、を表すものです。固有値が 2 だったら、その固有ベクトルは 2 倍の長さになります。