固有値と固有ベクトルの計算方法と意味｜証明つき解説

行列 $A$ に対して $Av=\lambda v$ をみたす $0$ でないベクトル $v$ を固有ベクトル、そのときのスカラー $\lambda$ を固有値といいます。

行列はベクトルを別のベクトルへ移す作用ですが、そのなかで向きを変えられないベクトルがあります。それが固有ベクトルで、伸び縮みの倍率が固有値です。

以下では定義と直観から始め、計算の手順と具体例を数多く並べ、固有値の性質、対角化とその応用までを扱います。要になる主張には証明を付けます。

直観：向きが変わらないベクトル

具体例で見ます。次の行列を考えましょう。

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$

<svg viewBox="0 0 700 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><defs><marker id="ev-b" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#1b81e0"/></marker><marker id="ev-o" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#e0761b"/></marker></defs><line x1="75" y1="192" x2="290" y2="192" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="99" y1="209" x2="99" y2="53" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="80" y1="205" x2="232" y2="96" stroke="#c9c9c9" stroke-width="1" stroke-dasharray="5 3"/><line x1="99" y1="192" x2="266" y2="70" stroke="#e0761b" stroke-width="2.4" marker-end="url(#ev-o)"/><line x1="99" y1="192" x2="132" y2="167" stroke="#1b81e0" stroke-width="2.4" marker-end="url(#ev-b)"/><text x="144" y="181" font-size="13" fill="#1b81e0">v</text><text x="258" y="60" font-size="13" fill="#e0761b" text-anchor="end">Av</text><text x="183" y="32" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">v = (1, 1) のとき</text><text x="183" y="242" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">同じ直線の上に乗ったまま 5 倍</text><line x1="405" y1="192" x2="620" y2="192" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="429" y1="209" x2="429" y2="53" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="402" y1="192" x2="617" y2="192" stroke="#c9c9c9" stroke-width="1" stroke-dasharray="5 3"/><line x1="429" y1="192" x2="563" y2="143" stroke="#e0761b" stroke-width="2.4" marker-end="url(#ev-o)"/><line x1="429" y1="192" x2="462" y2="192" stroke="#1b81e0" stroke-width="2.4" marker-end="url(#ev-b)"/><text x="474" y="206" font-size="13" fill="#1b81e0">v</text><text x="555" y="133" font-size="13" fill="#e0761b" text-anchor="end">Av</text><text x="513" y="32" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">v = (1, 0) のとき</text><text x="513" y="242" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">直線から外れて向きが変わる</text><text x="350" y="272" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">固有ベクトルは、行列を掛けても自分の張る直線から出ません。それ以外は向きが変わります</text></svg>

$v=(1,1)$ に $A$ を掛けると $(5,5)$ になります。長さは $5$ 倍ですが、向きは変わりません。

$v=(1,0)$ に掛けると $(4,2)$ になり、こちらは向きが変わります。ほとんどのベクトルはこちら側です。

向きが変わらない特別なベクトルを探し、そのときの倍率を調べるのが、これからやることです。

固有値と固有ベクトルの定義

$n$ 次正方行列 $A$ について、$v\ne 0$ と数 $\lambda$ が

$$Av=\lambda v$$

をみたすとき、$\lambda$ を $A$ の固有値、$v$ を $\lambda$ に対する固有ベクトルといいます。

$v\ne 0$ という条件が要ります。 $v=0$ を許すと、どんな $\lambda$ についても $A0=\lambda 0$ が成り立ってしまい、固有値という概念が意味を失います。

一方 $\lambda =0$ は許されます。$\lambda =0$ の固有ベクトルとは $Av=0$ をみたす $0$ でないベクトルのことで、$A$ が正則でないときに現れます。

固有ベクトルは定数倍を除いて決まる

$v$ が $\lambda$ の固有ベクトルなら、$0$ でない定数 $c$ について $cv$ も固有ベクトルです。

$$A(cv)=c(Av)=c(\lambda v)=\lambda (cv)$$

したがって「固有ベクトルは $(1,1)$ です」と書いても「$(2,2)$ です」と書いても、同じことを言っています。ふつうは成分が簡単になるものを選びます。

長さを $1$ にそろえる流儀もあります。数値計算のライブラリはたいていそうします。

なぜ $\det (A-\lambda I)=0$ になるのか

定義の式を移項します。$I$ を単位行列として、次のように書き直せます。

$$Av=\lambda v⟺(A-\lambda I)v=0$$

$\lambda$ が固有値であるとは、この連立方程式が $v\ne 0$ の解を持つことです。

同次連立方程式が自明でない解を持つのは、係数行列が正則でないときにかぎります。正則なら両辺に逆行列を掛けて $v=0$ しか出てこないからです。

正則でないことは、行列式が $0$ であることと同値でした。したがって $\lambda$ が $A$ の固有値であることは、次の方程式をみたすことと同じになります。

$$\det (A-\lambda I)=0$$

固有ベクトルを直接探すのではなく、まず固有値を方程式の解として求める。この順序が計算の骨格になります。

固有多項式

$\det (A-\lambda I)$ を展開すると、$\lambda$ についての $n$ 次多項式になります。これを固有多項式といいます。

$n$ 次方程式なので、複素数まで許せば重複を込めてちょうど $n$ 個の解を持ちます。実行列でも固有値が複素数になることがあります。

実数の範囲では解が存在しない場合もあります。あとで回転行列の例を見ます。

計算の手順

手順は 3 段階です。

まず $\det (A-\lambda I)=0$ を解いて固有値を求めます。次に各固有値 $\lambda$ について $(A-\lambda I)v=0$ を解き、固有ベクトルを求めます。最後にトレースと行列式で検算します。

以下、はじめに挙げた $A$ でこの手順をたどります。

計算例：固有値を求める

$A-\lambda I$ の行列式を計算します。

$$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|$$

$2$ 次の行列式は「たすき掛けの差」でした。

$$\begin{array}{rl}\det (A-\lambda I)& =(4-\lambda )(3-\lambda )-1\cdot 2\\ & =12-4\lambda -3\lambda +{\lambda }^2-2\\ & ={\lambda }^2-7\lambda +10\end{array}$$

これを $0$ とおいて解きます。${\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -5)(\lambda -2)$ と因数分解できます。

$${\lambda }_1=5,{\lambda }_2=2$$

計算例：${\lambda }_1=5$ の固有ベクトル

$(A-5I)v=0$ を解きます。まず行列を作ります。

$$A-5I=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)$$

$v=(x,y)$ とおいて連立方程式を書きます。

$$\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ 2x-2y=0\end{array}$$

2 本の式は同じことを言っています。この重複は偶然ではありません。 $\det (A-5I)=0$ になるよう $\lambda$ を選んだので、2 本が独立になりようがないのです。

$y=x$ なので、$x=1$ と取れば固有ベクトルが得られます。

$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

確かめます。$A{v}_1=(4+1,2+3)=(5,5)=5v_1$ となり、定義をみたしています。

計算例：${\lambda }_2=2$ の固有ベクトル

同じ手順です。

$$A-2I=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$

2 行がまったく同じになりました。連立方程式は $2x+y=0$ の 1 本だけです。

$y=-2x$ なので、$x=1$ として次を得ます。

$$v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$$

検算します。$A{v}_2=(4-2,2-6)=(2,-4)=2v_2$ です。

計算例：トレースと行列式で検算する

固有値が正しいかどうかは、2 つの量ですぐ確かめられます。

$A$ のトレース（対角成分の和）は $4+3=7$ で、固有値の和 $5+2=7$ と一致します。

$A$ の行列式は $4\cdot 3-1\cdot 2=10$ で、固有値の積 $5\times 2=10$ と一致します。

この 2 つは偶然ではなく、いつでも成り立ちます。次の節で証明します。

証明：固有値の和と積

$2$ 次の場合に固有多項式を一般に展開します。次のようにおきましょう。

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

$$\begin{array}{rl}\det (A-\lambda I)& =(a-\lambda )(d-\lambda )-bc\\ & ={\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)\end{array}$$

$\lambda$ の係数に $-\mathrm{tr}A$ が、定数項に $\det A$ が現れました。

一方、固有値を ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ とすれば固有多項式は $(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)$ と書けます。

$$(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)={\lambda }^2-({\lambda }_1+{\lambda }_2)\lambda +{\lambda }_1{\lambda }_2$$

係数を比べて結論です。

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=\mathrm{tr}A,{\lambda }_1{\lambda }_2=\det A$$

$n$ 次でも同じで、固有値の和がトレース、積が行列式になります。固有多項式の ${\lambda }^{n-1}$ の係数と定数項を見れば出ます。

計算例：対称行列

次の対称行列を調べます。トレースが $4$、行列式が $3$ です。

$$S=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$$\det (S-\lambda I)={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)$$

固有値は $1$ と $3$ です。和が $4$、積が $3$ で検算が合います。

$\lambda =3$ のときの行列を書きます。

$$S-3I=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

$-x+y=0$ すなわち $y=x$ となり、固有ベクトルは $v=(1,1)$ です。

$\lambda =1$ のときも同じです。

$$S-I=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

$x+y=0$ すなわち $y=-x$ となり、固有ベクトルは $v=(1,-1)$ です。

2 本の固有ベクトルの内積は $1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$ で、直交しています。対称行列に特有の性質で、あとで証明します。

計算例：三角行列

次のように片側が $0$ の行列では、計算がほとんど要りません。

$$T=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& -2\end{array}\right)$$

$$\det (T-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 5\\ 0& -2-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda )(-2-\lambda )$$

三角行列の行列式は対角成分の積なので、そのまま因数分解された形で出てきます。

固有値は $3$ と $-2$、つまり対角成分そのものです。$n$ 次でも同じで、三角行列の固有値は対角成分に並んでいます。

固有ベクトルのほうは対角成分だけでは決まらず、上の $5$ の部分が効いてきます。ここは計算が要ります。

計算例：射影行列

次の行列は、平面上の点を直線 $y=x$ へ正射影します。

$$P=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

直線の上の点は動きません。$P(1,1)=(1,1)$ なので、固有値 $1$ の固有ベクトルが $(1,1)$ です。

直線に垂直な向きは潰れます。$P(1,-1)=(0,0)$ なので、固有値 $0$ の固有ベクトルが $(1,-1)$ です。

固有値が $0$ と $1$ だけになるのは射影行列の特徴です。$P^2=P$ から ${\lambda }^2=\lambda$ が出るので、$\lambda$ は $0$ か $1$ にかぎられます。

計算例：回転行列には実の固有値がない

角 $\theta$ の回転を表す行列を考えます。

$$R=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

固有多項式を計算します。トレースは $2\cos \theta$、行列式は ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ です。

$$\det (R-\lambda I)={\lambda }^2-2\cos \theta \lambda +1$$

判別式は $4{\cos }^2\theta -4=-4{\sin }^2\theta$ です。$\theta$ が $0$ でも $\pi$ でもなければ負になります。

実の固有値はありません。当たり前で、平面をぐるっと回せば、どんな向きも別の向きへ移ってしまうからです。

複素数まで広げれば $\lambda =\cos \theta \pm i\sin \theta =e^{\pm i\theta }$ という固有値が出てきます。絶対値が $1$ なのは、回転が長さを変えないことに対応します。

計算例：3 次の行列

次の $3$ 次の行列を調べます。行列式を展開してもよいのですが、構造を使うほうが速いです。

$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

全成分が $1$ の行列を $J$ とすると $M=I+J$ です。$Jv$ は「$v$ の成分の和」を全成分に並べたベクトルになります。

$v=(1,1,1)$ なら成分の和が $3$ なので $Jv=3v$ です。したがって $Mv=v+3v=4v$ で、固有値 $4$ が出ます。

成分の和が $0$ のベクトル、たとえば $(1,-1,0)$ や $(1,0,-1)$ では $Jv=0$ です。したがって $Mv=v$ となり、固有値 $1$ です。

固有値は $4$ と $1$（重解）で、和は $4+1+1=6=\mathrm{tr}M$、積は $4\times 1\times 1=4=\det M$ です。

固有空間

固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトル全体に $0$ を加えた集合は、部分空間になります。これを固有空間といいます。

$$W_{\lambda }=\{v:Av=\lambda v\}=\ker (A-\lambda I)$$

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さきほどの $A$ では、$\lambda =5$ の固有空間が直線 $y=x$、$\lambda =2$ の固有空間が直線 $y=-2x$ です。

$M=I+J$ の例では、$\lambda =1$ の固有空間が平面 $x+y+z=0$ で、次元が $2$ になっていました。

代数的重複度と幾何的重複度

固有多項式で $\lambda$ が何重の解になっているかを代数的重複度といいます。固有空間の次元を幾何的重複度といいます。

いつでも「幾何的重複度 $\le$ 代数的重複度」が成り立ちます。等号になるとはかぎりません。

この 2 つがすべての固有値で一致することが、対角化できるための条件です。 次の 2 つの例が、一致する場合としない場合を示します。

計算例：重解でも対角化できる場合

単位行列の $2$ 倍、つまり $2I$ を考えます。固有多項式は $(\lambda -2{)}^2$ なので、$\lambda =2$ の代数的重複度は $2$ です。

$2I-2I$ は零行列なので、$(2I-2I)v=0$ はすべての $v$ でみたされます。固有空間は平面全体です。

幾何的重複度も $2$ で一致しました。実際この行列はもともと対角行列です。

計算例：重解で対角化できない場合

次の行列を考えます。三角行列なので固有値は対角成分の $1$ で、代数的重複度は $2$ です。

$$N=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

固有空間を求めます。

$$N-I=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$(N-I)v=0$ は $y=0$ を意味します。固有空間は直線 $y=0$ だけで、次元は $1$ です。

幾何的重複度 $1$ が代数的重複度 $2$ より小さくなりました。固有ベクトルが $2$ 本そろわないので、この行列は対角化できません。

実際 $N(0,1)=(1,1)$ で、$(0,1)$ は固有ベクトルではありません。$x$ 軸方向だけが保たれ、それ以外は少しずつ横へずらされる、という作用をしています。

証明：相異なる固有値の固有ベクトルは 1 次独立

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ とし、それぞれの固有ベクトルを $v_1,v_2$ とします。

$c_1{v}_1+c_2{v}_2=0$ とおきましょう。両辺に $A$ を掛けます。

$$c_1{\lambda }_1{v}_1+c_2{\lambda }_2{v}_2=0$$

もとの式を ${\lambda }_1$ 倍したものを引きます。

$$c_2({\lambda }_2-{\lambda }_1)v_2=0$$

${\lambda }_2\ne {\lambda }_1$ かつ $v_2\ne 0$ なので $c_2=0$ です。これをもとの式に戻すと $c_1{v}_1=0$ となり、$v_1\ne 0$ から $c_1=0$ です。

3 個以上でも同じ筋で、帰納法により示せます。したがって $n$ 次行列が相異なる $n$ 個の固有値を持てば、固有ベクトルが $n$ 本そろい、対角化できます。

$A^n$ と $A^{-1}$ の固有値

$Av=\lambda v$ の両辺に $A$ を掛けると $A^{2}v=\lambda Av={\lambda }^{2}v$ です。繰り返せば次を得ます。

$$A^{k}v={\lambda }^{k}v$$

固有ベクトルは同じまま、固有値だけが $k$ 乗になります。

$A$ が正則なら $\lambda \ne 0$ です。$Av=\lambda v$ の両辺に $A^{-1}$ を掛けて $\lambda$ で割ると、逆行列の固有値がわかります。

$$A^{-1}v=\frac{1}{\lambda }v$$

多項式 $p$ についても $p(A)v=p(\lambda )v$ が成り立ちます。行列の式を、固有ベクトルの上ではただの数の式に落とせる、というのが固有値の効きどころです。

証明：対称行列の固有値は実数

$A$ を実対称行列とし、$Av=\lambda v$（$v\ne 0$）とします。ここでは $\lambda$ と $v$ が複素数の可能性を許します。

${\bar{v}}^{\mathsf{T}}$ を掛けます。左辺は ${\bar{v}}^{\mathsf{T}}Av$、右辺は $\lambda {\bar{v}}^{\mathsf{T}}v$ です。

一方、$A$ が実対称なので ${\bar{v}}^{\mathsf{T}}Av$ の共役転置を取ると、それ自身に戻ります。

$${\overline{{\bar{v}}^{\mathsf{T}}Av}}^{\mathsf{T}}={\bar{v}}^{\mathsf{T}}{\bar{A}}^{\mathsf{T}}v={\bar{v}}^{\mathsf{T}}Av$$

$1\times 1$ の量が自分の共役に等しいので、これは実数です。${\bar{v}}^{\mathsf{T}}v=|v{|}^2>0$ も実数なので、商である $\lambda$ も実数になります。

証明：対称行列の固有ベクトルは直交する

$A$ を実対称行列、${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ をその固有値、$v_1,v_2$ を対応する固有ベクトルとします。

内積 $v_1\cdot v_2$ を 2 通りに評価します。$A$ が対称なので $(A{v}_1)\cdot v_2=v_1\cdot (A{v}_2)$ が成り立ちます。

左辺は ${\lambda }_1(v_1\cdot v_2)$、右辺は ${\lambda }_2(v_1\cdot v_2)$ です。移項します。

$$({\lambda }_1-{\lambda }_2)(v_1\cdot v_2)=0$$

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ なので $v_1\cdot v_2=0$、つまり直交します。

さきほどの対称行列 $S$ の固有ベクトル $(1,1)$ と $(1,-1)$ が直交していたのは、この定理の帰結です。

対角化

固有ベクトルを列に並べた行列を $P$、固有値を対角に並べた行列を $D$ とします。

$$P=\left(\begin{array}{cc}{v}_1& v_2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$$

$AP$ の第 $j$ 列は $A{v}_j={\lambda }_j{v}_j$ なので、$AP=PD$ が成り立ちます。

$P$ が正則、つまり固有ベクトルが 1 次独立にそろえば、両辺に $P^{-1}$ を掛けられます。

$$A=PD{P}^{-1},P^{-1}AP=D$$

これを対角化といいます。$P$ の列の順序と $D$ の対角成分の順序は、そろえておく必要があります。

対角化は座標の取り替え

<svg viewBox="0 0 700 280" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><defs><marker id="dg" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto"><path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="#9a9a9a"/></marker></defs><rect x="90" y="56" width="190" height="62" rx="4" fill="#ffffff" stroke="#c9c9c9" stroke-width="1.5"/><text x="185" y="82" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">もとの座標</text><text x="185" y="102" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">x を並べた成分</text><rect x="420" y="56" width="190" height="62" rx="4" fill="#ffffff" stroke="#c9c9c9" stroke-width="1.5"/><text x="515" y="82" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">もとの座標</text><text x="515" y="102" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">Ax を並べた成分</text><rect x="90" y="182" width="190" height="62" rx="4" fill="#ffffff" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><text x="185" y="208" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">固有ベクトルの座標</text><text x="185" y="228" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">P⁻¹x</text><rect x="420" y="182" width="190" height="62" rx="4" fill="#ffffff" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><text x="515" y="208" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">固有ベクトルの座標</text><text x="515" y="228" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">DP⁻¹x</text><line x1="288" y1="87" x2="412" y2="87" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5" marker-end="url(#dg)"/><text x="350" y="78" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">A を掛ける</text><line x1="288" y1="213" x2="412" y2="213" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5" marker-end="url(#dg)"/><text x="350" y="204" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">D を掛ける（成分ごとに λ 倍）</text><line x1="185" y1="176" x2="185" y2="124" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5" marker-end="url(#dg)"/><text x="176" y="154" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="end">P</text><line x1="515" y1="124" x2="515" y2="176" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5" marker-end="url(#dg)"/><text x="524" y="154" font-size="12" fill="#8a8a8a">P⁻¹</text><text x="350" y="266" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">固有ベクトルを座標軸に取り直すと、行列を掛ける操作が「成分ごとの定数倍」になります</text></svg>

固有ベクトルを新しい座標軸に取ると、$A$ を掛ける操作は「各成分を $\lambda$ 倍する」だけになります。

$P^{-1}$ が新しい座標へ移す操作、$D$ がそこでの伸縮、$P$ がもとの座標へ戻す操作です。$A=PD{P}^{-1}$ という式は、この 3 段階をそのまま書いたものになります。

対角化できる行列は、適切な座標から見れば「軸方向の伸縮」でしかない、ということです。

計算例：対角化してみる

はじめの $A$ を対角化します。固有値は $5,2$、固有ベクトルは $(1,1)$ と $(1,-2)$ でした。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

$\det P=-2-1=-3\ne 0$ なので $P$ は正則です。逆行列を求めます。

$$P^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

$AP=PD$ を確かめます。$AP$ の第 1 列は $A(1,1)=(5,5)$、第 2 列は $A(1,-2)=(2,-4)$ です。

$$AP=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 5& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=PD$$

計算例：$A^n$ を求める

対角化のいちばん直接的な使い道です。$A=PD{P}^{-1}$ から、間の $P^{-1}P$ が次々に消えます。

$$A^n=PD{P}^{-1}\cdot PD{P}^{-1}\cdots PD{P}^{-1}=P{D}^n{P}^{-1}$$

$D^n$ は対角成分を $n$ 乗するだけです。前の節の $P$ と $D$ を入れて計算します。

$$A^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2\cdot 5^n+2^n& 5^n-2^n\\ 2\cdot 5^n-2\cdot 2^n& 5^n+2\cdot 2^n\end{array}\right)$$

$n=1$ を入れるともとに戻ります。

$$\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}12& 3\\ 6& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$

$n=2$ でも確かめます。$A$ を 2 回掛けた結果と一致しました。

$$\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}54& 21\\ 42& 33\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}18& 7\\ 14& 11\end{array}\right)$$

計算例：フィボナッチ数列

漸化式 $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ を行列で書きます。

$$\left(\begin{array}{c}{F}_{n+1}\\ F_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_n\\ F_{n-1}\end{array}\right)$$

この行列を $F$ とおくと、$n$ 回掛けたものが数列の一般項を与えます。固有値を求めましょう。トレースが $1$、行列式が $-1$ です。

$${\lambda }^2-\lambda -1=0⟹\lambda =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

大きいほうが黄金比 $\phi =1.618\dots$、小さいほうが $\psi =-0.618\dots$ です。対角化して整理すると、有名な式が出ます。

$$F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}$$

ビネの式といいます。$n=10$ を入れると $55$ になり、実際 $F^{10}$ を計算した行列の成分と一致します。

整数だけの数列の一般項に、無理数が 2 つ現れる。それでも打ち消し合って整数に戻るのが、この式の見どころです。

長い目で見た振る舞いを決めるのは最大の固有値

$|\phi |>1>|\psi |$ なので、$n$ が大きいところでは ${\psi }^n$ の項が無視できます。

$$F_n\approx \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}},\frac{F_{n+1}}{F_n}\to \phi$$

隣り合う項の比が黄金比に近づくのは、これが理由です。

一般に、絶対値が最大の固有値が長期的な振る舞いを支配します。すべての固有値の絶対値が $1$ より小さければ $A^n\to 0$、$1$ より大きいものがあれば発散します。

マルコフ連鎖の定常分布、人口動態のモデル、力学系の安定性の判定は、どれもこの原理の上に立っています。

固有値と固有ベクトルの意味

ここまでの計算をまとめ直します。

そもそも行列はベクトルを別のベクトルに変換する「作用」でした。その中に、向きを変えられないベクトルがあるということですね。

そのとおりです。行列 $A$ を固有ベクトルに作用させると、スカラー $\lambda$ 倍になるだけで向きは変わりません。

固有値は、その固有ベクトルが行列でどれだけ伸びるかを表す数です。固有値が $2$ なら長さは $2$ 倍、$-1$ なら長さはそのままで向きが反転します。

対角化できる行列は、固有ベクトルの方向を軸に取れば、ただの伸縮に見えます。複雑に見える行列の作用を、いくつかの方向の伸び縮みに分解する。 これが固有値と固有ベクトルの役目です。

応用：振動のモードと主成分分析

物体の振動を線型近似すると、行列の固有値問題になります。固有ベクトルが振動の型（モード）、固有値が振動数の 2 乗に対応します。

建物の耐震設計で「1 次モード」「2 次モード」と呼ばれるものが、まさに固有ベクトルです。

データ解析では、共分散行列の固有ベクトルがばらつきの大きい方向を与えます。これが主成分分析です。

共分散行列は対称なので、固有値は実数で固有ベクトルは直交します。前に証明した性質が、そのまま「主成分どうしが直交する」という結論になっています。

よくある誤り

参考文献