以下の問いに答えよ。
(1) n を正の整数とする。24^n の正の約数のうち，24 の倍数でないものの個数を求めよ。
(2) 関数 f(x) = 2\sin x + \cos x の 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} における最小値と最大値を求めよ。
(3) 空間内の 2 つの平面 x - y = 0，z - 1 = 0 の交線を l_1 とし，2 つの平面 x - 2y = 0，x - 2z + 2 = 0 の交線を l_2 とする。2 つの直線 l_1 と l_2 の交点，およびそれらのなす角 \theta を求めよ。ただし，0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} とする。
24 = 2^3 \cdot 3 だから 24^n = 2^{3n} \cdot 3^n です。正の約数は 2^a3^b の形をしていて、指数は 0 \leqq a \leqq 3n、0 \leqq b \leqq n の範囲を動く。約数の個数は (3n+1)(n+1) です。
24 の倍数になる約数は、2 の指数が 3 以上で、3 の指数が 1 以上のもの。a は 3 から 3n までの 3n-2 通り、b は 1 から n までの n 通りあるため、24 の倍数は n(3n-2) 個あります。
(3n+1)(n+1) - n(3n-2) = 6n+1
全体から引くと、24 の倍数でない約数は 6n+1 個。図の明るい点がそれにあたり、a \leqq 2 の 3 列に 3(n+1) 個、b = 0 の行の残りに 3n-2 個並ぶ。足すと 6n+1 になり、引き算の結果と一致します。
2^2 + 1^2 = 5 なので、\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}、\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}} となる角 \alpha を 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2} の範囲にとります。加法定理を逆向きに使うと、次のように書き直せる。
\begin{aligned} f(x) &= \sqrt{5}(\sin x\cos\alpha + \cos x\sin\alpha) \\ &= \sqrt{5}\sin(x + \alpha) \end{aligned}
0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} のとき、x + \alpha の範囲は \alpha \leqq x + \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2} + \alpha で、\dfrac{\pi}{2} を含みます。そこで \sin(x + \alpha) = 1 となるため、最大値は \sqrt{5}。
\sin は \dfrac{\pi}{2} まで増えてから減るので、最小値は区間の両端のどちらかでとる。f(0) = 1 と f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2 を比べて、最小値は 1 です。最大値をとる x は \dfrac{\pi}{2} - \alpha で、\tan x = 2 を満たす。
l_1 上の点は x = y と z = 1 を満たします。x = t とおけば、l_1 は点 (t,\ t,\ 1) の集まりになる。
l_2 上の点は x = 2y と x - 2z + 2 = 0 を満たす。y = s とおくと x = 2s、z = \dfrac{x + 2}{2} = s + 1 で、l_2 は点 (2s,\ s,\ s+1) の集まりです。
2 つの点が一致する条件は t = 2s、t = s、1 = s + 1。はじめの 2 つから s = t = 0 となり、3 つめの式も 1 = 0 + 1 で成り立つため、交点は (0,\ 0,\ 1) です。
t と s の係数を並べると、l_1 の方向ベクトル \vec{u} = (1,\ 1,\ 0) と、l_2 の方向ベクトル \vec{v} = (2,\ 1,\ 1) が得られます。図は l_1 と l_2 を含む平面を正面から見たもので、角を実際の大きさで描いてある。
内積は \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 1 + 0 = 3、大きさは |\vec{u}| = \sqrt{2}、|\vec{v}| = \sqrt{6} で、\sqrt{2}\sqrt{6} = 2\sqrt{3} だから次の値になる。
\cos\theta = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
内積が正なので \vec{u} と \vec{v} のなす角は \dfrac{\pi}{2} 以下で、\theta = \dfrac{\pi}{6} です。どちらかの向きを逆にとると内積は -3 になり、なす角は \dfrac{5}{6}\pi になる。そのときは \pi から引いた角を \theta とします。