以下の問いに答えよ。
(1) を正の整数とする。 の正の約数のうち， の倍数でないものの個数を求めよ。
(2) 関数 の における最小値と最大値を求めよ。
(3) 空間内の つの平面 ， の交線を とし， つの平面 ， の交線を とする。 つの直線 と の交点，およびそれらのなす角 を求めよ。ただし， とする。
だから です。正の約数は の形をしていて、指数は 、 の範囲を動く。約数の個数は です。
の倍数になる約数は、 の指数が 以上で、 の指数が 以上のもの。 は から までの 通り、 は から までの 通りあるため、 の倍数は 個あります。
全体から引くと、 の倍数でない約数は 個。図の明るい点がそれにあたり、 の 列に 個、 の行の残りに 個並ぶ。足すと になり、引き算の結果と一致します。
なので、、 となる角 を の範囲にとります。加法定理を逆向きに使うと、次のように書き直せる。
のとき、 の範囲は で、 を含みます。そこで となるため、最大値は 。
は まで増えてから減るので、最小値は区間の両端のどちらかでとる。 と を比べて、最小値は です。最大値をとる は で、 を満たす。
上の点は と を満たします。 とおけば、 は点 の集まりになる。
上の点は と を満たす。 とおくと 、 で、 は点 の集まりです。
つの点が一致する条件は 、、。はじめの つから となり、 つめの式も で成り立つため、交点は です。
と の係数を並べると、 の方向ベクトル と、 の方向ベクトル が得られます。図は と を含む平面を正面から見たもので、角を実際の大きさで描いてある。
内積は 、大きさは 、 で、 だから次の値になる。
内積が正なので と のなす角は 以下で、 です。どちらかの向きを逆にとると内積は になり、なす角は になる。そのときは から引いた角を とします。