複素数平面上の点 を中心とする半径 の円の周から原点を除いた曲線を とする。
(1) 曲線 上の複素数 に対し， の実部は であることを示せ。
(2) , を曲線 上の相異なる複素数とするとき， がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
(3) を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき， の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。
は から原点を除いたものです。両辺を 2 乗して整理します。
を展開すると 、つまり です。
ですから、その実部は となります。
図のとおり、原点を除いた円が、実部 の直線にそっくり移ります。 が原点に近づくほど は上下へ遠ざかります。逆も同じで、直線上の点はすべて 上の点から来ます。
(1) より 、 と書けます。, は実数です。
逆に実数 に対して は 上にありますから、 は実数全体を動きます。
は と同じことですから、条件は の 1 つだけです。
あとは , が「相異なる実数全体」を動くときに、 がどこを動くかを見ればよいことになります。
展開すると です。
、 と置くと、点は になります。実部も虚部も , だけで決まります。
, は 次方程式 の 2 解です。相異なる実数であることは、判別式 が正、つまり と同じです。
逆に ならこの 次方程式が相異なる実数解を持つので、そのような はすべて実現します。
求める点を とすると 、 ですから、、 です。
条件 に入れると 、つまり となります。
これが答えです。放物線 の左側で、放物線そのものは含みません。 が禁じられているぶんが、ちょうど境界にあたります。
頂点は 、 のところで を通ります。図の塗った側が求める範囲です。
(3) の は、いまの範囲に入らない点ですから 、つまり です。原点はここに入らないので です。
の実部を とします。 のとき、 は 、すなわち原点を通り中心が実軸上にある円です。半径を と書くと、その上では が成り立ちます。
これを に入れると です。 のときは が から までを動くので、解を持つ条件は 、つまり となります。
のときは判別式 から 、つまり です。よって最大値は （ のとき）、最小値は （ のとき）です。