a を実数とする。空間内の 3 点 \mathrm{A}(2,\ 1,\ 3)，\mathrm{B}(a+2,\ 3,\ 4)，\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0) を含む平面を H とし，2 点 \mathrm{D}(-1,\ 2,\ 1)，\mathrm{E}(-3,\ 1,\ 0) を通る直線を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 平面 H が直線 \mathrm{DE} と共有点をもつための，a の条件を求めよ。
(2) 平面 H が線分 \mathrm{DE} (両端を含む) と共有点をもつための，a の条件を求めよ。
\mathrm{A} と \mathrm{C} は a によらないので、H はどの a でも直線 \mathrm{AC} を含みます。\mathrm{B} は x 座標だけが a とともに動き、H は直線 \mathrm{AC} のまわりで向きを変える。
\vec{\mathrm{CA}} = (1,\ 1,\ 3)、\vec{\mathrm{CB}} = (a+1,\ 3,\ 4) です。\vec{\mathrm{CB}} = k\vec{\mathrm{CA}} とおくと、y 成分から k = 3、z 成分から 4 = 3k となって両立しないため、この 2 つはどの a でも平行にならない。H はいつも 1 つに決まり、その上の点 \mathrm{P} は \vec{\mathrm{CP}} = s\vec{\mathrm{CA}}+u\vec{\mathrm{CB}} と表せます。
直線 \mathrm{DE} の上の点は、\vec{\mathrm{DE}} = (-2,\ -1,\ -1) を使って (-1-2t,\ 2-t,\ 1-t) と書けます。t = 0 が \mathrm{D}、t = 1 が \mathrm{E} で、線分 \mathrm{DE} は 0 \leqq t \leqq 1 の部分。
直線上の点が H の上にあるのは、\vec{\mathrm{CP}} = (-2-2t,\ 2-t,\ 1-t) が s(1,\ 1,\ 3)+u(a+1,\ 3,\ 4) に等しいときです。成分を比べると、-2-2t = s+(a+1)u、2-t = s+3u、1-t = 3s+4u の 3 つの式になる。
y 成分と z 成分の 2 つの式から u = 1-\dfrac{2}{5}t、s = -1+\dfrac{t}{5}。これを x 成分の式に代入して整理すると、(2a-9)t = 5(a+2) が残ります。
a \neq \dfrac{9}{2} なら t = \dfrac{5(a+2)}{2a-9} がただ 1 つ決まり、共有点が 1 つある。a = \dfrac{9}{2} では左辺が 0、右辺が \dfrac{65}{2} で式を満たす t がなく、直線 \mathrm{DE} は H と平行です。(1) の答えは a \neq \dfrac{9}{2}。
線分 \mathrm{DE} と共有点をもつのは、t = \dfrac{5(a+2)}{2a-9} が 0 \leqq t \leqq 1 を満たすときです。f(t) = (2a-9)t-5(a+2) は t の 1 次式なので、f(0) = -5(a+2) と f(1) = -3a-19 の符号が異なるか、どちらかが 0 であればよい。
f(0)f(1) = 5(a+2)(3a+19) \leqq 0 を解いて -\dfrac{19}{3} \leqq a \leqq -2 です。a = -2 では共有点が \mathrm{D}、a = -\dfrac{19}{3} では \mathrm{E} になり、a = \dfrac{9}{2} はこの範囲に含まれない。