を実数とする。空間内の 点 ，， を含む平面を とし， 点 ， を通る直線を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 平面 が直線 と共有点をもつための， の条件を求めよ。
(2) 平面 が線分 (両端を含む) と共有点をもつための， の条件を求めよ。
と は によらないので、 はどの でも直線 を含みます。 は 座標だけが とともに動き、 は直線 のまわりで向きを変える。
、 です。 とおくと、 成分から 、 成分から となって両立しないため、この つはどの でも平行にならない。 はいつも つに決まり、その上の点 は と表せます。
直線 の上の点は、 を使って と書けます。 が 、 が で、線分 は の部分。
直線上の点が の上にあるのは、 が に等しいときです。成分を比べると、、、 の つの式になる。
成分と 成分の つの式から 、。これを 成分の式に代入して整理すると、 が残ります。
なら がただ つ決まり、共有点が つある。 では左辺が 、右辺が で式を満たす がなく、直線 は と平行です。(1) の答えは 。
線分 と共有点をもつのは、 が を満たすときです。 は の 次式なので、 と の符号が異なるか、どちらかが であればよい。
を解いて です。 では共有点が 、 では になり、 はこの範囲に含まれない。