関数
に対して， のグラフを とする。点 における の接線を
とする。
(1) と の共有点で と異なるものがただ つ存在することを示し，その点の 座標を求めよ。
(2) (1) で求めた共有点の 座標を とする。定積分
を計算せよ。
です。、 ですから、接線は です。
は原点について対称で、 で山、 で谷になります。接点 は山の手前にあります。
共有点は 、分母を払って の解です。
接しているので は重解のはずです。実際に代入すると となります。
を で割ると です。これはさらに と分かれます。
よって です。 が重解で、残る解は の つだけです。
次式の解は つまでですから、 と異なる共有点はこれで尽きています。これで (1) が示せました。
です。、 で、たしかに一致します。
です。このまま 乗すると分母が で、分子が 次になって扱いにくくなります。
そこで元の形に戻して 乗を展開します。 です。
第 項は と割ります。
第 項の中身は です。どれも見慣れた形になりました。
第 項の積分は です。 は を使います。
第 項の中身の積分は です。これに を掛けて引きます。
第 項は です。
足すと 、 となります。