関数
f(x) = \dfrac{x}{x^2+3}
に対して，y = f(x) のグラフを C とする。点 \mathrm{A}\,(1,\, f(1)) における C の接線を
l: y = g(x)
とする。
(1) C と l の共有点で \mathrm{A} と異なるものがただ 1 つ存在することを示し，その点の x 座標を求めよ。
(2) (1) で求めた共有点の x 座標を \alpha とする。定積分
\displaystyle\int_{\alpha}^{1} \{f(x)-g(x)\}^2 dx
を計算せよ。
f'(x) = \dfrac{3-x^2}{(x^2+3)^2} です。f'(1) = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}、f(1) = \dfrac{1}{4} ですから、接線は g(x) = \dfrac{x+1}{8} です。
C は原点について対称で、x = \sqrt{3} で山、x = -\sqrt{3} で谷になります。接点 \mathrm{A} は山の手前にあります。
共有点は \dfrac{x}{x^2+3} = \dfrac{x+1}{8}、分母を払って x^3+x^2-5x+3 = 0 の解です。
接しているので x = 1 は重解のはずです。実際に代入すると 1+1-5+3 = 0 となります。
x^3+x^2-5x+3 を x-1 で割ると x^2+2x-3 です。これはさらに (x+3)(x-1) と分かれます。
よって x^3+x^2-5x+3 = (x-1)^2(x+3) です。x = 1 が重解で、残る解は x = -3 の 1 つだけです。
3 次式の解は 3 つまでですから、\mathrm{A} と異なる共有点はこれで尽きています。これで (1) が示せました。
\alpha = -3 です。f(-3) = -\dfrac{1}{4}、g(-3) = -\dfrac{1}{4} で、たしかに一致します。
f(x)-g(x) = -\dfrac{(x-1)^2(x+3)}{8(x^2+3)} です。このまま 2 乗すると分母が (x^2+3)^2 で、分子が 6 次になって扱いにくくなります。
そこで元の形に戻して 2 乗を展開します。\left(\dfrac{x}{x^2+3}-\dfrac{x+1}{8}\right)^2 = \dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}-\dfrac{x(x+1)}{4(x^2+3)}+\dfrac{(x+1)^2}{64} です。
第 1 項は \dfrac{x^2}{(x^2+3)^2} = \dfrac{1}{x^2+3}-\dfrac{3}{(x^2+3)^2} と割ります。
第 2 項の中身は \dfrac{x^2+x}{x^2+3} = 1+\dfrac{x-3}{x^2+3} です。どれも見慣れた形になりました。
第 1 項の積分は \dfrac{\sqrt{3}}{12}\pi-\dfrac{1}{4} です。\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x^2+3)^2} は \dfrac{x}{6(x^2+3)}+\dfrac{1}{6\sqrt{3}}\arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}} を使います。
第 2 項の中身の積分は 4-\dfrac{1}{2}\log 3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi です。これに \dfrac{1}{4} を掛けて引きます。
第 3 項は \dfrac{1}{64}\displaystyle\int_{-3}^{1}(x+1)^2 dx = \dfrac{1}{64} \cdot \dfrac{16}{3} = \dfrac{1}{12} です。
足すと \dfrac{5\sqrt{3}}{24}\pi+\dfrac{1}{8}\log 3-\dfrac{7}{6}、0.1043\cdots となります。