複素数 a, b, c に対して整式 f(z) = az^2+bz+c を考える。i を虚数単位とする。
(1) \alpha, \beta, \gamma を複素数とする。f(0) = \alpha, f(1) = \beta, f(i) = \gamma が成り立つとき，a, b, c をそれぞれ \alpha, \beta, \gamma で表せ。
(2) f(0), f(1), f(i) がいずれも 1 以上 2 以下の実数であるとき，f(2) のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
f(0) = c ですから、まず c = \alpha が決まります。
f(1) = a+b+c から a+b = \beta-\alpha、f(i) = -a+bi+c から -a+bi = \gamma-\alpha です。
2 式を足すと a が消えて b(1+i) = \beta+\gamma-2\alpha、つまり b = \dfrac{(1-i)(\beta+\gamma-2\alpha)}{2} です。
a = (\beta-\alpha)-b に入れて整理すると a = \dfrac{(1+i)\beta-(1-i)\gamma-2i\alpha}{2} となります。これが (1) の答えです。
f(2) = 4a+2b+c です。(1) の式を入れて \alpha, \beta, \gamma でまとめます。
\beta の係数は 2(1+i)+(1-i) = 3+i、\gamma の係数は -2(1-i)+(1-i) = -1+i、\alpha の係数は -4i-2(1-i)+1 = -1-2i です。
つまり f(2) = (-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma です。
\alpha, \beta, \gamma はどれも 1 以上 2 以下の実数ですから、これは 3 本のベクトルを 0 倍から 1 倍までの重みで足していく形になります。
\alpha = \beta = \gamma = 1 のとき f(2) = 1 です。そこを起点にします。
\alpha を 1 から 2 へ動かすと -1-2i だけ、\beta なら 3+i だけ、\gamma なら -1+i だけ進みます。
3 本を別々に 0 倍から 1 倍まで足すので、できる図形は 3 本の線分を順に足した平行多角形です。
向きが 3 通りありますから、辺は向かい合う 2 本ずつで 6 本、頂点も 6 つになります。
頂点は、3 つの数がそれぞれ端の 1 か 2 を取るところに出ます。8 通りのうち 6 通りが頂点になります。
(\alpha,\, \beta,\, \gamma) が (2,\,1,\,1) で -2i、(2,\,2,\,1) で 3-i、(1,\,2,\,1) で 4+i です。
(1,\,2,\,2) で 3+2i、(1,\,1,\,2) で i、(2,\,1,\,2) で -1-i です。残る (1,\,1,\,1) の 1 と (2,\,2,\,2) の 2 は内側にあります。
答えはこの 6 点を順に結んだ六角形で、周を含みます。\alpha, \beta, \gamma の動く範囲が端を含んでいるからです。