複素数 , , に対して整式 を考える。 を虚数単位とする。
(1) , , を複素数とする。, , が成り立つとき，, , をそれぞれ , , で表せ。
(2) , , がいずれも 以上 以下の実数であるとき， のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
ですから、まず が決まります。
から 、 から です。
式を足すと が消えて 、つまり です。
に入れて整理すると となります。これが (1) の答えです。
です。(1) の式を入れて , , でまとめます。
の係数は 、 の係数は 、 の係数は です。
つまり です。
, , はどれも 以上 以下の実数ですから、これは 本のベクトルを 倍から 倍までの重みで足していく形になります。
のとき です。そこを起点にします。
を から へ動かすと だけ、 なら だけ、 なら だけ進みます。
本を別々に 倍から 倍まで足すので、できる図形は 本の線分を順に足した平行多角形です。
向きが 通りありますから、辺は向かい合う 本ずつで 本、頂点も つになります。
頂点は、 つの数がそれぞれ端の か を取るところに出ます。 通りのうち 通りが頂点になります。
が で 、 で 、 で です。
で 、 で 、 で です。残る の と の は内側にあります。
答えはこの 点を順に結んだ六角形で、周を含みます。, , の動く範囲が端を含んでいるからです。